行星磁場的形成
文/龔慧貞
太陽系的自太陽本身到行星及較大的衛星大多都觀察到有磁場（現今的金星及火星已無磁場或殘餘部分磁場）。地球磁場的存在除了可幫助導航外，在地球高空（電離層以上）形成磁層，其更形成磁力線敵擋來自太陽風的高能粒子，降低這些高能物質對地球生物的輻射傷害。
地球磁場－發電機理論（dynamotheory）
地球為什麼會有磁場？在1940年後期物理學家W.M.Elsasser提出一個「發電機理論」，那時已經知道地球有液態的外核，他表示要誘發磁力線的產生，需要三個條件：（1）大量可導電的金屬液體，如熔融的鐵液（2）地球的自轉（3）熱與化學成份的對流作用。大家都知道越往地球內部溫度愈熱，外部較涼，因此基本上地球內部會有熱對流產生，也就有物質的傳遞，但鐵鎳合金的成份會隨著溫度的改變而改變，因此它的化學成份也有變化，也會造成對流的現象。金屬液體對流加上地球自轉所產生的科氏力形成捲狀的電流，如圖1，會進而誘發磁場。
圖1. 地核發電機理論模型。（圖片取自維基百科）
仔細看圖中的磁力線，地核裡的磁力線其實還蠻複雜的，但我們在地表看到的磁力線就是從磁南極指向磁北極的封閉曲線，符合現在對地磁的觀察。
近2000年時法國國家科學中心利用一個大型圓筒狀儀器，內裝有150公升的液態鈉，圓桶兩端轉不同方向模擬地核旋轉，直到2006年在高溫、高速旋轉中第一次看到誘發出的磁場，並且有趣的是，每隔一段時間，誘發的磁場磁極方向會改變。在1995年地球物理學家GaryA.Glatzmaier與PaulH.Roberts便提出了理論模型（Glatzmaier―Robertsmodel），並利用電腦模擬重建地球磁場的強度、磁極特性及自發性反轉。這些實驗與電腦模擬的結果，基本上跟我們在地球對地磁的一些觀察是有關連的。第一個，有些人會把地球的磁場想像成一根磁棒，其實不是這樣的概念，將地球磁極想成磁棒會有個問題――它無法解釋磁極漂移的現象。我們的磁南極與磁北極每過幾年就會變換方向、位置，而且它們兩者移動的方向、位置是不一樣的，如圖2，左圖是北半球從20世紀初一直到2005年所測量的磁極位置，它是從加拿大往蘇俄方向偏移，而且速度是越來越快；而在南極（右圖），磁極基本上就在南極洲附近，位移的速度跟距離不如北極這麼快，因此，磁棒的概念很難解釋這樣的現象，發電機理論產生的磁場較能容易解釋觀察的結果。
還有另一個是觀察中洋脊附近噴發的玄武岩的磁性礦物，這些礦物會記錄當時噴發時地球磁場的方向，發現某些地質時間其磁場方向跟現在一樣，有些時間則是跟現在呈相反方向，地磁磁極在轉換的時間是非常短暫的，並沒有地質記錄是看到磁極介於0∘到180∘之間，都是馬上變換（從千年到百萬年之內），若是磁棒的概念，磁極要旋轉基本上會記錄到不一樣的方向，不會只有0∘或180∘，所以前面那些實驗、發電機的概念及地球液態核的觀察是可以幫助我們解釋這些地磁的觀察。
（圖片來源：英國地質調查局British Geological Survey，BGS）
雖然現在我們對地球磁場有了一些定性的理論，但以下的現象仍需有進一步地解釋。例如：像磁極漫遊是如何移動、它真正的機制，另外還有磁場區域性的變化，譬如最近我們一直在討論磁極磁場一直在變弱中，是否代表它要反轉？這也是有些人在擔心的。第四點是地磁反轉及非週期性的問題，圖3是地磁磁場方向的紀錄，黑白部分代表與現在磁場同方向及不同方向，圖上標明的中生代是指恐龍主宰地球的時候，可以發現那時地磁反轉的次數沒那麼高，而新生代（靠近現代）地磁反轉的次數相對於中生代是非常頻繁的，這現象要怎麼解釋？這些都是現在科學家要試著去回答的問題。
圖3. 地球地磁方向（與現在地磁方向比較）與時間的關係
（圖片來源：由Chris Rowan繪製，筆者重繪）
太陽系行星磁場
太陽系的演化使得我們的行星化學成分以小行星帶被分為兩種不同的群組，靠近太陽的行星稱類地行星，它們跟地球類似，都屬於石質的化學成分；而小行星帶外面的行星稱類木行星，與類地行星不同，它們的化學成分主要為氫、氦等元素。類地行星中已知地球有已鐵合金為主的金屬核因為地球內部的溫度壓力使其在所謂「外地核」深度使鐵合金呈熔融狀態在「內地核」深度呈固態（圖4）。其他的類地行星也被認為有以鐵合金為主的金屬核所以生成磁場的機制是跟地球相似。用已知的觀測如果把地球磁場訂作1，剩下的類地行星的磁場都很弱或接近0；而類木行星很有趣，木星磁場球度約為地球的19520倍，土星磁場約為地球的578倍，其它大約在20-50倍間。地球有個熔融的金屬核自轉，那類木行星產生磁場的機制是什麼？氫跟氦或是如何產生磁場？
圖4. 鐵的相圖。圖中希臘字母代表鐵的結晶結構不同。
（圖片來源：由Soderlind（1996）等人繪製，筆者重繪)
圖5是氫的相圖，描繪氫在不同溫度、壓力下的狀態與結構，氫在常溫下是氣體，高溫或高壓下有了不同的狀態。液態氫與固態氫是我們在日常所知的狀態可是從圖上可看到，到了非常高溫、高壓的時候氫變成了液態「金屬」氫，稍微低溫一點則得到固態金屬氫。其實，當用氣體形容氫的型態時，我們都是用地球表面的觀點，但如果氫是在極度高溫、高壓（如類木行星）的狀態下，這些一般人號稱「氣體」的元素也都可以變成了金屬。圖中綠斜線代表土星/木星內的溫度梯度，可看出氫在土/木星較深處是液態金屬的狀態。
圖5. 氫的相圖。綠斜線代表土/木星內的溫度梯度。
（圖片來源：由Silvera（2017）等人繪製，筆者重繪）
而據我們所知，天王星和海王星內部有很多固態冰（H2O），大家都接受水有氣態、液態、固態，而最近從高溫高壓實驗發現，H2O在非常高溫高壓時會變成「超離子態」，此時「水」還是H2O，但是一個三度空間的結構，氫可以在氧原子之間游走，變成可以導電的狀態。其實不管是金屬氫或水的超離子狀態，在30、40年前理論就已預測有這些狀態存在，但我們做實驗的人到現在才看到。氫、水在高溫高壓下變成可以導電的狀態，加上這些行星也是會自轉，因此這些較輕的類木行星的磁場機制跟地球是很類似的，只是成份不同。圖6是幾個類木行星內部的構造，基本上它們還是有一個小小、石質的核，不過土星或木星外面大部分為液態或金屬氫，這取決於它們的壓力大小。而天王星跟海王星都有冰核，這些冰核基本上都是超離子狀態。這些都是最近從實驗得知，這些物質在高溫高壓下可以呈現這些狀態，幫助我們去推測其它行星磁場形成的原因。
圖6. 類木行星的內部構造
（圖片來源：https://www.astronomynotes.com/solarsys，筆者改作）
結論
太陽系行星磁場的形成機制基本上是跟自身的自轉及行星內部存在有能對流的金屬液。這所謂發電機理論，是可以用來解釋地球上的地質／地球物理觀察及用實驗來展示其可能性。行星地質學家更以高溫高壓實驗探討現類木行星內部狀態及其動力行為。
參考文獻 Silvera et al. (2017) Metallic hydrogen. Journal of Low Temperature Physics, 187, 4-19.（https://link.springer.com/article/10.1007/s10909-017-1748-4）
Soderlind et al. (1996) First-principles theory of iron up to earth-core pressures: Structural, vibrational, and elastic properties. Physical Review B,53(21):14063
龔慧貞
國立成功大學地球科學系
張拉整體結構的發展史與其應用
文／戴明鳳
前言
何謂張拉整體結構？
「張拉整體」是＂Tensegrity＂英文一詞的中文翻譯，＂Tensegrity＂英文則是由張力（由拉力產生的張力）的英文 ＂Tension＂與具有共構或整體意含的英文＂Integrity＂兩個英文字組合而成的新名詞。故中文也有譯為「張拉共構體」。[1-3]
如圖1所示，是清華大學跨領域科學教育中心自製的典型張拉整體結構實體圖。兩個原為獨立不連續的固體結構單元，在原彼此不直接接觸的狀態下，經由數條繩線的連接，並透過繩線間的「張力」所形成的「拉力」，使兩個獨立的物體結合形成一個「共構體」或稱「整體結構」。並使其中一個獨立的子結構部分看起來似乎是被懸掛在半空中，不會因受重力作用而垂掉下來的穩定平衡結構。圖中的張拉整體結構體上方的三角型平板不僅看似懸浮在半空中，還可以承受高達1 kg 以上的重物。很有趣吧！圖2呈現了不少由網路搜尋所得的相關設計成品。
圖1. 清大跨領域科學教育中心自製之張拉整體結構系列的典型結構之一的實體圖。
以上、下兩個不連續的獨立木質板作為立體單元，再透過數條被緊拉而形成有張力的繩線作用，使線與木質板的整體交互作用而得以獲得一個穩定的平衡狀態。圖中的張拉整體結構體的上方平台可以承重到高達1 kg 以上的質量。
圖2. 以張拉整體結構為基礎設計的生活家俱產品
圖片來源：google搜尋所得之網路作品
「張拉整體」是20世紀中期，由美國理查·巴克敏斯特·富勒（Richard Buckminster Fuller，1895-1983年）提出的一個特殊的力學結構概念，並創造出的新術語。當時是用來描述「由剛性結構和纜索組成的自張緊結構，即在結構內透過同時產生『纜索的牽引力』和『剛性結構的壓縮力』形成一個穩定平衡的整體結構。」意即張拉整體是一個結構系統所表現出來的特性，系統內運用了能夠在固有的應力下（如牽引力和壓縮力），能共同且同時作用於其他固體元件（通常是鋼體或木杆）的電纜（牽引力）和結構系統的剛度，從而使系統產生更大的阻力和穩定性。
根據富勒的說法，此系統是通過對抗力量形成，「以自然的機構為基礎，能運用最少的元素，形成堅固的結構」。
如在繩線的張力和物體的重力組合系統中，可將原為各自獨立且具有質量的個體零件 （即彼此之間不是利用黏結劑或任何固定的夾具），透過看似柔軟的繩線經張拉效應所產生的張拉力，而將這些獨立的個體零件組拉成一個完整且穩定的立體結構，這種空間組織構成了一個持續平衡的拉伸和壓縮的連續狀態，此即稱為「張拉共構體」或「張拉整體」結構。因是透過看似柔軟的繩線或繩索的牽拉而形成的整體結構，故某些獨立的個體讓人看來有如飄浮在空中的錯覺感和飄零的意境。
此種型態的力學作用形成了一個彼此相互連結與支撐的結構，就像生物體內的肌肉和骨骼一樣，可透過其中的一個元素（如肌肉組織連結）來強化另一個元素（強化骨骼功能）。此結構型態有時也會被生物學家運用來根據生物的幾何特徵，解釋組成生物的元素與方式。
近年來，全球各地玩家也開始以Tensegrity結構為發想，進行各種形態創意設計。讓我們也一起來腦力激盪，設計自己的張拉整體作品，並體驗這神奇的「平衡」現象！
壹、張拉整體結構概念的起源
首先提出張拉整體結構概念者，最早的具體紀錄應可追溯到1921年，俄羅斯雕刻藝術家卡爾·約根森（Karl Ioganson）的發明。他展示了一個由3根杆和8條索組成的張拉整體模型，如圖3所示。但這個模型不具有足夠強的剛度，任一根索的收縮都會使模型產生機構性位移，以致結構不穩而垮塌。不過，它與後來被視為經典代表作的「Simplex單元」設計已經非常接近，後者作品是由3杆9索所組成的「自平衡結構體」，如圖3所示。
圖3. 張拉整體模型草圖與設計圖
左圖：1921年，卡爾·約根森提出的3杆8索之張拉整體模型草圖。
右圖：經典的「Simplex單元」張拉整體模型設計圖，由3杆9索組成張拉整體模型。紅色較細的線代表「索」提供了系統中所需的自承力，綠色較粗的線表「杆」為結構系統中的受壓單元。
3杆9索的Simplex單元可說是最簡單的張拉整體結構，看上去很像一根三角柱被擰了一個角度，每根杆件的兩端點都分別連接了3條索。在此系統中索為受壓的杆提供了軸向壓力，並且「固定」了杆件端點的位置。但很可惜此作品當時沒有得到太多注意與認可，但Simplex單元卻可說是後來開發許多張拉整體結構作品的基本組件。此處所指的「杆」是指長度長到人手不方便操控，且質量也不輕的棍狀物體，故很不容易以獨自傾斜，或是垂直安放的方式擺置。
1948年，一位不僅是哲學家、更是傑出建築師及發明家的美國理查·巴克敏斯特·富勒，在黑山學院演講中提到了一個有趣的概念，「Small islands of compression in a sea of tension」。他比喻宇宙中的天體如同是漂浮在萬有引力的拉力海洋之中，受萬有引力拉、壓的孤島，在大自然中有「間斷壓（不連續壓）」與「連續拉」的現象同時存在，並互相作用。後來也是著名雕塑家肯尼斯·斯內爾森（Kenneth Snelson）當時正在富勒的團隊內學習，受到富勒此比喻的啟發，對此概念產生很大的興趣，故而在1948年，以此概念為基礎設計了一件名為「Snelson's X」的裝置藝術作品，並獲得專利，如圖4所示。之後，他陸續使用此張拉整體的理念創作出許多很經典的作品。有興趣者可參閱免費的電子書＂Kenneth Snelson: Art and Ideas＂
下載網址：http://kennethsnelson.net/KennethSnelson_Art_And_Ideas.pdf
圖4. 1948年，雕塑家肯尼斯·斯內爾森，以「Snelson's X」為名的藝術作品和他的其他張拉整體結構設計。
富勒看到Snelson's X後，突然意識到，這個結構正是他當時苦苦尋找的答案。因此富勒用「tensional」（張拉） 和「integrity」（整體） 合成創設了一個「Tensegrity」（張拉整體）新名詞。自此，此類張拉整體結構才引起大眾比較廣泛的注意，因此現今一般多公認富勒和內爾森是張拉整體結構的發明者。但數年後，對於提起或開發張拉整體結構，富勒在諸多場合中不再提斯內爾森的名字，而斯內爾森也改以「浮動壓縮（Floating Compression）」一詞闡述他的作品理念。
「浮動壓縮」用以描述一種三角結構，由杆狀支柱（作為壓縮元件）組成，由纜索（張力元件）約束，其中支柱互不接觸。該單元由電纜部分預加應力，並在整個三角結構中保持安全平衡。簡而言之浮動壓縮構件是由「懸掛在緊密網中的木棍組成，其中木棍彼此不接觸」。
預應力結構將來自纜索的張力均勻地分佈在整體結構自身各處，以使壓縮單元被懸掛在張力網中，從而使施加在一個點上的應力均勻且即時地分佈在整個結構中。結構中並沒有杠杆臂或支點。
此幾何結構設計只需使用質量輕巧的電纜或繩線作為受拉的部件（或連接用的繫帶），這些受拉的繩線若足夠緊繃的話，就能支撐起其他質量重許多之材質所製成的受壓部件（支柱或平面）。構成結構形式的支柱被固定在受拉構件的連接網絡中。富勒將張拉整體形容為「張力海洋中的被壓縮的小島」。
「張拉整體結構」一詞由富勒首次提出，主要用於描述「具有張力與拉力的繩索或電纜等，將不連續的剛性構件組合而成的結構系統」。整體結構系統通過具有拉力的繩索和具有剛性的構件，在多個拉應力間彼此互相平衡的作用下，在不同的方位上形成一系列強而有力的支撐力，以提供立體結構足夠強的穩定性。結構體內每個構件都是完整不可分割或缺少的一部分，如同人體肌肉與骨骼相互作用，兩者是相輔相成。
身兼哲學家與傑出建築師及發明家的富勒一生發表了超過30本書籍，有許多創意的發明，更創造了多項現今仍廣為流用的英文詞彙。這些創作主要是建築結構設計，最著名之一即是球型屋頂結構的創作。富勒烯（Fullerene）就因其形狀類似富勒的球型屋頂（見圖5）而得名。
圖5. 巴克敏斯特·富勒及其作品
左圖：巴克敏斯特·富勒年輕時的肖像
中圖：1967年，富勒的圓頂建築作品
（The Montreal Biosphère by Buckminster Fuller，照片來源Montreal Biosphere - Wikipedia）
右圖：Fuller's home in Carbondale.
（圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Buckminster_Fuller）
1985年，英國化學家哈羅德·沃特爾·克羅托博士和美國科學家理察·斯莫利在萊斯大學成功地製備出了第一個富勒烯，即「C60分子」或「碳60富勒烯」，如圖6所示。富勒烯是一種由碳組成的中空分子，形狀可呈球型、橢球型、柱型或管狀。在結構上與石墨很相似，石墨是由六元環組成的石墨烯層堆積而成，而富勒烯不僅含有六元環還有五元環，偶爾還有七元環。C60分子的結構因與富勒的圓頂建築作品很相似，科學家為了表達對他的敬意，因而將之命名為「巴克明斯特·富勒烯」也稱巴克球、巴基球（Buckyball）。自然界也存在富勒烯分子，2010年透過太空望遠鏡觀測，科學家們發現在外太空中也有富勒烯的存在，故有科學家推測也許就是外太空的富勒烯為地球提供了生命的種子。
圖6. C60的分子結構與現代足球的結構非常類似
圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Fullerene
貳、張拉整體結構的特點
此結構是由「不連續的受壓構件（對杆-索組成的系統而言，即指支杆的部分）」與「連續的受拉單元（即指繩索的部分）」所組成的自支承與自應力的空間結構。而受壓構件之間不直接接觸，是透過受拉單元的繩索支撐著。
故張拉整體可說是「具有不連續壓縮的連續張力」。張拉整體結構堅固、靈活、輕便、在多方向都穩定，並且不受重力影響等諸多特性。它的穩定性不依賴於單個元素的強度；而是通過纜索將應力均勻分佈在整個結構中，以獲得高強度，即使是在相對的兩側[12, 19]。這個系統可說通過對抗力量形成，以「合併對立的力作用」，故根據富勒的說法，這是「自然的結構基礎；能夠運用最少的元素，形成一個強大堅固的結構」。
Levin [18-20] 將張拉整體原理應用於人體並將其命名為生物張拉整體。他表示，骨骼可說是漂浮在軟組織綜合張力網路中的壓縮元件，包括韌帶、肌肉、軟骨和結締組織。
1951年，在英國展出的摩天塔（Skylon tower），如圖7所示，其中3根又長又重的塔柱，使用了6條索將之豎立在地面上。塔柱的兩端各有3條索，下方的3條索固定了整體結構的位置，而上部的3條索則用於讓塔柱結構保持豎直。
圖7. 1951年，在英國展出的摩天塔（Skylon tower）中，3根又長又重的柱子，使用了6條索組成一個張拉整體結構系統
張拉整體結構的剛性是由預應力提供，但在施加預應力之前，結構體系通常相當不穩定，故此結構屬於「臨界受力體系」。初始提供的預應力大小對整體結構的形態形成及結構的剛性都具有決定性的影響與作用，通常必需充分運用「幾何非線性結構力學」，才能進行完整詳細的分析。
對有結構力學分析經驗的人來說，當在討論一般傳統結構的受力關係時，可以很容易地理解力平衡所形成的靜態平衡狀態，且不難做得到平衡。但張拉整體結構卻是牽一髮而動全身，因此使得這種共構結構的穩定平衡增添了一份微妙有趣的神秘感。
斯內爾森根據創作靈感所設計的藝術裝置普遍被認為是張拉整體概念最早實作成功的作品。之後，有富勒、艾莫瑞奇（P. G. Emmerich）、瓦爾耐（O. Vilnay）、莫特羅（R. Motro）、漢納（A. Hanaor）等多位藝術家透過數學與圖形理論，研究出更多種不同型式、不同單元組合所形成的張拉整體結構體系。如圖8所示，富勒利用短棒與細繩線所設計的中空球型張拉整體結構，組成了一個20面體穹頂構造的張拉結構，以及其他更多面的球狀體結構。
圖8. 富勒展示其設計的中空球型的張拉整體結構
富勒利用短棒與細繩線組成一個穹頂構造的20面體張拉結構，以及其他更多面的球狀體結構。
參、雕塑家斯內爾森的經典創作—杆與索美麗神奇的交連
斯內爾森（Kenneth Snelson）是21世紀美國相當著名的雕塑家，斯內爾森受此結構概念啟發，因此特別積極於此結構系統的研發設計。自1948年開始，他對於張拉整體裝置的創作靈感似乎從未停止過，他主要的工作與貢獻是致力於將剛性的鋁合金或金屬鋼管和柔性的不鏽鋼索件組成張拉整體結構，創作了許多令人覺得不可思議，且極具視覺衝擊力的大型藝術作品。並在此結構的發展史上成了很重要的推手，也成就了很多經典且重要的作品。本段落內所呈列的圖片都是節錄自 “Kenneth Snelson: Art and Ideas”一書，書中記載了不少斯內爾森歷年著名的經典作品，及設計時的理念和心路歷程。此為免費版的電子書，共174頁，由Eleanor Heartney撰文斯內爾森本人親自補充。
文章網址：http://kennethsnelson.net/KennethSnelson_Art_And_Ideas.pdf
圖9呈現了他年輕時的作品之一Tensegrity tower，是由多個3杆9索的張拉整體（即前述提及的Simplex單元結構）疊加成的，每層的下部三個壓杆支點落在下一層頂部拉杆三角形的邊上。
圖9. 斯內爾森照片
左圖：年輕時的斯內爾森與在他創作的Tensegrity Tower作品。
右圖：年長時照片。
1968年，斯內爾森將多個Simplex單元疊高起來，受壓單元體的壓杆是以鋁合金管材質製作，拉索則使用不鏽鋼索；製作了一座高18公尺，寬6.18公尺，長5.42公尺尖塔造型的建築體，命名為Needle Tower，見圖10所示。此作品現陳列在美國華盛頓特區的Hirshhorn Museum and Sculpture公園。這可說是斯內爾森最經典的代表作品之一，此塔的後續延伸版竟能懸挑到高達30公尺之高！這即是根據富勒的理論所沿伸發展出的作品，富勒設計的測地圓頂在1948年就已暗示了拉伸結構的概念[5]。圖11-13呈列斯內爾森多項其他著名的作品。
圖10. 斯內爾森設計的針塔
(a)1968, K. Snelson設計的針塔（Needle tower I）結構
(b) 1969, Needle tower II塔高達30公尺
(c) Needle tower中心的側拍照片 (d)中心的仰視照片 (e)現場安裝過程 (f)跨河結構。
圖片來源：Needle Tower © Clayton Shonkwiler via Flickr 和 Easy K_Kenneth Snelson © Robin Capper via Flickr Licença CC BY-NC 2.0。
圖11. 斯內爾森其他張拉整體的作品
圖片來源：＂Kenneth Snelson: Art and Ideas＂免費版電子書 http://kennethsnelson.net/KennethSnelson_Art_And_Ideas.pdf
圖12. 斯內爾森的Vortex III作品, 2002
左上圖：頂視照片 ／ 左下圖：設計稿
中間圖：模型作品的實體照片
右圖：1968, V-X實體照, 不鏽鋼材質, 182.9 x 304.8 x 304.8 cm3。
圖片來源：＂Kenneth Snelson: Art and Ideas＂免費版電子書 http://kennethsnelson.net/KennethSnelson_Art_And_Ideas.pdf
圖13. 斯內爾森其他張拉整體的作品
圖片來源：＂Kenneth Snelson: Art and Ideas＂免費版電子書 http://kennethsnelson.net/KennethSnelson_Art_And_Ideas.pdf
肆、非直線型杆狀的之受壓單元組成的張拉整體結構
早期大部分張拉整體結構的受壓構件多是以直線形的杆狀為主，且只承受軸向力。但其實不須如此。早期經典之作「Snelson's X」的「壓杆」就不是直線型，而是X型。壓杆也可以是多杆，或曲線形狀，或二維平面狀，或三維立體塊狀等等，如圖14所示的幾款張拉整體結構體。
圖14. 非直線型壓杆式的受壓單元之張拉整體結構體
伍、近代張拉整體結構在各領域的應用
一、張拉整體在生物力學的探究應用
張拉整體被認為是生命形式結構的生物力學基礎之一，可用以描述從碳分子的基本單元到細胞，再到全身組織系統的運作[12-14]。甚至可藉以探討如何通過改變細胞的形狀，來介導機械應力移轉到化學反應的轉導機制。許多關於細胞張拉整體性的領先研究多是由哈佛大學 Wyss 生物啟發工程研究所的創始成員 Donald Ingber 完成的[12-15]。
生物學家認為要瞭解「韌帶懸吊」的運作機制，就須要瞭解軟組織（如韌帶和肌肉）與身體結構元素（骨骼）之間的相互作用關係。而這種關係即可透過張拉整體性（Tensional Integrity）的原則來理解。生物學家Flemons [17]即致力於研究軀幹、膝蓋、腳、脊柱、椎間盤、骨盆和骨骼的張拉整體結構在生物力學上關連性。另一位Stephen Levin 博士將張拉整體原理應用於人體，並將其命名為生物張拉整體。發表了許多描述肌肉骨骼系統內生物的張拉整體性的研究成果[18-20]。他認為「骨骼是漂浮在軟組織綜合張力網路中的壓縮元件，包括韌帶、肌肉、軟骨和結締組織」。
二、生活中的科學藝術傢俱或藝術展示品:
不少人將雕刻藝術家原設計的龐大藝術作品的尺寸小型化後，設計成可居家使用的生活美學用品。K. Snelson1也不少有小型化的桌上型作品，如圖15所示。或透過張拉整體概念設計並製作出的大、小茶几，椅子，桌子、展示架或置物架等等各式物品不勝枚舉，且極具創意與美學意涵，亦有商品化產品。如圖16中呈現可實際使用的飄浮椅，以及圖2呈現的多款小型實用的生活用品。
圖15. 斯內爾森的小型化桌上型作品
圖片來源：＂Kenneth Snelson: Art and Ideas＂免費版電子書 http://kennethsnelson.net/KennethSnelson_Art_And_Ideas.pdf
圖16. 實現科學理論於生活中的飄浮椅
（圖片來源：網路）
左圖：https://www.cool3c.com/article/157640、https://youtu.be/4nkdl1iqKQA
右圖：https://www.youtube.com/watch?v=IZTKL4f3azA&t=48s
三、張拉整體機器人
2013年，NASA Ames Research Center研發以張拉整體結構體為基礎的機器人系統，規劃用於探索行星表面。典型代表之一是如圖17所示，NASA研發的Super Ball。此系統就不是採用simplex的單元，而是20面體（icosahedron），一共使用了6個壓杆。每支壓杆上裝有致動器，可以操控壓杆伸長或縮短，以改變壓杆的長度。NASA透過遺傳算法與機器學習，找出最佳的控制方法和策略；透過控制系統，調節拉索和壓杆的長度，可以使整個結構產生變形，如此便可以驅動結構體行進。
圖17. NASA開發的Super Ball張拉整體機器人（2003年）
可操控壓杆長度，使整體結構產生變形，進而可帶動結構體行進，以達到機械人的工作功能。規劃用於探索行星表面。
四、張拉整體與索穹頂的結合
1964年，富勒再次以張拉整體結構為基礎發想，利用短程線形成環向和徑向的拉索，將立柱層層向上拉抬起排列，以撐出穹頂的立體型態，如圖18所示。根據此向上升的懸吊式穹頂概念設計了一款全新的結構形式，稱為Aspension Dome結構。Aspension一詞即是富勒根據此穹頂型態創造出來的另一新名詞。
圖18. 1964年，富勒設計的懸吊式穹頂Aspension Dome
之後，蓋格爾（D. H. Geiger）也根據富勒的張拉整體結構的基礎，發明了支承於周邊受壓環樑上的一種索杆預應力的張拉整體穹頂結構體，稱為索穹頂。1986年，蓋格爾將索穹頂結構體系成功地應用於漢城奧運會的體操館（穹頂直徑為119.8 公尺）和擊劍館的屋頂設計上（穹頂直徑為89.9 公尺）。
另有M.萊維（Levy） 於1992年，設計了一款穩定性更強的三角形網格穹頂，並將之運用在亞特蘭大奧運會的主體育館的屋頂結構上。如圖19所示，此喬治亞體育館穹頂（Georgia Dome）平面呈橢圓形，此雙曲拋物面型之張拉整體索穹頂需要用到的鋼量僅3 kg/m2，就能撐起面積高達193 公尺 × 240 公尺的穹頂。相當令人嗔奇。但後因維護和使用原因，該館於2017年被拆除。
圖19. M.萊維（Levy）設計的喬治亞體育館空拍圖及該館的穹頂設計圖（1992年）
索穹頂雖是Aspension Dome張拉整體結構的進化版結構體，但因沒有嚴格地遵循結構自支承與自應力的原則，所以當偏離下部受壓環樑時，結構體就無法保持穩定平衡。
五、白色犀牛
2001年，日本川口建一教授設計了一座索膜結構，取名為＂White Rhino＂（請見圖20），採用了2個張拉整體單元作為索膜的主要支撐構件，可能是張拉整體結構在建築類結構中的首次應用。
圖20. 名為＂White Rhino＂的作品
展示於日本千葉，2001年。
參考文獻 [1] 蘇薇晨。基於張拉整體結構探討動態性結構」國立交通大學建築研究所碩士論文，2003年7月，https://ir.nctu.edu.tw/bitstream/11536/72882/1/951001.pdf
[2] Francesewright, “STRUCTURAL INSPIRATION : TENSEGRITY” (結構靈感：張拉整體結構), 2012年0月27日, https://fewrightstannergate.wordpress.com/2012/10/27/structural-inspiration-tensegrity/
[3] Robbin, T., Engineering a new architecture, 1996, New Haven and London: Yale University Press.
[4] Free E-book:“Kenneth Snelson: Art and Ideas”, Essay by Eleanor Heartney, Additional text by Kenneth Snelson, http://kennethsnelson.net/KennethSnelson_Art_And_Ideas.pdf
[5] Aaron Dong〈張拉整體結構簡介〉。https://zhuanlan.zhihu.com/p/29875553
[6] Wikipedia: Kenneth_Snelson. https://en.wikipedia.org/wiki/Kenneth_Snelson
[7] ArchDaily。https://reurl.cc/3jWbEV
[8] Serola Biomechanics。https://reurl.cc/GovGR3
[9] 〈建築結構丨張拉整體——結構中的杆和索還可以這麼玩，學習了！〉楊笑天。原文網址：https://read01.com/PMxENzL.html, 2018/12/11 來源：建築結構。
[10]〈什麼是‘整體張拉結構’？在建築中如何被運用？〉Matheus Pereira。譯者：林詩韻 Lin Shiyun。https://www.archdaily.cn/cn/895688/shi-yao-shi-zheng-ti-zhang-la-jie-gou-ta-men-ke-yi-zuo-shi-yao, 2018年6月17日。
[11] Pinterest。https://reurl.cc/oe6K3V
[12] Ingber, DE，生命的建築，Sci Am, 1998. 278(1): p. 48-57。
[13] Wang, N. 等人，活細胞中的機械行為與張拉整體模型一致，Proc Natl Acad Sci USA, 2001. 98(14): p. 7765-70。
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[16] Galli, C., et al., Life on the wire：論細胞中的張拉整體性和力平衡，Acta Biomed, 2005. 76(1): p. 5-12。
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戴明鳳
國立清華大學物理系教授
張拉整體結構實作套件設計與操作—— 在科學教育推廣上的應用設計
文/邱彩瑄、余青諄
詹志凡、高嘉鄖、戴明鳳
前言
「張拉整體結構」由巴克敏斯特·富勒(Buckminster Fuller)首先提出的結構力學概念與新的名詞，用於描述「由連續繩索與不連續的獨立剛性構件所組合而成的結構系統，該系統具有張力與拉力」。
如同前一篇文章內所述張拉整體結構是由「不連續的受壓構件」與「連續的受拉單元」所組成的自支承與自應力的空間結構，如圖1所示。而受壓構件之間不直接接觸，是透過受拉單元的繩索支撐著。故張拉整體可說是「具有不連續壓縮的連續張力所組成的整體結構」。張拉整體結構可堅固、靈活、輕便、並可在多方向都呈現穩定，平衡重力的影響等諸多特性。此類結構的穩定性不依賴於單個元素的強度；而是可以通過「連續的受拉單元繩線或纜索」將應力均勻分佈在整個結構中，以獲得高強度，即使是在相對的兩側。這個系統可說通過對抗力量形成，以「合併對立的力作用」，故根據富勒的說法，這是「自然的結構基礎；能夠運用最少的元素，形成一個強大堅固的結構」。
圖1. 張拉整體結構示意圖
圖1內所示之結構體的上方標示「獨立的受壓構件-1」的木質組合構件怎麼能靠中間那一條看似柔弱無力的繩線將之很穩固地支撐起來？使得結構看起來好像是具有抵抗重力作用的飄浮物體。然而，關鍵卻就是在於中間那條看來好像柔弱無力的繩線。
通常繩線壓縮無法提供外界任何有用的作用，但卻可以透過張拉，使繩線產生強而有力的作用力，以作用在其他物體上。故在此結構內的中央繩線是作為能提供緊繃拉力的張拉作用，因此若是少了中間這條繩線，上方的平台就會傾倒下來。所以，只要拉緊中間那條繩線，就可以透過繩線內緊繃的張力進而產生拉力，而將上方的物體構件向上抬升，更進一步地得以拉緊四周的繩子；四周的繩線可以是2條、3條、4條或更多條。
對於上方的物體構件而言，四周的繩線施予它向下的拉力，中央的繩線則施予它向上的拉力。上方物體構件的重量加上這些向下的拉力總和等於向上的拉力。但是只有總合力為零，是無法撐起上方的物體，還必須符合「向下的合力作用點需恰好位於中央繩線的正上方」。
當以此「向下的合力作用點」作為力矩作用的支點時，重力與四周繩線的拉力對此支點的合力矩也必須為零，如此才能符合合力為零，以使物體不會移動；且合力矩為零，以使物體不會轉動的靜力平衡。因此，必須仔細地調整四周各繩線的張拉作用力，這也是整體結構能否成功的關鍵條件。
總之，系統的繩線必須具有緊實的拉力，繩線張力作為整體結構的支撐力，以及平衡地心重力的功能，以達到整體結構的靜力平衡。意即在此結構系統的「張拉整體性」是其主要特質，整個系統通過具有張拉力的繩索和具有剛性的不連續構件組成，在多個作用力與剛性構件的重力作用下，在一定應力的作用下，形成具有足夠的阻力與穩定性，並形成一定的穩定靜力平衡。該結構的每個構件都是完整不可分割的一部分，就如同人體肌肉與骨骼相互作用一般，二者是相輔相成的。
張拉整體概念的發展至今已有70年之久的歷史了。但很遺憾的是，不論是實際應用或只是用於雕塑裝置，多停留在模型層面或美學展示用，真正應用在永續型或大型建築空間的案例似乎甚少。但此猛一看似具反重力的偽懸浮結構體對於在力學與靜力平衡的科學教學上卻具有很強的魅力，在探究實作教學上可以提供很高的教學效率與學習成效。
一般市售的張拉整體結構模型或實驗套件眾多，模型作品多為裝置藝術製品或樂高系列玩具，故操作者僅能以拼裝套件或組裝特定積木的方式，將套件的各單元組件按一定的方式依原設計者的模式組裝起來。廠商木製的實驗套件，為求外觀精緻且易於操作，故在整體教具的設計上無法提供操作者深入探究影響整體結構的變因，例如改變繫線位置、繫線方式、繩線材質、繩線數量、上下板的相對位置…等諸多變因。
市售張拉整體結構雖提供了趣味性，但鮮少提供操作者可以自由思考和探究的空間與機會。進而失去觀察與探究各種現象的趨動力以及對事物摸索的好奇心，反倒降低了問「為什麼」的求知慾，甚為可惜。
壹、張拉整體結構套件設計與特點
本團隊特別設計了一款成本低廉，易於組裝操作，且可輕易調變多項實驗變因的張拉整體結構實作套件組，使操作者能經由親自進行實驗操作，而得以深入探究影響整體結構平衡與影響承重的變因。經過團隊幾番討論、測試與改良後，我們選擇以木質板作為組裝材質。為求精準再以雷射切割機切割出所需的各項零組件，搭配適當長度的棉線，即完成一套可進行多項變因探討的張拉整體結構套件組內的材料項目如表1所列，實體照片如圖2所示。
整體結構中的不連續受壓構件是由第1-3項的材料(三角形木質平板，L型木質支柱和凹型木質卡榫)組合而成的，棉線則是結構中的連續受拉單元，如圖1所示。
第1-3項材料是使用1片長45 cm x寬30 cm x厚0.27 cm的木質板以雷射切割機切割而得。故若不考慮雷切機的切割費用(因實驗室自有)，此套件材料的總成本僅約30元左右。構件材料的材質也可以改用珍珠板、廢棄不用的厚紙箱板材、瓦楞板或厚紙板片亦可，那就可以以美工刀取代雷射切割機器。棉線可以改用其他線徑類似但不具彈性材質的繩線。
市售的商品化套件多是以打結的方式固定繩線或已裁剪好長度之繩線的兩端附上掛勾組固定，故通常無法調變繩線的長度，改變繩線的數目和改變繫掛繩線的位置。本文中所設計的構件材料特別在每片三角形平板的三個頂角處，三個邊的中點處，以及兩個L型支柱頂端都有特別切割出一道小縫隙和一個圓孔洞，如圖2中的木板片上所示。此兩個設計的功能如下說明。
一、縫隙的功能
每一縫隙的縫隙寬度(約1 mm)比所使用之繩線的線徑(我們選用線徑1.3 mm的棉線)略小一些，是用來繫掛繩線 (繩線可不需打結固定)。先將繩線扣到小細縫內，再利用繩線與縫隙板材間的摩擦力，使繩線在一定程度內被卡定在縫隙中。然後即可很簡單地直接利用「抽拉方式」適當調整繩線的長度，以使繩線能產生足夠的張力，並延伸出足夠的拉力作用在三角板與L型支柱之組合體的受壓構件上。
利用摩擦力的阻力，繩線僅需穿過細縫，讓操作者僅藉由拉動卡在縫隙中的繩線就可以很輕易地調整繩線的長度，進而調整繩線的拉力大小和繩線內張力的大小。如此設計與操作方式，不僅大幅縮短了組裝操作所需的時間外，也可更精準且多面性地調變與探究各種實驗變因，實在很方便。
二、圓孔洞的功能
待確定繩線的最佳長度後，可以將多餘的線頭和線尾穿過圓孔洞1-2次或直接穿過孔洞後打結，則可再更大幅度地提高繩線之張拉作用力的強度，並使繩線更牢固地連接著。如此可以使結構頂端的平面承受更高的負載量。此尺寸的結構體經由我們實驗操作後是可以承受約兩支Iphone-13手機的重量，即可承受重量高達1 kgw以上。
表1. 張拉整體結構實作套件的材料清單
圖2. 張拉整體結構實作套件組（清大跨領域科學教育中心設計） 參、套件的組裝步驟與操作
圖2的張拉整體結構套件的組裝流程如下所述，亦請同時參見圖3所示圖片：
Step 1 先將凹型卡榫卡進L型支柱的底部的細縫內。
Step 2 將步驟1完成的L型支柱與凹型卡榫組合體插入三角形板上某一角鄰近的＋型空隙內。為使L型支柱的L面能牢固地垂直在三角形板上，故此＋型空隙的尺寸設計略小一些。所以，需要用一點力量才能將L型支柱插到底。(小朋友若力道不夠，需要大朋友、助教或老師協助，以免插件時，用力不當，材料受損。) 此處凹型卡榫可用以強化三角形木板與L型支柱基座間的連接。如此即完成一組不連續的受壓構件，如圖3(a)所示。
Step 3 重複步驟1和2，再組出一組受壓構件，如圖3(b)所示，現應有兩組不連續的受壓構件。
Step 4 取一組不連續的受壓構件，在其L型支柱的端點上繫上一條棉線。當以手握住棉線的另一端時，如圖3(c)所示，可見受壓構建因其質量受地球萬有引力的作用，很自然的被懸吊在棉線的底部。三角形平板不可能獨自處於棉線和L型支柱的上方。
Step 5 如圖3(d)所示，將前一步驟中(圖3(c))中所用之繩線的另一端，繫到另一組不連續受壓構件之L型支柱上的細縫中。調整兩個L型支柱間連接繩線的長度到適當值，請探討何謂適當的長度？有一定的長度值嗎？還是長度在某一範圍內皆可？
Step 6 兩組不連續的受壓構件先置於桌面，並使兩片三角形平板左、右對峙安置，將步驟5以棉線連接兩個L型支柱的兩個端點的部分調整於結構體內位於兩個三角形平板的中間處。
Step 7 再取三條長約15 cm的棉線，如圖3(e)所示，分別用以連接兩不連續受壓構件中之三角形平板位於三個角處的細縫中。
Step 8 調整繩線的長度和緊度，使每條繩線都具有一定的張力，並使結構體呈現有一定程度的緊度。直至可以得到如圖3(e)所示的成品。
Step 9 在張拉整體結構體上方的三角形平台上慢慢增加砝碼的數量，看看平台上最多可以承受多重的砝碼，使平台仍不會倒塌。如圖3(f)所示。
圖3清大跨領域學教育中心自製之張拉整體結構的典型示意圖。上、下兩個不連續的獨立木質板立體單元，透過數條被緊拉而形成有張力的繩線作用，繩線與木板的整體交互作用而得以獲得一個穩定的平衡狀態。此圖中的張拉整體結構體的上方平台可以承重到高達800克以上的質量。
圖3. 張拉整體結構套件組裝流程與實作成品
(a) 取實作套件內的(1)正三角形木質板，L型木質支柱和凹型木質卡榫的先組合成一組受壓構件。
(b) 兩組不連續的受壓構件。
(c) 獨立的單一剛性構件上的L型木質支柱的尾端繫上一條繩線。
(d) 棉線的另一端繫到另一構件的L型木質支柱上。
(e) 兩組獨立受壓構件的外側以三條繩線繫在上、下兩片三角形木質板上，調整繩線長度與張力後，使得以獲得穩定的平衡，至此即完成張拉整體結構成品。
(f) 以砝碼測試張拉結構體的穩定度和可承受的最大荷重量。
肆、各項實驗變因對結構的穩定性與載重的影響
此型態的張拉整體結構有如下諸多議題和實驗變因可供探討：
1.探究上、下兩層支撐板是否必須為實心
2.探究上、下兩層支撐板形狀是否必須相同
3.探究上、下拉勾位置是否影響結構體的支撐力
4.探究材質重量是否影響結構體的支撐力
5.探究不同長度是否影響拉力數
6.認識張拉整體結構系統
7.探究張拉整體結構系統特性
8.如何設計張拉整體結構
9.張拉整體結構系統基本要素
10.探究不同種類之結構系統
11.認識何謂平衡系統
12.探究靜力平衡與張拉整體結構之關聯性
13.認識基礎靜力平衡
14.探討不同材質是否影響靜力平衡？
15.探討獨立的受壓構件的質量大小是否會影響靜力平衡？
16.學習基數實作技巧
17.培養探究實作精神
18.觀察實驗操作變因以及應變變因之間的關係
19.完成實驗記錄表
20.分析實驗結果
21.測試張拉整體結構可承受的重量
22.測試不同材質之張拉整體結構承重限度
23.觀察影響張拉整體結構承重係數的參數
24.探究繩子材質如何影響張拉整體結構承重
25.探究不同種類之張拉整體結構承重係數是否不同
此處，建議分別討論下列各項變因，對整體結構會有何影響？討論張拉整體結構的穩定度與可載重多少？
實驗一、外側三條繩線連接在上、下兩個三角形平板上的位置不同時，對整體結構的影響。分別考慮下列三種不同繫線位置時，觀察並記錄整體結構的穩定性，以及分別可承受的最大荷量為何？並討論中間線長度不同時的變化影響。請將結果填入表2中。
1.如圖4(a)所示，受壓構件的上、下兩個三角形平板平行對稱組裝。外側三條繩線繫掛在上、下兩個三角形平板上三個角的位置上，此時三條線互相平行且垂直地面。
2.如圖4(b)所示，外側三條繩線改繫於上、下兩個三角形的三邊中點處，此時三條線仍是互相平行且垂直地面
3.如圖4(c)所示，若在兩片三角形的三個角和三角形三邊的中點處都繫上繩線，意即外側總共繫上六條繩線。請問是否對結構的穩定性和承重會有幫助？
圖4. 上、下層兩個正三角形平板的角對角平行對稱放置，所有繩線互相平行且垂直於地面。
表2. 整體結構的穩定性與承重記錄表
※外側繩線繫於三角形不同位置時，及中央繩線長度不同時。
實驗二：整體結構除中央繩線外，若外側繫繩線如圖5所示，僅繫兩條繩線是否還能維持張拉整體結構？若答案是肯定的話，請問兩繩線選擇繫在不同位置時，對整體結構的穩定性分別有何不同？並討論中間繩線長度不同時的變化影響。請將結果填入表3中。
圖5. 兩三角板平行對稱上、下組裝，取一條繩線繫在上下平板的其中一個角處，另一條繩線繫在三角形邊的中央點處，如圖中標示紅點的位置。
表3. 結構穩定性與承重記錄表
※兩條繩線繫掛在不同位置時，不同長度的中央繩線時。
實驗三：整體結構除中央繩線外，若外側繫繩線如圖6所示，共繫四條繩線是否能強化張拉整體結構的剛性和穩定性？若答案是肯定的話，請問四條繩線選擇繫在不同位置時，對整體結構的穩定性分別有何不同？並討論中間繩線長度不同時的變化影響。請將結果填入表4中。
表4. 承重與穩定性記錄表
※外側共繫4條繩線在不同位置，改變中央繩線長度時。
實驗四：若外側繫繩線如圖7所示，共繫五條繩線是否能更強化張拉整體結構的剛性和穩定性？若答案是肯定的話，請問五條繩線選擇繫在不同位置時，對整體結構的穩定性分別有何不同？並討論中間線長度不同時的變化影響。請將結果填入表5中。
圖7. 兩三角板平行對稱上、下組裝，取五條繩線以分別繫在上下底板的頂點或三邊中間位置，如圖中標示紅點的位置。
表5. 承重與穩定性記錄表
※外側共繫5條繩線在不同位置，改變中央繩線長度時。
實驗五：受壓構件的上、下兩個三角形平板如圖8所示平行交錯組裝。除了兩個L型支柱端的中間所繫的繩線外，外側三條繩線繫掛在上、下兩個平板上三個角的位置與三角形邊長的中間處。此時三條線不再互相平行，且不再垂直地面，如此結構體是否還能穩定平衡？若可以的話，請再依表6所指示的位置，繫掛繩線兩端的位置。觀察中央繩線長度不同時，整體結構體是否穩固，以及可承受重量為何？
圖8. 兩個獨立受壓構件的兩個三角形平板上、下平行，但方位交錯組裝，即下方三角形的角對齊上方三角形一邊的中點。每一繩線的兩端分別繫到其中一個三角形板的頂角處和另一個三角形一邊的中央點處。此時三條線不是互相平行，且不再垂直地面，如此結構體是否還能穩定平衡？答案是肯定的喔！
表6. 受壓構件的上、下兩個三角形平板平行交錯組合時，當中央繩線長度不同時，整體結構的最高能承受的承重和穩定度
伍、實驗結果
經多方測試及統計分析上述諸多實驗結果，發現中央繩線長度的長短是影響結構體能否成功完成及是否穩定的關鍵因素。實驗結果亦發現連續受拉單元的繩線若是彼此互相平行，且都能鉛垂於三角形平板(即地平面)的話，則此款張拉整體結構的穩定度會較佳，可承受的荷重也較高。在上述的某些條件下，可承受至少1 kg重以上的荷重喔！此套件還可以將獨立構件組到三層之高！如圖9所示。是否可以搭接到高層的結構組合，則有待挑戰！
仔細觀察照片中上層受壓平板的承重逐漸加大時，外側原緊繃的繩線會受到壓縮，以致繩線的張力變小，進而導致結構的穩定度變差。終至負重過高，結構倒塌。
圖9. 此款張拉整體結構在某些條件下，至少可承重1 kg重以上的荷重喔！
陸、不同材質不同型式之張拉整體結構比較
另參考他人經驗，選用了鋁線，吸管和雲彩紙等三種生活中易於取得，且成本低廉的材料製作受壓構件，製作了四款不同型式的張拉整體結構體。以下就材質的優缺點作一個簡單說明和差異比較。
一、鋁線材質：此材質材料準備簡單，且價格低廉，只需使用一般書店內就能買得到的鋁線或是金屬線即可製作。建議使用硬度較高的金屬線製作，但需要使用尖嘴鉗彎曲金屬線。因此，適合國小高年級以上的學生製作。如欲製作大型的張拉整體結構，建議使用焊接方式，以黏合金屬線；小型的張拉整體結構則無需使用。因為大型張拉整體結構的質量比小型的整體結構重許多，故當張拉整體結構無法與桌面平行時，就必需進行焊接。硬度越大張拉整體結構越穩固。若使用線徑0.5 mm銅線製作的張拉整體結構，則可測量承重的量。
二、吸管材質：使用吸管製作張拉整體結構，主要特色不僅是材料容易取得，且可廢物利用。但製作所得之結構的堅固性與承重量比較差。相較於其他材質所製得的結構而言，比較不耐用。建議使用硬度較低，材質較軟的吸管，有利於材料的彎折。當有需打洞時，質軟的吸管較不易碎裂。選用之吸管及繩線的材質不同，堅固性也會不同。一般來說硬度越高、越粗的繩線較容易成功。通常無法探討結構的承重問題，適合國小學生製作。
三、紙質材質：製作較為困難，適合國中生使用，材質越硬的紙質，所製得的結構越堅固，但亦難以討論結構的承重議題。
四、吸管製之可回復張拉整體結構(也稱六芒星)：僅需使用6根吸管和6條橡皮筋，材料成本極低。適合作為科學教育使用，製作簡易，方便攜帶，並且有助於學生認識立體空間結構。與其它張拉整體結構較為不同，為類球體的張拉整體結構。可藉由自製此實驗成品，以引導學生探討不同型態之張拉整體結構間的差異。
五、木質材質：使用此材質所得的結構成品較為堅固，很適合探討結構的承重與繩線的張拉力強度。並可探討繩線位置對張拉整體結構之整體穩定性的影響，接線位置為邊對邊、角對角、邊對角時的平衡穩定性與承重有何不同，平板的形狀，上下板面形狀與大小不同…等等差異比較。甚至若只有一個板子是否也可以製作張拉整體結構？當連接中繩線位置不同時會有何改變？連結中線的L型立柱基座在邊上、角上、一個在邊上一個在角上時，會如何呢？讓老師與學生一起透過實驗來找到答案。可以啟發學生的好奇心，深入淺出的探討各項變因所造成的結果，增加學生的實作技巧以及找到問題並解決問題的能力。
柒、四種張拉整體結構製作流程
張拉整體結構製作所需材料與工具清單表和實作成品分別呈列於表7和表8中。表9-11是分別以鋁線、吸管和雲彩紙製作張拉整體結構體的製作流程。
表7. 張拉整體結構製作所需材料與工具清單表
表8. 以不同材質自製不同型態之張拉整體結構的實作成品
表9. 鋁線製之張拉整體結構的組裝流程
表10. 吸管製之張拉整體結構的製作流程
表11. 雲彩紙製之張拉整體結構的製作流程
表12. 可回復之張拉整體結構體-六芒星製作流程 參考影片：https://youtu.be/Hu_GQRBAfsI
捌、實驗結果的綜合分析
表13. 各式張拉整體結構的優缺點分析
表14. 各繩線繫掛位置的比較
表15. 線長對張拉整體解構之影響
結語
經彙整諸多實驗結果，可發現中央繩線長度的長短是影響結構體能否成功完成及是否穩定的關鍵因素。繩線繫線的位置也會因受壓構件的材質、形狀的不同而有所改變，圓形時需要至少兩條長線一條短線，連結位置在同側時，最為堅固穩定。
實驗中建議先讓學員瞭解張拉整體結構的定義，以及先設定探究的目標，此主題可以作為一系列的實驗，也可以作為單一的課程使用。可考慮最初階一直到較為困難的張拉整體結構製作，並且由淺到深地引導學員探討其中有趣的議題。希望此實作可以活用於各項科普活動以及科學推廣課程中，增加學員學習的樂趣，以及學員對於科學知識的渴望。
參考文獻 [1] 蘇薇晨,「基於張拉整體結構探討動態性結構」國立交通大學建築研究所碩士論文，2003年7月，https://ir.nctu.edu.tw/bitstream/11536/72882/1/951001.pdf。
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[9] “建築結構丨張拉整體——結構中的杆和索還可以這麼玩，學習了！”, 楊笑天，原文網址：https://read01.com/PMxENzL.html, 2018/12/11 來源：建築結構。
[10] “什麼是‘整體張拉結構’？在建築中如何被運用？”, Matheus Pereira, 譯者：林詩韻 Lin Shiyun, https://www.archdaily.cn/cn/895688/shi-yao-shi-zheng-ti-zhang-la-jie-gou-ta-men-ke-yi-zuo-shi-yao, 2018年6月17日。
[11] https://www.pinterest.com/search/pins/?q=Tensegrity&rs=typed&term_meta[]=Tensegrity%7Ctyped
[12] 科學電視節目【TRY科學】20211027 - 懸空神技 張拉整體,張拉共構體,反重力,漂浮…, https://youtu.be/ndJYSbzJMt4
[13] 【力學、張拉整體結構】奇妙懸浮(張拉結構)｜依靠線和結構就能達成的超神奇懸浮術！｜Tensegrity｜Science Experiments for School｜科學實驗教材, https://youtu.be/5UFVZ5xCJH0
[14] 如何製作張拉整體模型 How to build a tensegrity model, https://youtu.be/Hu_GQRBAfsI
[15] 這是什麼！壓扁還會變回原狀，超級不可思議的構造 〜張拉整體〜｜CCHANNEL DIY, https://youtu.be/twba2Zem-Jw
[16] 建築結構丨張拉整體——結構中的杆和索還可以這麼玩，學習了！原文網址：https://read01.com/zh-tw/PMxENzL.html#.Ye0Sc-oks2w
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邱彩瑄、余青諄
桃園市自主學習3.0課程學生
詹志凡、高嘉鄖
國立清華大學教務處跨領域科學教育中心研究助理
戴明鳳
國立清華大學物理系教授兼教務處跨領域科學教育中心主任
「擺」的發展史與其運動週期測量技巧的深入探討
文／高嘉鄖、戴明鳳、張又懿
清華大學普物實驗室內的各式擺的裝置
前言
質量、長度與時間是國際公認物理學中的三大最基本的物理量，科學與科技領域中有高達九成以上的物理量定義與測量需要使用到時間物理量，才能獲取正確的數據。故必須要有精準的計時裝置才能測得高精度的時間量，並精確估算大自然的運行，不致出差錯。故如何準確地測量時間是科技發展中極為重要的事，自古以來，人類不斷地尋找測量時間的方法，並利用日常所見的各種具規律的自然現象來測量時間。
若有人問現在幾點鐘？相信現今一般人會迅速地通過各種電子計時裝置給出準確的時間。但現今常用的各式電子計時裝置(如石英錶、原子鐘...等等)被廣泛使用還不到一百年的歷史。在此前三百年內，人類文明與科技飛快發展的時代洪流裡，計時領域的總霸主當屬「擺鐘」莫屬。
「擺」是一種可用以展現多種力學現象的簡單實驗裝置，而最基本的擺是由一條繩線的末端繫上一個具有質量的擺錘所組成，稱為「單擺」。
十六世紀時，義大利科學家伽利略·伽利萊(Galileo Galilei, 1564-1642, 圖1左側畫像)發現教堂吊燈被風吹動後，會以一定的週期時間有規律的來回擺動，經過不同規格的單擺裝置與無數次實驗的驗證，得出小擺角擺動時「擺具有等時性週期」的特性。不久後的1657年，荷蘭科學家惠更斯(Christian Huygens, 1629-1695, 圖1右側畫像)引入向心力與向心加速度的概念，且以「擺動中心」為基準，有系統地以圓周運動解釋單擺的運動方式。由此驗證了單擺在小擺角時，伽利略所提出的「擺的等時性」，和擺在大擺角時經修正後精準的「等週期擺線」理論，並著手與當時資深的機械工匠合作，設計製做出人類第一座人工擺鐘，如圖2所示。伽利略與惠更斯這兩位科學家對天文觀測與研究具有高度的興趣，在長期觀測天文的漫長生涯中，深刻體會到精確計時的重要性，故培養出時時留意周遭事物的特質，進而發現新的科學現象與理論，並驅使他們動手研發新的測量儀器。
圖1. 伽利略（左）與惠更斯（右）肖像
左圖：由朱斯托·蘇斯泰曼斯於1636年繪製
(圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei)
右圖：由荷蘭畫家卡斯帕·內切爾於1671年繪製
(圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens)
圖2. 第一座人工擺鐘
左上：擺鐘結構設計圖（惠更斯設計）
左下：彈簧驅動擺鐘
（1657年惠更斯設計；所羅門·科斯特Salomon Coster建造）
右上：惠更斯擺鐘
（荷蘭阿姆斯特丹國立博物館展示）
右下：《擺鐘論》原版書副本(Horologium Oscillatorium, 1673出版；荷蘭萊頓市布爾哈夫(Boerhaave)博物館典藏。圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens)
本文將先討論利用簡單的傳統實驗方式，探討影響單擺等時性的變因有哪些要素，測量時應注意的實驗事項，以及提出建議使用的擺線型式與繫掛技巧。並介紹如何透過單擺的擺長和所測得到的週期數據，推導出單擺所在地的
同時介紹如何以數位攝影機錄下單擺擺動過程後，再利用Tracker軟體自動追蹤運動質點的擷取功能，精準地描繪單擺之擺錘隨時間擺動的軌跡。進而由tracker軟體所得的實驗數據，驗證各項影響單擺運動軌跡與週期的變因，及探討這些變因與擺動週期間的關連性。
壹、擺與擺鐘的發展史
早期人類運用生活所見的各種有規律的自然現象進行時間測量。在鐘擺發明之前，多利用「具勻速流動性的流動物質」或「具規律性變動」的物體作為計時工具，如沙漏、線香燃燒、日晷、月相、四季、潮汐...等現象或物品都可用來計時。
如依大自然的日出、日落及四季循環等運轉的規律變化，來衡量時間的長短，而訂出了分別以日、月、年等作為週期單位的時間計量，也成為古人日常生活作息與農耕作業活動的時間依據。所以，「立竿見影」就成了有陽光時，以半天為做週期單元，用來區分不同時段的方法；之後經不斷改進而發展出「日晷」裝置來作為計時器。但在日落後的夜晚，沒有了陽光照射、也沒有了影子，那就採用以線香燃燒多寡的方式，來判斷時間的長短了，因此，有了以「炷香」為計時的方法。但這些計時裝置和方法因世界各地的地理位置不同，各地一年內的大自然運轉的規律性也常有不小的起伏變動，故常無法獲得足夠精準的計時。
自古以來各式計時裝置的分類可大略分類如下：
1. 太陽鐘：立竿見影，視影知時；圭表、日晷。
2. 火鐘：線香、蠟燭、燈鐘。
3. 流體鐘：漏刻，泄水型(千章銅漏)，受水型，多級漏壺，水運儀象台,秤漏，沙漏，水漏、油漏。
4. 機械鐘：擺鐘、扭擺、擒縱機構、機械式游絲擺輪式手錶、航海鐘、天文鐘。
5. 電鐘：電晶體鐘、音叉鐘。
6. 石英鐘：利用具有壓電效應較強的壓電材料，經電能的驅動與能量轉換方式工作。常見壓電材料有單晶壓電晶體(如石英)、多晶壓電陶瓷(如鈦酸鋇)、高分子材料等三類。石英晶體的諧振頻率，取決於材料與其尺寸和振動模式。標準石英片的頻率約400 Hz～125 MHz，利用石英晶體諧振器，加上電子回饋放大器和電源後，就是石英晶體振盪器，也就是石英手錶的計時核心單元。石英表精準度高且物美價廉，使得人人都可隨時隨地易於取得精確的時間物理量。
7. 電波鐘：傳統的鐘錶計時技術中融合現代無線通訊技術、計算 機技術和微電子技術；能夠與標準時間自動建立聯繫，自動獲得標準時間。
8. 原子鐘：分子鐘、銣原子鐘、銫原子鐘、氫原子鐘、噴泉鐘、星載原子鐘、離子鐘。
9. 光鐘：最准的原子鐘。
10. 脈衝星鐘：從中子星到脈衝星、脈衝星應用、太空燈塔星。
雖然現在人們通常使用電子式計時裝置觀測時間，但電子計時器的發展還不到一百年。在電子計時器出現之前的三百年間，「擺鐘」型裝置可說是精確計時的主流。
擺鐘的發明可追溯到伽利略對「擺之等時性」特性的研究，故伽利略可說是研究擺運動的第一人。1581年，當時僅17歲的他還只是比薩大學一年級學生。因無意間留意到教堂內吊燈不受擺幅大小影響，竟然很有規律地以固定的週期時間來回擺動，由此對擺的運動產生了極高的興趣。在當時大家對萬有引力和重力加速度都還不太理解的狀況下，透過反覆實驗伽利略得到了「擺動的週期與擺長的平方根成正比」的結論。從而在理論上為鐘錶的核心裝置奠定了理論基礎，自此標誌了一個新科技時代的開始。伽利略也是精確研究動力學的第一人，他對自由落體和對擺的研究一樣，同樣標誌著人類對動力學研究的開始。可惜直到伽利略去世的前一年，1641年，他才著手想利用擺的等時性製造時鐘。但是尚未完成，隔年便過世了。
荷蘭科學家惠更斯則是第一個設計出擺鐘的人，惠更斯在長期觀測天文中，因深感精確計時的重要性，所以，致力於自製精準計時的儀器。1657年，僅27歲的他，即因發現土星光環而知名。同年，他更根據伽利略所提出「擺的等時性原理」，繪出了如圖2所示的擺鐘設計圖，而後在與荷蘭機械工匠合作下，經過多次嘗試，於1657年製出了世界上首架擺鐘。並於1658年與1673年分別撰寫並出版了《擺鐘》(Horologium)和《擺鐘論》(Horologium Oscillatorium) 兩本專書。惠更斯在伽利略所提出「擺的等時性原理」理論中，引進了「擺動中心」的概念，並提出了有關向心力的議題和向心加速度的概念，進而很有系統地探討圓周運動。在書中，他還詳細描述了擺鐘原理、擺鐘內的機構、製作工藝、擺動過程及特性。並發表了一系列關於單擺與動力學的重要研究結果。再依據自身研究成果，進行更深入的推導。惠更斯從理論上推導並證實了單擺的等時性（伽利略提出的是實驗經驗的結論，但並未提出理論上的解釋），並推證了「擺的週期與擺長和重力加速度之間的關係式」。之後，更進一步推導出在大擺角時，單擺的週期不再是常數，而是遵循「等週期的擺線」理論。
擺鐘的發明對時間測量在精準度上提供了非常明顯的改進和重大貢獻。在此之前，最好的計時工具一天時間的計時誤差約15分鐘，但在當時最好的擺鐘裝置可以調整到一天誤差低於10秒。至此人類才確實擁有了可以研究物體運動的精確計時裝置。
鐘錶的發展史中，英國科學者虎克(Robert Hook, 1635-1703)的貢獻絕不可忽略。1664年，胡克首先發明游絲機構，此裝置後來由惠更斯加以發揚光大。1676年，虎克發表了「彈簧的伸長量與外力成正比的關係」，並發表了大家現在熟知的「虎克定律」。
虎克對彈簧的開創性研究，為科技的發展提供了兩項重要的改進：(1)彈簧發條式儲能器的改進，及(2)彈簧式游絲擺輪的發明(如圖3所示)。惠更斯於1674年即運用這兩項改進，著手以彈簧擺輪為基礎，製作了以彈簧發條為趨動力的鐘錶。在1675年惠更斯發明螺旋狀的游絲，搭配圓形的擺輪，使得後來計時工具的精準度更大幅提升，同時讓懷錶逐漸微型化，大幅改善了計時裝置可的攜帶性與便利性。
游絲的發明，雖然看起來好像不是一個非常起眼的設計，但卻是影響計時工具發展甚鉅的偉大成就，足堪登入鐘錶發展史中最重要貢獻者前三名之列。在往後的百餘年間，計時工具即多是採用惠更斯研發出來的單一平面游絲為主。主要結構沒有太大的改變，只是就材質與造型方面加以精進。這樣的設計使得鐘錶可以造得更輕巧，更方便使用。可在顛簸的環境下(如海洋上運行的船隻上)運作的鐘，和可隨身攜帶的懷錶及手錶即應運而生。
圖3. 惠更斯發明的游絲擺輪與典型擺輪與游絲的背面圖
(圖片來源：原理分析與結構說明 擺輪與游絲(上)，世界腕表網站，https://www.world-wrist-watch.com/zh-Hant/Article/3892，JUL 11, 2016)
1707年，因計時器的精準度不佳，三支英國海軍艦隊，致使艦隊估算的位置出了差錯，導致失事，造成了超過2000人死亡的大災難。故1714年，英國國會特別懸賞二萬英鎊，徵求能夠在海中精確測定經度的方法。條件要求是從英國出發，經6個星期航行後，抵達西印度的位置誤差不得大於30英里。實際上，當時天文觀測儀器已經可以很精確地測定天上星體的位置了，故船舶所在的「緯度」可直接經由觀測星體得到。但對船舶所在處的「經度」，卻因星體在天上會隨時間均勻地運動，故不易精準的測得。所以，此議題主要重點在於能否製造出一架精確且可以在移動的船舶中攜帶的鐘，此鐘稱為天文鐘。
經驗豐富技高一籌的鐘表匠哈里森(1693-1776)於1761年，將他精心改進的鐘運用在從倫敦開往牙買加的航海旅程中，這個旅程花了9星期的時間抵達，抵達時的位置和他的時鐘僅差了5秒的航行距離，因而贏得了國會的此懸賞。18世紀，歐洲鐘錶開始進入產業化，大量出現可用於教堂、航海、家庭擺設等各種不同用途的擺鐘，以及個人佩戴用的懷錶等各式鐘表。且越做越精巧，戴在手腕上的手錶不久也出現了。
隨著時代的推進，20世紀陸續邁入量子物學、電子、半導體與光電技術突飛猛進的時代紀元，科學知識與科技工業技術的快速發展，為獲得更精準的時間物理量，絡續有電力驅動的石英鐘錶、電波鐘、分子鐘、原子鐘和光鐘等等精確度非常高的時間計時裝置或系統陸續研發上市，更有用以測量宇宙天文時間的脈衝星鐘。
貳、擺在科技發展史上的重要性
鐘錶的發展和演進可說揭開了現代計時技術的序幕，迄今300多年間，鐘錶除了在一般日常生活中人們用來觀測一天中的時間外，更被廣用於測量各種物理量、物體的振動頻率、週期、運動、聲速、光速、以及在體育運動上的計時等等，所涉及的範圍不勝枚舉。近代航海、航空，各門學科和各項技術得以快速發展，無不受益於鐘錶的發明。
因各行各業對鐘錶計時的大量需求及高精度的要求，以致大量鐘錶及其配件需要精密加工，因此帶動了現代車床和現代金屬加工技術的快速發展；也為歐洲現代技術發展培訓了諸多人才和帶動了精密機械產業。紡織機的發明者英國人阿克賴特(Richard Arkwright, 1732-1792)、蒸汽機的發明者英國人瓦特(James Watt, 1736-1819)、及以蒸汽機為動力的輪船發明者美國人富爾頓(Robert Fulton, 1765-1848)等人，在他們青少年時代都曾經當過鐘錶維修的學徒或製作工匠。
儘管現今擺鐘幾乎已被電子錶全面取代了，但對電子錶中的震盪器理論，也脫離不了擺鐘的理論與技術，故可說還是源自於對單擺知識的延伸與拓寬。擺鐘的誕生不僅奠定了物理理論的基礎，之後隨着科學的深入研究及鐘錶不斷改進和發明，擺鐘的核心理論更逐漸站穩腳跟，無疑是擺鐘發明史上的里程碑。這個理論對後來鐘錶的改進影響很大，無論是後來的機械鐘，還是座鐘或者落地鐘，以及現代以擺陀來控制計時的鐘表，其理論基礎都是奠定在「擺的等時性」。也因此，擺鐘不僅進入人們的生活中，同時也廣為科學家們所重視。
單擺等時性的簡單理論仍被保留並廣為運用，此理論也是國中課程中一個很基本、有趣且實用的實驗。並可從實驗過程中，獲取許多知識和實驗技巧。因此，透過此簡單的系列實驗來了解影響單擺週期運動的各種因素，並探討如何改善實驗方法和測量技巧，以期能獲得更精確的實驗數據。
參、單擺週期測量注意事項
一、單擺的週期
週期的定義為運動體完成一次往復性運動所需的時間。為獲得精準的週期測量值，實驗時，應注意下列的幾項實驗技巧，即可得到比較精準的單擺週期值。
圖4為簡易單擺的示意圖，設擺錘質量為m、擺長為L。實驗者先將擺錘提高到某一高度，或如圖將擺線拉到與中間的垂直線成一個小角度的擺角後釋放。
圖4. 單擺週期擺動的動力源，來自具有質量的擺錘受地心重力場作用的結果。
擺錘運動的動力來自其所受到的重力W的分量F，即擺錘所受之重力(W = mg)在擺錘的軌跡路徑(圖4中藍色虛線)上其切線方向的分量，如圖4中藍色實箭頭所示。F 可表示為 當擺動角度不大時，
故得
又知簡諧運動 (Simple Harmonic Motion, 簡寫為S.H.M.) 受力F的大小可表示為
若擺動方式滿足簡諧運動則
其中
代入簡諧運動 (S.H.M.) 週期公式，即可推得小擺角下單擺的擺動週期T
二、單擺週期擺動的驅動力源
將擺錘提高到某一高度時，系統會提供起始重力位能值，作為整個單擺系統的初始動力源。雖然在小角度擺動下的單擺週期與擺錘的質量m無關，但這一啟始位能的能量卻和擺錘的質量有呈線性正比變化的密切關係，如下列公式所示。此位能源自地球的萬有引力對擺錘質量m的重力吸引作用，所產生的重力位能。
釋放擺錘後，擺錘的重力位能會轉換成擺錘運動的動能，在擺的來回週期變化中擺錘的重力位能和動能會彼此週期性地交互轉換。單擺在整個擺動的過程中，地球的重力場持續對擺錘施加萬有引力的作用。故給予單擺能夠週期性地來回多次擺動的動力源其實是來自擺錘的質量受地球重力作用的結果。也因擺錘所受的重力，進而使得擺線被拉緊而在擺線內產生張力，此張力拉著擺錘，才使擺錘不會因重力的吸引作用，而脫離擺線的束縛飛奔而去。故而才能對單擺持續地進行週期性的運動。
三、擺錘質量與擺線規格是否重要的探討
一般在單擺的實驗與簡單的近似理論中，常說「擺錘的質量不重要」，但這句話不夠精準，精確的說法應該是「單擺的週期與擺錘的質量無關」。若擺錘質量越大，起始儲存的重力位能就越多，故能讓單擺擺動得越久，如此所測得的週期時間相對地也就比較精準。故在單擺的實驗中，一般而言僅在乎擺線的長度，但實際上，還是要考慮擺線所能承受的最大張力，此外，還需考慮擺線在受外力作用後，長度是否會被拉伸或壓縮，以致改變擺動時的線長，進而影響週期測量的準確度。
四、探討影響單擺擺動週期之變因
為獲得精準的週期測量值，實驗時，應注意下列的幾項建議，即可得到比較精準的單擺週期。
建議測量單擺連續來回擺動10次 (或更多擺動次數) 所需的時間量，再取其平均值，即為單擺的週期。此外，10次測量結果，再求平均值，所得數據，不僅可提高測量數據的精準度外，還可以使所得數據的有效位數多一位。若是測量100次所的數據再求平均值，則可多兩位有效位數。
通常建議相同條件下，應重複上述實驗3次以上，以確認數據的正確性。可避免數週期次數時，多算了或少算了擺動週期的次數。
擺錘剛被釋放後的前幾次擺動週期建議不要納入測量的數據中，特別是第一、二週期的擺動盡量不取。因為手部釋放擺錘時，可能會對擺錘施加了一些微小的未知外力，以致擺錘的運動因受到不相干的外力干擾，偏離了擺動的鉛垂面 (垂直於水平地面的擺動平面)，而造成實驗測量上的誤差。
肆、影響單擺週期的變因
藉由觀察單擺運動的情形，探討各項變因對單擺週期的影響，例如擺錘材質、擺錘質量、擺角以及擺長...等。並仔細討論擺線、擺錘與繫線方式分別必須符合哪些條件？才能使自製的實際單擺接近理想單擺的特性。
理想單擺是由一條不具質量的細線及一個不考慮體積的質點所組成。若要使實際單擺近似為理想單擺，擺線應選用無彈性、不會形變、內徑小且質量小(相對於擺錘質量來得小)可以忽略。擺錘應選用為質量大且體積小或體積均勻對稱的物體為宜，如密度大的球體。當物體體積三個方向的長度都能遠小於擺線的擺長，使擺錘可視為一個沒有體積，僅有質量的質點。
一、擺錘材質探討 (當擺線是單一弦線時)
任何具有一定質量的物體都可作為擺錘，如橡皮擦、彈珠、木球、玻璃球、實心或空心不鏽鋼球、手機、杯子、夾鏈袋內裝小石頭…等等任何有質量的物體均可，但擺動中物體不會變形，不會改變物體的重心位置。
(1)取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，繩線的一端繫上擺錘；繩線的另一端再繫於支架上，形成單擺。
(2)調整擺線的長短，使擺長L為30公分。
(3)拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。
(4)重複上述實驗步驟3至少三次以上。
(5)將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。
(6)將擺錘換成玻璃球與不鏽鋼球、重覆上述實驗。
(7)根據實驗數據分析，當擺長L與擺角θ固定不變時，使用不同材質的擺錘、不同質量的擺錘，所得的週期是否有明顯的差異？
表1. 相同擺長但不同材質的擺錘之單擺的週期測量紀錄表
二、擺錘質量探討 (當擺線是單一弦線時)
固定擺長L、擺角θ與擺錘材質，改變擺錘質量m，觀察擺錘質量m與週期T的關係
(1)取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，繩線的一端繫上30公克的砝碼組作為擺錘；繩線的另一端再繫於支架上，形成單擺。
(2)調整擺線的長短，使擺長L為30公分。
(3)拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。
(4)重複上述實驗步驟3至少三次以上。
(5)將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。
(6)改變擺錘的總質量m、重覆上述實驗。
(7)根據實驗數據分析，當擺長L與擺角θ固定不變時，使用不同質量的擺錘，所得的週期是否有明顯的差異？ 表2. 相同擺長但不同質量的擺錘之單擺的週期測量紀錄表
三、擺角探討 (當擺線是單一弦線時)
固定擺長L、擺錘質量m與擺錘材質，改變擺角θ，觀察擺角θ與週期T的關係
(1) 取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，繩線的一端繫上60公克的砝碼組作為擺錘；繩線的另一端再繫於支架上，形成單擺。
(2) 調整擺線的長短，使擺長L為30公分。
(3) 拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。
(4) 重複上述實驗步驟3至少三次以上。
(5) 將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。
(6) 改變擺角θ，重覆上述實驗。
(7) 根據實驗數據分析，當擺長L與擺錘質量m固定不變時，使用不同擺角θ，所得的週期是否有明顯的差異？
表3. 相同擺長但不同擺角的擺錘之單擺的週期測量紀錄表
四、擺長探討 (當擺線是單一弦線時)
固定擺錘質量m、擺角θ與擺錘材質，改變擺長L，觀察擺長L與週期T的關係
(1) 取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，繩線的一端繫上60公克的砝碼組作為擺錘；繩線的另一端再繫於支架上，形成單擺。
(2) 調整擺線的長短，使擺長L為30公分。
(3) 拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。
(4) 重複上述實驗步驟3至少三次以上。
(5) 將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。
(6) 改變擺長L，重覆上述實驗。
(7) 利用公式回推實驗所得的重力加速度g與擺長Le。
(8) 根據實驗數據分析，當擺錘質量m與擺角θ固定不變時，使用不同擺長L，所得的週期是否有明顯的差異？
表4. 相同質量但不同擺長的擺錘之單擺的週期測量紀錄表
伍、如何取得精確測量單擺的週期
由實驗結果我們可以驗證在小角度擺動下的單擺週期T與擺錘質量m無關。為驗證擺實驗誤差來源，如表5所示，固定擺重m、擺長L、與擺角θ反覆進行5次實驗並將結果填入表格中。
表5. 固定擺重m、擺長L、與擺角θ進行的實驗
我們可以發現依據公式回推出的重力加速度g與擺長L皆與設定值有誤差這是為什麼呢？那真實擺長又該如何得知呢？
表6. 固定擺重m、擺長L、與擺角θ進行的實驗結果
以下我們將針對擺長長度與繫線方式深入探討影響週期的因素。
一、實際擺長L定義
如圖5所示，擺長長度的計算可分成三種，(i)支點到擺錘質心L1、(ii)支點到擺錘頂端L2或(iii)支點到擺錘底端L3。
圖5. 擺長計算方式示意圖
(i)支點到擺錘質心L1、(ii)支點到擺錘頂端L2或 (iii)支點到擺錘底端L3
由實驗數據反推出的擺長不難發現，擺長都比原先設定的還要長，這就表示擺長的計算應從頂點至擺錘質心位置。
二、以單線方式懸掛擺錘
(1) 繫繩的結點位置：側視支點繫線結點位置
如圖6所示，側視繫繩在支點的位置可分成兩種形式 (i) 結點在支點側邊與(ii) 結點在支點下端。當結點在支點右側且擺錘向左側擺時，頂端部分繩線會貼附在支架上且繩線又會受摩擦影響而造成左右擺角不同 ()，進而產生誤差；倘若當節點在支點下方時，擺錘在擺動過程中就不會受到支架影響而可自由擺動，因此左右擺角再理想條件下會相同 ()。
圖6. 繫繩節點在支點的相對位置
(2) 擺動軌跡：俯視擺錘在擺動時所形成的軌跡
如圖7所示，由上往下俯視單擺運動，此時擺錘擺動的軌跡分為三種類型 (i) 直線型來回擺動、 (ii) 圓弧型來回擺與 (iii) 蛇型來回擺。理想的狀況下擺錘的運動軌跡應該是直線來回擺動，單若以單線的方式將擺錘繫於繩線上，操作者非常難以掌握擺錘運動的軌跡，因此上述三個形式都有可能會出現，進而造成實驗的誤差。
圖7. 擺錘擺動軌跡，(i)直線型來回擺動、(ii) 圓弧型來回擺、(iii) 蛇型來回擺
三、V型擺線懸掛擺錘
如圖8(i)所示，若以單一繩線貫穿擺錘使擺線呈現V型的方式懸掛擺錘，拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放。擺錘即會在同一平面上擺動，此時擺錘的運動軌跡會近乎成一直線，此時所產生的誤差會比以前述的單一直線型線懸掛擺錘來得小許多。
若以此方式懸掛擺錘時，擺錘兩側繩線的長度以及繩線與支架的夾角必須要相同。圖8(ii)為V型繩線受力分布圖，與為兩縄分別受到的張力，水平分力大小相等、方向相反且可互相抵銷；垂直分力大小相等、方向相同但不可互相抵銷。擺錘長度為支架至擺錘質心的垂直距離L。
圖8. 使單線V型方式的擺線，最低端懸掛擺錘，(i)實體照片、(ii) 受力分布圖
陸、V型擺線的單擺週期測量
承如上述，將實驗架構改以雙線V型方式緊繫擺錘，重覆實驗，比較雙線V型所測得的實驗數據是否比單線型來得準確。
固定擺錘質量m、擺角θ與擺錘材質，改變擺長L，觀察擺長L與週期T的關係
(1)取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，在將繩線以V型方式繫於支架上端，在繩線下端繫上60公克的砝碼組作為擺錘，形成單擺。
(2)調整擺線的長短，使擺長L為30公分。(擺長為支架至擺錘質心的垂直距離)
(3)拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。
(4)重複上述實驗步驟3至少三次以上。
(5)將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。
(6)改變擺長L，重覆上述實驗。
(7)利用公式回推實驗所得的重力加速度g與擺長Le。
(8)根據實驗數據分析，當擺錘質量m與擺角θ固定不變時，使用不同擺長L，所得的週期是否有明顯的差異？
表7. 相同質量但不同擺長(雙線V型)的擺錘之單擺的週期測量紀錄表
柒、以Tracker軟體進行追蹤單擺擺動軌跡
Tracker 是一個建立於 Open Source Physics (OSP) Java 架構下的免費影像分析工具，可以用來把影片中被測物的位置加以標示，然後利用程式做出位置/速度/加速度和時間的關係圖並加以分析，是一個非常適合用於力學分析的工具。Tracker軟體中含有自動追蹤軌跡的功能，亦即將影片中物體的運動軌跡以質點追蹤的方式記錄下來，如圖9所示。
圖9. Tracker 軟體介面
圖10. 攝影機架設方式
一、架設與錄製方式：如圖10所示
(1) 取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，再將繩線以V型方式繫於支架上端，在繩線下端繫上60公克的砝碼組作為擺錘，形成單擺。
(2) 在擺錘質心位置貼上標籤。
(3) 調整擺線的長短，使擺長L為30公分。(擺長為支架至擺錘質心的垂直距離)
(4) 取一直尺作為比例尺並置於單擺後方。
(5) 將網路攝影機或手機至於單擺前方，調整影像內容使擺動過程都在畫面內。
(6) 拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放。
(7) 按下錄製鍵開始記錄擺動過程，至少錄製20個以上週期後再停止。
二、自動追跡方式：
(1) 將影片嵌入Tracker軟體中。
(2) 先觀察整體擺動過程，再選取預分析的影像區間，至少含有10個以上完整週期。
(3) 調整擺線的長短，使擺長L為30公分。(擺長為支架至擺錘質心的垂直距離)
(4) 設定零點座標位置
(5) 以影像內的直尺為基準設定比例尺。
(6) 於工具列上方新增質點。
(7) 再以此質點為標的開啟自動追跡功能。
如圖9所示，視窗左側為質點循跡過程；視窗右上角為質點位置與時間關係圖；視窗右下角為實驗數據表。而後可將實驗數據轉至MS Excel再進行分析，如圖11所示。
圖11. 以MS Excel分析數據
圖12. 學生實際操作成果照
參考資料 維基百科_擺 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%93%BA
https://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei
https://en.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens
原理分析與結構說明 擺輪與游絲(上)，世界腕表網站，https://www.world-wrist-watch.com/zh-Hant/Article/3892，JUL 11, 2016發表。
每日頭條-擺鐘：小發明揭開現代技術的大序幕https://kknews.cc/digital/omk5zoq.html
高嘉鄖、戴明鳳
國立清華大學跨領域科學教育中心
張又懿
桃園市自主學習3.0課程學生