前言

「張拉整體結構」由巴克敏斯特·富勒(Buckminster Fuller)首先提出的結構力學概念與新的名詞，用於描述「由連續繩索與不連續的獨立剛性構件所組合而成的結構系統，該系統具有張力與拉力」。

如同前一篇文章內所述張拉整體結構是由「不連續的受壓構件」與「連續的受拉單元」所組成的自支承與自應力的空間結構，如圖1所示。而受壓構件之間不直接接觸，是透過受拉單元的繩索支撐著。故張拉整體可說是「具有不連續壓縮的連續張力所組成的整體結構」。張拉整體結構可堅固、靈活、輕便、並可在多方向都呈現穩定，平衡重力的影響等諸多特性。此類結構的穩定性不依賴於單個元素的強度；而是可以通過「連續的受拉單元繩線或纜索」將應力均勻分佈在整個結構中，以獲得高強度，即使是在相對的兩側。這個系統可說通過對抗力量形成，以「合併對立的力作用」，故根據富勒的說法，這是「自然的結構基礎；能夠運用最少的元素，形成一個強大堅固的結構」。


圖1. 張拉整體結構示意圖

圖1內所示之結構體的上方標示「獨立的受壓構件-1」的木質組合構件怎麼能靠中間那一條看似柔弱無力的繩線將之很穩固地支撐起來？使得結構看起來好像是具有抵抗重力作用的飄浮物體。然而，關鍵卻就是在於中間那條看來好像柔弱無力的繩線。

通常繩線壓縮無法提供外界任何有用的作用，但卻可以透過張拉，使繩線產生強而有力的作用力，以作用在其他物體上。故在此結構內的中央繩線是作為能提供緊繃拉力的張拉作用，因此若是少了中間這條繩線，上方的平台就會傾倒下來。所以，只要拉緊中間那條繩線，就可以透過繩線內緊繃的張力進而產生拉力，而將上方的物體構件向上抬升，更進一步地得以拉緊四周的繩子；四周的繩線可以是2條、3條、4條或更多條。

對於上方的物體構件而言，四周的繩線施予它向下的拉力，中央的繩線則施予它向上的拉力。上方物體構件的重量加上這些向下的拉力總和等於向上的拉力。但是只有總合力為零，是無法撐起上方的物體，還必須符合「向下的合力作用點需恰好位於中央繩線的正上方」。

當以此「向下的合力作用點」作為力矩作用的支點時，重力與四周繩線的拉力對此支點的合力矩也必須為零，如此才能符合合力為零，以使物體不會移動；且合力矩為零，以使物體不會轉動的靜力平衡。因此，必須仔細地調整四周各繩線的張拉作用力，這也是整體結構能否成功的關鍵條件。

總之，系統的繩線必須具有緊實的拉力，繩線張力作為整體結構的支撐力，以及平衡地心重力的功能，以達到整體結構的靜力平衡。意即在此結構系統的「張拉整體性」是其主要特質，整個系統通過具有張拉力的繩索和具有剛性的不連續構件組成，在多個作用力與剛性構件的重力作用下，在一定應力的作用下，形成具有足夠的阻力與穩定性，並形成一定的穩定靜力平衡。該結構的每個構件都是完整不可分割的一部分，就如同人體肌肉與骨骼相互作用一般，二者是相輔相成的。

張拉整體概念的發展至今已有70年之久的歷史了。但很遺憾的是，不論是實際應用或只是用於雕塑裝置，多停留在模型層面或美學展示用，真正應用在永續型或大型建築空間的案例似乎甚少。但此猛一看似具反重力的偽懸浮結構體對於在力學與靜力平衡的科學教學上卻具有很強的魅力，在探究實作教學上可以提供很高的教學效率與學習成效。

一般市售的張拉整體結構模型或實驗套件眾多，模型作品多為裝置藝術製品或樂高系列玩具，故操作者僅能以拼裝套件或組裝特定積木的方式，將套件的各單元組件按一定的方式依原設計者的模式組裝起來。廠商木製的實驗套件，為求外觀精緻且易於操作，故在整體教具的設計上無法提供操作者深入探究影響整體結構的變因，例如改變繫線位置、繫線方式、繩線材質、繩線數量、上下板的相對位置…等諸多變因。

市售張拉整體結構雖提供了趣味性，但鮮少提供操作者可以自由思考和探究的空間與機會。進而失去觀察與探究各種現象的趨動力以及對事物摸索的好奇心，反倒降低了問「為什麼」的求知慾，甚為可惜。

 壹、張拉整體結構套件設計與特點

本團隊特別設計了一款成本低廉，易於組裝操作，且可輕易調變多項實驗變因的張拉整體結構實作套件組，使操作者能經由親自進行實驗操作，而得以深入探究影響整體結構平衡與影響承重的變因。經過團隊幾番討論、測試與改良後，我們選擇以木質板作為組裝材質。為求精準再以雷射切割機切割出所需的各項零組件，搭配適當長度的棉線，即完成一套可進行多項變因探討的張拉整體結構套件組內的材料項目如表1所列，實體照片如圖2所示。

整體結構中的不連續受壓構件是由第1-3項的材料(三角形木質平板，L型木質支柱和凹型木質卡榫)組合而成的，棉線則是結構中的連續受拉單元，如圖1所示。

第1-3項材料是使用1片長45 cm x寬30 cm x厚0.27 cm的木質板以雷射切割機切割而得。故若不考慮雷切機的切割費用(因實驗室自有)，此套件材料的總成本僅約30元左右。構件材料的材質也可以改用珍珠板、廢棄不用的厚紙箱板材、瓦楞板或厚紙板片亦可，那就可以以美工刀取代雷射切割機器。棉線可以改用其他線徑類似但不具彈性材質的繩線。

市售的商品化套件多是以打結的方式固定繩線或已裁剪好長度之繩線的兩端附上掛勾組固定，故通常無法調變繩線的長度，改變繩線的數目和改變繫掛繩線的位置。本文中所設計的構件材料特別在每片三角形平板的三個頂角處，三個邊的中點處，以及兩個L型支柱頂端都有特別切割出一道小縫隙和一個圓孔洞，如圖2中的木板片上所示。此兩個設計的功能如下說明。

一、縫隙的功能

每一縫隙的縫隙寬度(約1 mm)比所使用之繩線的線徑(我們選用線徑1.3 mm的棉線)略小一些，是用來繫掛繩線 (繩線可不需打結固定)。先將繩線扣到小細縫內，再利用繩線與縫隙板材間的摩擦力，使繩線在一定程度內被卡定在縫隙中。然後即可很簡單地直接利用「抽拉方式」適當調整繩線的長度，以使繩線能產生足夠的張力，並延伸出足夠的拉力作用在三角板與L型支柱之組合體的受壓構件上。

利用摩擦力的阻力，繩線僅需穿過細縫，讓操作者僅藉由拉動卡在縫隙中的繩線就可以很輕易地調整繩線的長度，進而調整繩線的拉力大小和繩線內張力的大小。如此設計與操作方式，不僅大幅縮短了組裝操作所需的時間外，也可更精準且多面性地調變與探究各種實驗變因，實在很方便。

二、圓孔洞的功能

待確定繩線的最佳長度後，可以將多餘的線頭和線尾穿過圓孔洞1-2次或直接穿過孔洞後打結，則可再更大幅度地提高繩線之張拉作用力的強度，並使繩線更牢固地連接著。如此可以使結構頂端的平面承受更高的負載量。此尺寸的結構體經由我們實驗操作後是可以承受約兩支Iphone-13手機的重量，即可承受重量高達1 kgw以上。

表1. 張拉整體結構實作套件的材料清單



圖2. 張拉整體結構實作套件組（清大跨領域科學教育中心設計）

 參、套件的組裝步驟與操作

圖2的張拉整體結構套件的組裝流程如下所述，亦請同時參見圖3所示圖片：

Step 1 先將凹型卡榫卡進L型支柱的底部的細縫內。

Step 2 將步驟1完成的L型支柱與凹型卡榫組合體插入三角形板上某一角鄰近的＋型空隙內。為使L型支柱的L面能牢固地垂直在三角形板上，故此＋型空隙的尺寸設計略小一些。所以，需要用一點力量才能將L型支柱插到底。(小朋友若力道不夠，需要大朋友、助教或老師協助，以免插件時，用力不當，材料受損。) 此處凹型卡榫可用以強化三角形木板與L型支柱基座間的連接。如此即完成一組不連續的受壓構件，如圖3(a)所示。

Step 3 重複步驟1和2，再組出一組受壓構件，如圖3(b)所示，現應有兩組不連續的受壓構件。

Step 4 取一組不連續的受壓構件，在其L型支柱的端點上繫上一條棉線。當以手握住棉線的另一端時，如圖3(c)所示，可見受壓構建因其質量受地球萬有引力的作用，很自然的被懸吊在棉線的底部。三角形平板不可能獨自處於棉線和L型支柱的上方。

Step 5 如圖3(d)所示，將前一步驟中(圖3(c))中所用之繩線的另一端，繫到另一組不連續受壓構件之L型支柱上的細縫中。調整兩個L型支柱間連接繩線的長度到適當值，請探討何謂適當的長度？有一定的長度值嗎？還是長度在某一範圍內皆可？

Step 6 兩組不連續的受壓構件先置於桌面，並使兩片三角形平板左、右對峙安置，將步驟5以棉線連接兩個L型支柱的兩個端點的部分調整於結構體內位於兩個三角形平板的中間處。

Step 7 再取三條長約15 cm的棉線，如圖3(e)所示，分別用以連接兩不連續受壓構件中之三角形平板位於三個角處的細縫中。

Step 8 調整繩線的長度和緊度，使每條繩線都具有一定的張力，並使結構體呈現有一定程度的緊度。直至可以得到如圖3(e)所示的成品。

Step 9 在張拉整體結構體上方的三角形平台上慢慢增加砝碼的數量，看看平台上最多可以承受多重的砝碼，使平台仍不會倒塌。如圖3(f)所示。

圖3清大跨領域學教育中心自製之張拉整體結構的典型示意圖。上、下兩個不連續的獨立木質板立體單元，透過數條被緊拉而形成有張力的繩線作用，繩線與木板的整體交互作用而得以獲得一個穩定的平衡狀態。此圖中的張拉整體結構體的上方平台可以承重到高達800克以上的質量。


圖3. 張拉整體結構套件組裝流程與實作成品
(a) 取實作套件內的(1)正三角形木質板，L型木質支柱和凹型木質卡榫的先組合成一組受壓構件。
(b) 兩組不連續的受壓構件。
(c) 獨立的單一剛性構件上的L型木質支柱的尾端繫上一條繩線。
(d) 棉線的另一端繫到另一構件的L型木質支柱上。
(e) 兩組獨立受壓構件的外側以三條繩線繫在上、下兩片三角形木質板上，調整繩線長度與張力後，使得以獲得穩定的平衡，至此即完成張拉整體結構成品。
(f) 以砝碼測試張拉結構體的穩定度和可承受的最大荷重量。

 肆、各項實驗變因對結構的穩定性與載重的影響

此型態的張拉整體結構有如下諸多議題和實驗變因可供探討：

1.探究上、下兩層支撐板是否必須為實心

2.探究上、下兩層支撐板形狀是否必須相同

3.探究上、下拉勾位置是否影響結構體的支撐力

4.探究材質重量是否影響結構體的支撐力

5.探究不同長度是否影響拉力數

6.認識張拉整體結構系統

7.探究張拉整體結構系統特性

8.如何設計張拉整體結構

9.張拉整體結構系統基本要素

10.探究不同種類之結構系統

11.認識何謂平衡系統

12.探究靜力平衡與張拉整體結構之關聯性

13.認識基礎靜力平衡

14.探討不同材質是否影響靜力平衡？

15.探討獨立的受壓構件的質量大小是否會影響靜力平衡？

16.學習基數實作技巧

17.培養探究實作精神

18.觀察實驗操作變因以及應變變因之間的關係

19.完成實驗記錄表

20.分析實驗結果

21.測試張拉整體結構可承受的重量

22.測試不同材質之張拉整體結構承重限度

23.觀察影響張拉整體結構承重係數的參數

24.探究繩子材質如何影響張拉整體結構承重

25.探究不同種類之張拉整體結構承重係數是否不同

此處，建議分別討論下列各項變因，對整體結構會有何影響？討論張拉整體結構的穩定度與可載重多少？

實驗一、外側三條繩線連接在上、下兩個三角形平板上的位置不同時，對整體結構的影響。分別考慮下列三種不同繫線位置時，觀察並記錄整體結構的穩定性，以及分別可承受的最大荷量為何？並討論中間線長度不同時的變化影響。請將結果填入表2中。

1.如圖4(a)所示，受壓構件的上、下兩個三角形平板平行對稱組裝。外側三條繩線繫掛在上、下兩個三角形平板上三個角的位置上，此時三條線互相平行且垂直地面。

2.如圖4(b)所示，外側三條繩線改繫於上、下兩個三角形的三邊中點處，此時三條線仍是互相平行且垂直地面

3.如圖4(c)所示，若在兩片三角形的三個角和三角形三邊的中點處都繫上繩線，意即外側總共繫上六條繩線。請問是否對結構的穩定性和承重會有幫助？

圖4. 上、下層兩個正三角形平板的角對角平行對稱放置，所有繩線互相平行且垂直於地面。

表2. 整體結構的穩定性與承重記錄表
※外側繩線繫於三角形不同位置時，及中央繩線長度不同時。


實驗二：整體結構除中央繩線外，若外側繫繩線如圖5所示，僅繫兩條繩線是否還能維持張拉整體結構？若答案是肯定的話，請問兩繩線選擇繫在不同位置時，對整體結構的穩定性分別有何不同？並討論中間繩線長度不同時的變化影響。請將結果填入表3中。


圖5. 兩三角板平行對稱上、下組裝，取一條繩線繫在上下平板的其中一個角處，另一條繩線繫在三角形邊的中央點處，如圖中標示紅點的位置。

表3. 結構穩定性與承重記錄表
※兩條繩線繫掛在不同位置時，不同長度的中央繩線時。


實驗三：整體結構除中央繩線外，若外側繫繩線如圖6所示，共繫四條繩線是否能強化張拉整體結構的剛性和穩定性？若答案是肯定的話，請問四條繩線選擇繫在不同位置時，對整體結構的穩定性分別有何不同？並討論中間繩線長度不同時的變化影響。請將結果填入表4中。

表4. 承重與穩定性記錄表
※外側共繫4條繩線在不同位置，改變中央繩線長度時。


實驗四：若外側繫繩線如圖7所示，共繫五條繩線是否能更強化張拉整體結構的剛性和穩定性？若答案是肯定的話，請問五條繩線選擇繫在不同位置時，對整體結構的穩定性分別有何不同？並討論中間線長度不同時的變化影響。請將結果填入表5中。


圖7. 兩三角板平行對稱上、下組裝，取五條繩線以分別繫在上下底板的頂點或三邊中間位置，如圖中標示紅點的位置。

表5. 承重與穩定性記錄表
※外側共繫5條繩線在不同位置，改變中央繩線長度時。


實驗五：受壓構件的上、下兩個三角形平板如圖8所示平行交錯組裝。除了兩個L型支柱端的中間所繫的繩線外，外側三條繩線繫掛在上、下兩個平板上三個角的位置與三角形邊長的中間處。此時三條線不再互相平行，且不再垂直地面，如此結構體是否還能穩定平衡？若可以的話，請再依表6所指示的位置，繫掛繩線兩端的位置。觀察中央繩線長度不同時，整體結構體是否穩固，以及可承受重量為何？


圖8. 兩個獨立受壓構件的兩個三角形平板上、下平行，但方位交錯組裝，即下方三角形的角對齊上方三角形一邊的中點。每一繩線的兩端分別繫到其中一個三角形板的頂角處和另一個三角形一邊的中央點處。此時三條線不是互相平行，且不再垂直地面，如此結構體是否還能穩定平衡？答案是肯定的喔！

表6. 受壓構件的上、下兩個三角形平板平行交錯組合時，當中央繩線長度不同時，整體結構的最高能承受的承重和穩定度

 伍、實驗結果

經多方測試及統計分析上述諸多實驗結果，發現中央繩線長度的長短是影響結構體能否成功完成及是否穩定的關鍵因素。實驗結果亦發現連續受拉單元的繩線若是彼此互相平行，且都能鉛垂於三角形平板(即地平面)的話，則此款張拉整體結構的穩定度會較佳，可承受的荷重也較高。在上述的某些條件下，可承受至少1 kg重以上的荷重喔！此套件還可以將獨立構件組到三層之高！如圖9所示。是否可以搭接到高層的結構組合，則有待挑戰！

仔細觀察照片中上層受壓平板的承重逐漸加大時，外側原緊繃的繩線會受到壓縮，以致繩線的張力變小，進而導致結構的穩定度變差。終至負重過高，結構倒塌。


圖9. 此款張拉整體結構在某些條件下，至少可承重1 kg重以上的荷重喔！

 陸、不同材質不同型式之張拉整體結構比較

另參考他人經驗，選用了鋁線，吸管和雲彩紙等三種生活中易於取得，且成本低廉的材料製作受壓構件，製作了四款不同型式的張拉整體結構體。以下就材質的優缺點作一個簡單說明和差異比較。

一、鋁線材質：此材質材料準備簡單，且價格低廉，只需使用一般書店內就能買得到的鋁線或是金屬線即可製作。建議使用硬度較高的金屬線製作，但需要使用尖嘴鉗彎曲金屬線。因此，適合國小高年級以上的學生製作。如欲製作大型的張拉整體結構，建議使用焊接方式，以黏合金屬線；小型的張拉整體結構則無需使用。因為大型張拉整體結構的質量比小型的整體結構重許多，故當張拉整體結構無法與桌面平行時，就必需進行焊接。硬度越大張拉整體結構越穩固。若使用線徑0.5 mm銅線製作的張拉整體結構，則可測量承重的量。

二、吸管材質：使用吸管製作張拉整體結構，主要特色不僅是材料容易取得，且可廢物利用。但製作所得之結構的堅固性與承重量比較差。相較於其他材質所製得的結構而言，比較不耐用。建議使用硬度較低，材質較軟的吸管，有利於材料的彎折。當有需打洞時，質軟的吸管較不易碎裂。選用之吸管及繩線的材質不同，堅固性也會不同。一般來說硬度越高、越粗的繩線較容易成功。通常無法探討結構的承重問題，適合國小學生製作。　

三、紙質材質：製作較為困難，適合國中生使用，材質越硬的紙質，所製得的結構越堅固，但亦難以討論結構的承重議題。

四、吸管製之可回復張拉整體結構(也稱六芒星)：僅需使用6根吸管和6條橡皮筋，材料成本極低。適合作為科學教育使用，製作簡易，方便攜帶，並且有助於學生認識立體空間結構。與其它張拉整體結構較為不同，為類球體的張拉整體結構。可藉由自製此實驗成品，以引導學生探討不同型態之張拉整體結構間的差異。

五、木質材質：使用此材質所得的結構成品較為堅固，很適合探討結構的承重與繩線的張拉力強度。並可探討繩線位置對張拉整體結構之整體穩定性的影響，接線位置為邊對邊、角對角、邊對角時的平衡穩定性與承重有何不同，平板的形狀，上下板面形狀與大小不同…等等差異比較。甚至若只有一個板子是否也可以製作張拉整體結構？當連接中繩線位置不同時會有何改變？連結中線的L型立柱基座在邊上、角上、一個在邊上一個在角上時，會如何呢？讓老師與學生一起透過實驗來找到答案。可以啟發學生的好奇心，深入淺出的探討各項變因所造成的結果，增加學生的實作技巧以及找到問題並解決問題的能力。

 柒、四種張拉整體結構製作流程

張拉整體結構製作所需材料與工具清單表和實作成品分別呈列於表7和表8中。表9-11是分別以鋁線、吸管和雲彩紙製作張拉整體結構體的製作流程。

表7. 張拉整體結構製作所需材料與工具清單表


表8. 以不同材質自製不同型態之張拉整體結構的實作成品


表9. 鋁線製之張拉整體結構的組裝流程


表10. 吸管製之張拉整體結構的製作流程


表11. 雲彩紙製之張拉整體結構的製作流程


表12. 可回復之張拉整體結構體-六芒星製作流程 參考影片：https://youtu.be/Hu_GQRBAfsI

 捌、實驗結果的綜合分析

表13. 各式張拉整體結構的優缺點分析


表14. 各繩線繫掛位置的比較


表15. 線長對張拉整體解構之影響

 結語

經彙整諸多實驗結果，可發現中央繩線長度的長短是影響結構體能否成功完成及是否穩定的關鍵因素。繩線繫線的位置也會因受壓構件的材質、形狀的不同而有所改變，圓形時需要至少兩條長線一條短線，連結位置在同側時，最為堅固穩定。

實驗中建議先讓學員瞭解張拉整體結構的定義，以及先設定探究的目標，此主題可以作為一系列的實驗，也可以作為單一的課程使用。可考慮最初階一直到較為困難的張拉整體結構製作，並且由淺到深地引導學員探討其中有趣的議題。希望此實作可以活用於各項科普活動以及科學推廣課程中，增加學員學習的樂趣，以及學員對於科學知識的渴望。