前言

十二年國民基本教育之課程發展本於全人教育的精神，以「自發」、｢互動｣及｢共好」為理念，強調學生是自發主動的學習者，具備與自我、與他人的各種互動能力，並能夠應用及實踐所學，共同謀求彼此的互惠與共好(教育部，2014)。

筆者本身在國小任教多年，身邊有不少同事對於高年級的數學教學都深感困擾，六年級的「基準量和比較量」單元便是其中之一，在本校有多年高年級教學經驗的Z師表示：「『基準量與比較量』這單元，學生很容易分不清楚誰是基準量誰是比較量，要不然就是在課堂上，學生明明都能輕而易舉說出誰是基準量誰是比較量，可是每次考試出來，學生還是錯一大堆，真的不知道為什麼會這樣……」，引發了筆者想探究12年國教精神－「自發、互動、共好」在國小高年級數學課室實踐樣貌的念頭。

筆者多年的教學經驗發現「在課堂上，與其都是由老師來糾正學生錯誤的地方，倒不如由學生自己發現並修正，相信讓學生成為真正主動的學習者，對學生的學習會更有幫助，也才能更深入了解上述現象背後真正的原因」。基於這樣的想法，筆者在去(2019)年教「基準量和比較量」單元時，便嘗試讓學生透過「同儕間『抓』出『錯』誤之處」的「抓錯」活動(發想來自於坊間專業防水工程的「抓漏」)，企圖讓學生主動察覺到自己的錯誤所在(自發)，並藉由一次又一次與同學的對答來修正自己錯誤的地方(互動)，進而達到大家皆能習得數學概念上的理解(共好)，以期達到12年國教「自發、互動、共好」的精神。

 相關文獻

一、單位化」和「基準化」能力

要探討「基準量」與「比較量」之間的關係，就要先從「單位化」和「基準化」能力分析(顏宗斌和劉祥通，2005)，什麼是「單位化」和「基準化」能力呢?Lamon (1994)的研究指出，單位化能力即是指將單位聚集在一起的能力。例如，ㄧ名學生能以10為單位，做每10 個一數，也就是把聚集單位「10」單位化了。而基準化能力，則表示學生進一步能以單項單位或者聚集單位作為新的度量標準(當作1倍)，此新的度量標準即是所謂之「基準量」，再以此量來詮譯(或者重複計數)「比較量」，也就是其能表徵「基準量」與「比較量」兩數量之間的關係。將「基準量」視為「1個新單位」，然後以此單位來重新詮釋「比較量」的過程，就是基準化的能力。舉例來說：一個披薩被平分成五等分，若學生能指出其中兩等分為「二個 盒」，則其能將單位分數「 」作「單位化」；若學生能以「 盒」表徵此量，則其具有「基準化」之能力，其中「盒」是被視為「單位」，「 」為「單位量」，「 盒」為「基準量」，而「二」即為「單位數」。

二、常見的解題策略－線段圖

蔣治邦(2001)的研究中指出，可以利用線段圖作為「基準量與比較量」類型題目的解題策略，較常見的有長度線段圖，簡單介紹如下：

此線段圖是利用線段的長度來表示問題情境中的數量，並透過線段的空間關係(視覺線索)來表現各數量之間的關係(如圖1)。


圖1. 長度線段圖

用畫圖的方式呈現題意，可以使數學問題較易理解而增加成功解題的機會(Cohen & Stover，1981)，因為它能將文字題中的數量關係具體化，因此現今數學課程已廣泛使用線段圖來協助解題(陳竹村，1998)。

 課堂的實踐樣貌

由於本文聚焦的重點，主要是在呈現12年國教精神在國小數學課室的實踐樣貌，因此筆者隨機選取了兩道數學習作上的應用題，作為本次「抓錯」活動的題目，過程如下：

一、例題一

「有一個長方形花圃，長是寬的4倍，寬是2公尺，長和寬相差多少公尺?」

（一）S15一開始的學習表現(如圖2)

教學片段一（Sn表示n號學生）

S15：長是寬的4倍，所以寬是基準量，1倍的意思…

S8：可是你圖中的長不是4倍啊?

S2：你圖中的「?」是指長嗎?可是你最後算出來的答案又變成是長和寬的相差，到底那一個才對?

S21：你的圖應該要標示出(4-1)倍在那裡吧?

S15：老師，我可以改嗎?


圖2. S15一開始的解題表現

根據教學片段一，學生們發現S15所畫的長度線段圖中，標示「長」的部分並不符合題目所提到的「長是寬的4倍」，企圖製造S15的認知衝突，並透過不斷提問質疑的過程來促使S15察覺到自己把「『長比寬多出來的部分』標示為『長』的部分，為錯誤的畫法」，藉此「抓」出其「錯」誤的地方。進而引發了S15「老師，我可以改嗎?」後續主動要求進行修改的舉動。

(二) S15修正後的學習表現(如圖3)


圖3. S15修正後的解題表現

教學片段二

S15：因為長是寬的4倍，所以寬是基準量，1倍的意思，長是4倍，所以長是要從寬這邊開始畫，我先假設長為x公尺，多出來的這一段，就是長和寬相差的部分，用?來表示，以前學過比，這個比的算式最後要修改成 (因為有些題目不是1)，所以可以算出?是6，也就是長和寬相差6公尺的意思。

根據上述分析，筆者認為S15經過學生們的「抓錯」活動之後，不僅可以察覺自己錯誤之處，並進行正確的修改；甚至還可以將整個一般化的解題過程說清楚，充分顯示S15透過此次教學，展現了12年國教精神：「自發、互動、共好」的學習表現。

二、例題二

「飲料店今天賣出的飲料杯數是1026杯，比昨天賣出的杯數少了5%，昨天賣出多少杯飲料?」
 

（一）S10一開始的解題樣貌(如圖4)

教學片段三

S10：昨天賣出的飲料是基準量…

S23：你說昨天賣出的飲料是基準量，那你為什麼不把1倍寫在昨天那邊呢?

S4：今日賣出的1026杯，有包含上面(+5%)那一段嗎?

S10：對……ㄟ?等等，我好像寫錯了……。

S4：你的圖，到底是昨天賣出的飲料多?還是今天賣出的飲料多??

S10：ㄟ……我又錯了……。

S9：你式子中(1-5%)應該是1026的倍數，可是你的圖卻是(1+5%)啊？

S10：呃……對耶，我寫錯了啦……。

S16：你 到底是怎麼來的？

S10：呃……老師，我錯好多，我可以全部重新改嗎？


圖4. S10一開始的解題表現

根據教學片段三，學生們已經看出S10的解題過程中，存在許多「線段圖和數學算式不符」的情形(如圖4)，同時針對S10的每一個解題步驟，不斷進行質疑，一一「抓」出「錯」誤的地方，進而引發了S10「……老師，我錯好多，我可以全部重新改嗎?」，後續主動要求進行修改的舉動。

（二）10修正後的學習表現(如圖5)


圖5. S10修正後的解題表現

教學片段四(如圖6)

S10：因為今天賣出的飲料杯數是1026杯，比昨天賣出的杯數少了5%，所以表示昨天賣出的飲料是基準量，1倍的意思，所以我把1倍改寫在昨天的這條線段上，因為我不知道昨天賣出多少杯飲料，先假設昨天賣出的飲料有x杯。題目又說今天賣出的飲料比昨天賣出的少，所以多出來的5%，就要加在昨天的這一條線段後面，所以「昨天1倍」的弧線要包含這5%才對(圖6藍色處)，那麼『「今天」賣出的這一條線段就會變成95%，是1026杯的意思。數學式子要改成1：(1-5%)=x：1026，內項相乘等於外項相乘，所以 ，x算出來是1080，也就是昨天賣出的飲料有1080杯。


圖6. S10上台解說

根據上述分析，儘管S10一開始就能夠正確說出基準量是「昨天賣出的杯數」，但整個解題過程，不難看出S10存在許多錯誤之處，今天賣出的飲料杯數比昨天少，理應代表今天的線段圖要比昨天的線段圖短，但S10卻將今天的線段圖畫得比昨天長，既然1026所代表的倍數是(1倍+5%)，那麼數學式子就應該是1：(1+5%)=x：1026，而不是1：(1-5%)= x：1026。筆者探究可能的原因：因為題目說「比昨天賣出的杯數少了5%」，S10誤將這句話的意思解讀為「昨天賣出的杯數比較少，且少了5%」，才又會把「今天賣的杯數」畫得比較長，並且往外加長5%。因為S10無法完整理解題目的意義，因此在解題的過程中都是屬於「擷取片段式的理解」，才會產生許多前後不一致的現象。

三、課堂上「自發、互動、共好」的實踐樣貌

筆者認為，能夠讓學生覺得學習有趣、有意義、是自己想要學的，就會源源不斷的想去嘗試，這正是108新課綱所談的「自發」(如圖7、8)；近年來，佐藤學「學習共同體」的理念，改變了傳統的學習思維，認為學習除了是一種群體的共學行為外，更是一種自我挑戰的行動，以共學的學習態度取代獨學(黃郁倫和鍾啟泉譯，2012)，既是共學，與他人的「互動」顯得更為重要(如圖9、10)；這一次「基準量與比較量」的教學，由學生扮演「抓錯者」的角色，透過同儕間「提問與回答」的過程中，逐步釐清其認知衝突，最後大家都能獲得概念上的理解，達到互惠與「共好」的境界，筆者認為，本次的數學教學活動，充分實踐了12年國教「自發、互動、共好」的精神。


圖7. 學生「自發」學習樣貌一


圖8. 學生「自發」學習樣貌二


圖9. 集體共學樣貌


圖10. 一對一共學樣貌

 結論

根據本次教學結果，學生會出現「算式和圖示前後不一致」的現象，筆者認為，可能是題目學生會算，但卻不知道怎麼畫圖(如圖2、4)；換言之，倘若當學生碰到不會的題目時，一旦畫錯線段圖，那麼就更無法協助解題了。因此筆者得到二個結論：(1)教師若要檢驗學生是否真正理解基準量和比較量的概念，就必須藉由學生的解題歷程來一一檢視，以免造成因過度類推的誤判。(2)藉由同學們的提問(互動)來製造認知衝突，可以引發學生察覺到自己的錯誤之處，並主動要求將錯誤之處全數修改(自發)，甚至還能夠清楚且正確進行全程解說，讓大家皆能獲得數學概念上的理解(共好)，此可視為將12年國教「自發、互動、共好」的精神實踐在數學課室中的具體樣貌。