這些年從事資優教育，設計課程成為日常，在教具的研發上也小有心得，更從中得到許多樂趣。其中「摺出畢氏數」課程與其教具「畢氏數書籤」是一件別具意義的作品，在此與數學教育的同好們分享。

 發想動機

一直以來，都覺得摺紙非常適合用於學習幾何，這些年幾何摺紙在各地掀起一股熱潮，自己在教到相關的單元時也會搭配使用。2018年在構思課程時發現，只要將正方形色紙的一個頂點摺到一邊的中點，便會形成邊長為3:4:5的直角三角形(如圖1的ΔCEH)。這個無心插柳的發現讓我意外且驚喜，當時還稍微研究了如何將整張色紙收摺成這這各種三邊比的直角三角形，在過程中看到其中的相似三角形及各線段長度的整數比關係，讓我打算以此設計成課程或題組，但後來持續忙於其他事務，這件事也就自然進到工作排程的暫存區，同時聽說這個摺法和日本摺紙大師芳賀和夫的芳賀第一定理的摺法相同。


圖1. 邊長為3:4:5的直角三角形ΔCEH


圖2. 將ΔCEH、ΔDPE向內摺

直到2019年6月，在一次台北市資優中心舉辦的研習中，聽到游森棚教授也分享這個摺法，並提到可從中摺出常見的畢氏數，讓我眼睛為之一亮，自己試摺後摺出邊長比為5:12:13、7:24:25、8:15:17的直角三角形，於是「摺出畢氏數」的課程架構在腦海中已然成形。

 課程設計

2019年10十月開始著手設計課程，準備在11下個月新加坡中學來訪時實施。產出課程與學習單後，與協同教學的黃彩霞老師共備。她指出因為授課的對象是八年級資優生，而學習單中有幾個任務必須以相似形的性質解題，於是經過一番討論，將原本的任務修改與調整，避開了這個九年級才會正式學到的概念。以下是本課程學習單內容的簡介：

如圖1，首先讓學生摺出正方形ABCD的對稱軸，將B點與E點重合，此時的摺線會唯一；令A點的位置為交於P點。第一個任務是求ΔCEH的三邊長，假設，則，由可得a:b=3:4，故ΔCEH的三邊比為3:4:5。為了整張紙所摺出的直角三角形之邊長皆為常見的畢氏數，學習單上假設（所以。接著讓學生以為摺線，將ΔCEH、ΔDPE向內摺(如圖2)，觀察C點和D點重疊、和P、H兩點共線的現象。由圖二可知，因為∠PEH=90°，所以∠DEP+∠HEC=90°，因此，故C點和D點重疊，因為∠HC'E+∠ED'P=180°，所以P、C' (D')、H三點共線。

如圖2，接著先摺出，然後攤開色紙，再過P點摺出與平行的，求ΔPQH、ΔPED與ΔPHE的三邊長，以及圖1中ΔA'GP的三邊長，假設，則，，由可得x=16，所以ΔPQH的三邊長為（7,24,25）。因為，且12，所以，即ΔPED的三邊長為（12,16,20），故ΔPHE的三邊長為（15,20,25）。又，假設，則，因為，所以y=3，故ΔA'GP的三邊長為（3,4,5）。

完成了以上的計算後，接下來的任務是讓學生嘗試在同一張色紙摺出以其他常見畢氏數為邊長的直角三角形，包括（5,12,13）、（8,15,17）和（9,40,41），其中（9,40,41）的一股(40)和斜邊(41)的長度都超過色紙的上的最長線段(對角線)，所以將「摺出邊長（9,40,41）的直角三角形」的任務改成「摺出三邊比為9：40：41的直角三角形」(與明德國中跨校共備時，本校的陳怡君老師提出這個修正建議)。

如圖3，前面已推得ΔPQH的三邊長為（7,24,25），ΔGAP'的三邊長為（3,4,5），只要過G點摺出與平行的交於U點，則，又，所以ΔUVQ的三邊長為（5,12,13）。過H點摺出與平行的線段交於T點，則，又，所以ΔP' FT的三邊長為（8,15,17）。過P' 點摺出與平行的，再摺出的中點S，則，因此 ΔSCR的邊長比為9：40：41。這些三角形的摺法並非不唯一，適合讓學生思考一題多解，教學時可引導他們找到互相垂直且長度為畢氏數(兩股)的兩個線段作為直角三角形的兩股，則摺出的斜邊自然是畢氏數。例如：經由學習單前面的任務已求得，所以，只要摺出與平行的，即可得，只要再摺出過U、Q兩點的線段，即可得到(長度為13的)斜邊。設計以上摺出畢氏數任務的目的不僅在於讓學生看到畢氏數具體的量與形，培養其數感與解決真實問題的能力，過程中的探究與實作也符合未來新課綱的精神。


圖3. 摺出的斜邊是畢氏數


圖4. 兩張A4紙以互相垂直的方式疊合

在設計課程期間，我觀察到，即直角三角形的斜邊長為某兩邊之和，一股為某兩邊之差，假設將斜邊以a+b表示，一股以a-b表示，另一股以c表示，其中a、b、c為正整數，則根據畢氏定理可得，化簡後為，當c值固定，可解得(a,b)的所有可能值。這個求畢氏數的方法和過去我們所知的作法有些不同，對我而言像是發現了一個畢氏數產生器，同時不禁好奇是否所有的畢氏數都可以由它產生。

後來我發現在上述的關係式中，當a、b為完全平方數時，令a=為正整數，三邊即為常見的畢氏數生成公式；當a、b不為完全平方數時，不失一般性，令，p、m、n為正整數（且p不為完全平方數），三邊為(，可見三邊有公因數p，非素畢氏三元數(primitive Pythagorean triple)。

結合相關文獻的推論，我得到以下的結論：若a、b、c為正整數，且，其中為一奇一偶的正整數，m>n，(m,n)=1時，(a-b,c,a+b)為素畢氏三元數，且所有的素畢氏三元數皆可由它生成。

 課前備料

產出課程後，接著思考的是該讓學生使用那種材質與大小的紙張進行摺紙的活動。由於教學時會希望學生將推得的邊長逐一標示在所摺的紙張上，一般市售的15公分正方形色紙大小略嫌不足，所以決定使用A4紙裁切成(以短邊為邊長的)正方形。如果時間充足，我會將此納入課程，讓學生思考如何從一張A4紙得到一個最大的正方形，我心目中的理想作法是拿兩張A4紙以互相垂直的方式疊合(如圖4)，只要將多出的長方形向內摺並切除即為所求。但因考慮到課程實施的時間只有一堂課，所以在準備材料時只得預先將A4紙裁切成正方形，讓學生直接於課堂上使用。


圖5. 幾何構圖之一


圖6. 幾何構圖之二

 跨域協作

當自己拿這樣的正方形紙張試摺出學習單上指定的摺法與畢氏數後，發現燈光下的摺痕非常好看，當時腦中升起一個念頭，想把這個課程結合藝文領域擴充為跨領域課程，於是拿起色鉛筆在摺痕所形成的多邊形上著色(如圖5)，完成後想到四色定理，也想到看過一種黑白交錯的幾何構圖，便再用黑色色鉛筆畫了另一個版本(如圖6)，畫完之後，想到這種構圖可以引發一個值得學生思考的問題：假設n條直線將一個正方形切割成m個多邊形，如果每個多邊形都是黑色或白色，是否一定能做到如圖五那樣任兩個(有共用邊的)相鄰多邊形顏色皆不相同(即同色不相鄰)？如果把正方形換成其他圖形情況是否相同？

 訂製書籤

由於受限於課程操作的時間，完成摺紙後無法當場著色，心中升起一個念頭：如果能有與教學活動相關的小物贈與兩校同學應該很有紀念性。於是在彩霞老師的發想與協助下，找到廠商製作一張分別以圖5和圖6為正反面的正方形書籤，其中蘊含兩個用心的設計：（1）以完美數6(公分)作為邊長的長度。（2）正反兩面的圖形對齊，若在強光下能看到它們完全疊合。為了做到這兩個設定，增加了許多與廠商溝通及製作上的難度。

 課程啟用

新加坡德明政府中學的學生來訪，是首次實施本課程。當天的師生互動熱絡(如圖7、8)，活動一開始進行，就發現新加坡的學生因為過往學習時沒被要求記憶，自然地拿出手機計算，與熟知常用畢氏數的本校學生截然不同，可說是意料之外的課程交流。過程中有一位德明政府中學的男同學提出（8,15,17）的摺法讓我讚賞且印象深刻：如圖9，他摺出∠REP的角平分線，使R點落在上的R'點，則，ΔHER'的邊長為（8,15,17）。


圖7. 教學活動現場之一


圖8. 教學活動現場之二


圖9. （8,15,17）的摺法

 感恩致謝

後來有幾次機緣陸續與幾所其他縣市國中的老師分享本課程，直到去年底再度參與游教授的資優工作坊時，榮幸地與他分享這張得來不易的書籤，之後看到摺紙的文獻，內容提到只要將芳賀定理摺到邊上中點的摺法改為摺到邊上的其他等分點，所形成的直角三角形之三邊皆為畢氏數，才恍然當時應該誤會了教授的意思，不過卻也因而走出另一條美好的道路，看到多采多姿的景緻，在此由衷感謝森棚教授、彩霞老師及校內外參與過本課程共備的夥伴們，讓我得以產出這套教材教法，期待未來能夠再與更多的師生們分享這張畢氏數書籤中的幾何之美！