前言

質量、長度與時間是國際公認物理學中的三大最基本的物理量，科學與科技領域中有高達九成以上的物理量定義與測量需要使用到時間物理量，才能獲取正確的數據。故必須要有精準的計時裝置才能測得高精度的時間量，並精確估算大自然的運行，不致出差錯。故如何準確地測量時間是科技發展中極為重要的事，自古以來，人類不斷地尋找測量時間的方法，並利用日常所見的各種具規律的自然現象來測量時間。

若有人問現在幾點鐘？相信現今一般人會迅速地通過各種電子計時裝置給出準確的時間。但現今常用的各式電子計時裝置(如石英錶、原子鐘...等等)被廣泛使用還不到一百年的歷史。在此前三百年內，人類文明與科技飛快發展的時代洪流裡，計時領域的總霸主當屬「擺鐘」莫屬。

「擺」是一種可用以展現多種力學現象的簡單實驗裝置，而最基本的擺是由一條繩線的末端繫上一個具有質量的擺錘所組成，稱為「單擺」。

十六世紀時，義大利科學家伽利略·伽利萊(Galileo Galilei, 1564-1642, 圖1左側畫像)發現教堂吊燈被風吹動後，會以一定的週期時間有規律的來回擺動，經過不同規格的單擺裝置與無數次實驗的驗證，得出小擺角擺動時「擺具有等時性週期」的特性。不久後的1657年，荷蘭科學家惠更斯(Christian Huygens, 1629-1695, 圖1右側畫像)引入向心力與向心加速度的概念，且以「擺動中心」為基準，有系統地以圓周運動解釋單擺的運動方式。由此驗證了單擺在小擺角時，伽利略所提出的「擺的等時性」，和擺在大擺角時經修正後精準的「等週期擺線」理論，並著手與當時資深的機械工匠合作，設計製做出人類第一座人工擺鐘，如圖2所示。伽利略與惠更斯這兩位科學家對天文觀測與研究具有高度的興趣，在長期觀測天文的漫長生涯中，深刻體會到精確計時的重要性，故培養出時時留意周遭事物的特質，進而發現新的科學現象與理論，並驅使他們動手研發新的測量儀器。


圖1. 伽利略（左）與惠更斯（右）肖像
左圖：由朱斯托·蘇斯泰曼斯於1636年繪製
(圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Galileo_Galilei)
右圖：由荷蘭畫家卡斯帕·內切爾於1671年繪製
(圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens)



圖2. 第一座人工擺鐘
左上：擺鐘結構設計圖（惠更斯設計）
左下：彈簧驅動擺鐘
（1657年惠更斯設計；所羅門·科斯特Salomon Coster建造）
右上：惠更斯擺鐘
（荷蘭阿姆斯特丹國立博物館展示）
右下：《擺鐘論》原版書副本(Horologium Oscillatorium, 1673出版；荷蘭萊頓市布爾哈夫(Boerhaave)博物館典藏。圖片來源：https://en.wikipedia.org/wiki/Christiaan_Huygens)

本文將先討論利用簡單的傳統實驗方式，探討影響單擺等時性的變因有哪些要素，測量時應注意的實驗事項，以及提出建議使用的擺線型式與繫掛技巧。並介紹如何透過單擺的擺長和所測得到的週期數據，推導出單擺所在地的

同時介紹如何以數位攝影機錄下單擺擺動過程後，再利用Tracker軟體自動追蹤運動質點的擷取功能，精準地描繪單擺之擺錘隨時間擺動的軌跡。進而由tracker軟體所得的實驗數據，驗證各項影響單擺運動軌跡與週期的變因，及探討這些變因與擺動週期間的關連性。

 壹、擺與擺鐘的發展史

早期人類運用生活所見的各種有規律的自然現象進行時間測量。在鐘擺發明之前，多利用「具勻速流動性的流動物質」或「具規律性變動」的物體作為計時工具，如沙漏、線香燃燒、日晷、月相、四季、潮汐...等現象或物品都可用來計時。

如依大自然的日出、日落及四季循環等運轉的規律變化，來衡量時間的長短，而訂出了分別以日、月、年等作為週期單位的時間計量，也成為古人日常生活作息與農耕作業活動的時間依據。所以，「立竿見影」就成了有陽光時，以半天為做週期單元，用來區分不同時段的方法；之後經不斷改進而發展出「日晷」裝置來作為計時器。但在日落後的夜晚，沒有了陽光照射、也沒有了影子，那就採用以線香燃燒多寡的方式，來判斷時間的長短了，因此，有了以「炷香」為計時的方法。但這些計時裝置和方法因世界各地的地理位置不同，各地一年內的大自然運轉的規律性也常有不小的起伏變動，故常無法獲得足夠精準的計時。

自古以來各式計時裝置的分類可大略分類如下：

1. 太陽鐘：立竿見影，視影知時；圭表、日晷。

2. 火鐘：線香、蠟燭、燈鐘。

3. 流體鐘：漏刻，泄水型(千章銅漏)，受水型，多級漏壺，水運儀象台,秤漏，沙漏，水漏、油漏。

4. 機械鐘：擺鐘、扭擺、擒縱機構、機械式游絲擺輪式手錶、航海鐘、天文鐘。

5. 電鐘：電晶體鐘、音叉鐘。

6. 石英鐘：利用具有壓電效應較強的壓電材料，經電能的驅動與能量轉換方式工作。常見壓電材料有單晶壓電晶體(如石英)、多晶壓電陶瓷(如鈦酸鋇)、高分子材料等三類。石英晶體的諧振頻率，取決於材料與其尺寸和振動模式。標準石英片的頻率約400 Hz～125 MHz，利用石英晶體諧振器，加上電子回饋放大器和電源後，就是石英晶體振盪器，也就是石英手錶的計時核心單元。石英表精準度高且物美價廉，使得人人都可隨時隨地易於取得精確的時間物理量。

7. 電波鐘：傳統的鐘錶計時技術中融合現代無線通訊技術、計算 機技術和微電子技術；能夠與標準時間自動建立聯繫，自動獲得標準時間。

8. 原子鐘：分子鐘、銣原子鐘、銫原子鐘、氫原子鐘、噴泉鐘、星載原子鐘、離子鐘。

9. 光鐘：最准的原子鐘。

10. 脈衝星鐘：從中子星到脈衝星、脈衝星應用、太空燈塔星。

雖然現在人們通常使用電子式計時裝置觀測時間，但電子計時器的發展還不到一百年。在電子計時器出現之前的三百年間，「擺鐘」型裝置可說是精確計時的主流。

擺鐘的發明可追溯到伽利略對「擺之等時性」特性的研究，故伽利略可說是研究擺運動的第一人。1581年，當時僅17歲的他還只是比薩大學一年級學生。因無意間留意到教堂內吊燈不受擺幅大小影響，竟然很有規律地以固定的週期時間來回擺動，由此對擺的運動產生了極高的興趣。在當時大家對萬有引力和重力加速度都還不太理解的狀況下，透過反覆實驗伽利略得到了「擺動的週期與擺長的平方根成正比」的結論。從而在理論上為鐘錶的核心裝置奠定了理論基礎，自此標誌了一個新科技時代的開始。伽利略也是精確研究動力學的第一人，他對自由落體和對擺的研究一樣，同樣標誌著人類對動力學研究的開始。可惜直到伽利略去世的前一年，1641年，他才著手想利用擺的等時性製造時鐘。但是尚未完成，隔年便過世了。

荷蘭科學家惠更斯則是第一個設計出擺鐘的人，惠更斯在長期觀測天文中，因深感精確計時的重要性，所以，致力於自製精準計時的儀器。1657年，僅27歲的他，即因發現土星光環而知名。同年，他更根據伽利略所提出「擺的等時性原理」，繪出了如圖2所示的擺鐘設計圖，而後在與荷蘭機械工匠合作下，經過多次嘗試，於1657年製出了世界上首架擺鐘。並於1658年與1673年分別撰寫並出版了《擺鐘》(Horologium)和《擺鐘論》(Horologium Oscillatorium) 兩本專書。惠更斯在伽利略所提出「擺的等時性原理」理論中，引進了「擺動中心」的概念，並提出了有關向心力的議題和向心加速度的概念，進而很有系統地探討圓周運動。在書中，他還詳細描述了擺鐘原理、擺鐘內的機構、製作工藝、擺動過程及特性。並發表了一系列關於單擺與動力學的重要研究結果。再依據自身研究成果，進行更深入的推導。惠更斯從理論上推導並證實了單擺的等時性（伽利略提出的是實驗經驗的結論，但並未提出理論上的解釋），並推證了「擺的週期與擺長和重力加速度之間的關係式」。之後，更進一步推導出在大擺角時，單擺的週期不再是常數，而是遵循「等週期的擺線」理論。

擺鐘的發明對時間測量在精準度上提供了非常明顯的改進和重大貢獻。在此之前，最好的計時工具一天時間的計時誤差約15分鐘，但在當時最好的擺鐘裝置可以調整到一天誤差低於10秒。至此人類才確實擁有了可以研究物體運動的精確計時裝置。

鐘錶的發展史中，英國科學者虎克(Robert Hook, 1635-1703)的貢獻絕不可忽略。1664年，胡克首先發明游絲機構，此裝置後來由惠更斯加以發揚光大。1676年，虎克發表了「彈簧的伸長量與外力成正比的關係」，並發表了大家現在熟知的「虎克定律」。

虎克對彈簧的開創性研究，為科技的發展提供了兩項重要的改進：(1)彈簧發條式儲能器的改進，及(2)彈簧式游絲擺輪的發明(如圖3所示)。惠更斯於1674年即運用這兩項改進，著手以彈簧擺輪為基礎，製作了以彈簧發條為趨動力的鐘錶。在1675年惠更斯發明螺旋狀的游絲，搭配圓形的擺輪，使得後來計時工具的精準度更大幅提升，同時讓懷錶逐漸微型化，大幅改善了計時裝置可的攜帶性與便利性。

游絲的發明，雖然看起來好像不是一個非常起眼的設計，但卻是影響計時工具發展甚鉅的偉大成就，足堪登入鐘錶發展史中最重要貢獻者前三名之列。在往後的百餘年間，計時工具即多是採用惠更斯研發出來的單一平面游絲為主。主要結構沒有太大的改變，只是就材質與造型方面加以精進。這樣的設計使得鐘錶可以造得更輕巧，更方便使用。可在顛簸的環境下(如海洋上運行的船隻上)運作的鐘，和可隨身攜帶的懷錶及手錶即應運而生。


圖3. 惠更斯發明的游絲擺輪與典型擺輪與游絲的背面圖
(圖片來源：原理分析與結構說明 擺輪與游絲(上)，世界腕表網站，https://www.world-wrist-watch.com/zh-Hant/Article/3892，JUL 11, 2016)

1707年，因計時器的精準度不佳，三支英國海軍艦隊，致使艦隊估算的位置出了差錯，導致失事，造成了超過2000人死亡的大災難。故1714年，英國國會特別懸賞二萬英鎊，徵求能夠在海中精確測定經度的方法。條件要求是從英國出發，經6個星期航行後，抵達西印度的位置誤差不得大於30英里。實際上，當時天文觀測儀器已經可以很精確地測定天上星體的位置了，故船舶所在的「緯度」可直接經由觀測星體得到。但對船舶所在處的「經度」，卻因星體在天上會隨時間均勻地運動，故不易精準的測得。所以，此議題主要重點在於能否製造出一架精確且可以在移動的船舶中攜帶的鐘，此鐘稱為天文鐘。

經驗豐富技高一籌的鐘表匠哈里森(1693-1776)於1761年，將他精心改進的鐘運用在從倫敦開往牙買加的航海旅程中，這個旅程花了9星期的時間抵達，抵達時的位置和他的時鐘僅差了5秒的航行距離，因而贏得了國會的此懸賞。18世紀，歐洲鐘錶開始進入產業化，大量出現可用於教堂、航海、家庭擺設等各種不同用途的擺鐘，以及個人佩戴用的懷錶等各式鐘表。且越做越精巧，戴在手腕上的手錶不久也出現了。

隨著時代的推進，20世紀陸續邁入量子物學、電子、半導體與光電技術突飛猛進的時代紀元，科學知識與科技工業技術的快速發展，為獲得更精準的時間物理量，絡續有電力驅動的石英鐘錶、電波鐘、分子鐘、原子鐘和光鐘等等精確度非常高的時間計時裝置或系統陸續研發上市，更有用以測量宇宙天文時間的脈衝星鐘。

 貳、擺在科技發展史上的重要性

鐘錶的發展和演進可說揭開了現代計時技術的序幕，迄今300多年間，鐘錶除了在一般日常生活中人們用來觀測一天中的時間外，更被廣用於測量各種物理量、物體的振動頻率、週期、運動、聲速、光速、以及在體育運動上的計時等等，所涉及的範圍不勝枚舉。近代航海、航空，各門學科和各項技術得以快速發展，無不受益於鐘錶的發明。

因各行各業對鐘錶計時的大量需求及高精度的要求，以致大量鐘錶及其配件需要精密加工，因此帶動了現代車床和現代金屬加工技術的快速發展；也為歐洲現代技術發展培訓了諸多人才和帶動了精密機械產業。紡織機的發明者英國人阿克賴特(Richard Arkwright, 1732-1792)、蒸汽機的發明者英國人瓦特(James Watt, 1736-1819)、及以蒸汽機為動力的輪船發明者美國人富爾頓(Robert Fulton, 1765-1848)等人，在他們青少年時代都曾經當過鐘錶維修的學徒或製作工匠。

儘管現今擺鐘幾乎已被電子錶全面取代了，但對電子錶中的震盪器理論，也脫離不了擺鐘的理論與技術，故可說還是源自於對單擺知識的延伸與拓寬。擺鐘的誕生不僅奠定了物理理論的基礎，之後隨着科學的深入研究及鐘錶不斷改進和發明，擺鐘的核心理論更逐漸站穩腳跟，無疑是擺鐘發明史上的里程碑。這個理論對後來鐘錶的改進影響很大，無論是後來的機械鐘，還是座鐘或者落地鐘，以及現代以擺陀來控制計時的鐘表，其理論基礎都是奠定在「擺的等時性」。也因此，擺鐘不僅進入人們的生活中，同時也廣為科學家們所重視。

單擺等時性的簡單理論仍被保留並廣為運用，此理論也是國中課程中一個很基本、有趣且實用的實驗。並可從實驗過程中，獲取許多知識和實驗技巧。因此，透過此簡單的系列實驗來了解影響單擺週期運動的各種因素，並探討如何改善實驗方法和測量技巧，以期能獲得更精確的實驗數據。

 參、單擺週期測量注意事項

一、單擺的週期

週期的定義為運動體完成一次往復性運動所需的時間。為獲得精準的週期測量值，實驗時，應注意下列的幾項實驗技巧，即可得到比較精準的單擺週期值。

圖4為簡易單擺的示意圖，設擺錘質量為m、擺長為L。實驗者先將擺錘提高到某一高度，或如圖將擺線拉到與中間的垂直線成一個小角度的擺角後釋放。


圖4. 單擺週期擺動的動力源，來自具有質量的擺錘受地心重力場作用的結果。

擺錘運動的動力來自其所受到的重力W的分量F，即擺錘所受之重力(W = mg)在擺錘的軌跡路徑(圖4中藍色虛線)上其切線方向的分量，如圖4中藍色實箭頭所示。F 可表示為

當擺動角度不大時，
故得

又知簡諧運動 (Simple Harmonic Motion, 簡寫為S.H.M.) 受力F的大小可表示為

若擺動方式滿足簡諧運動則

其中

代入簡諧運動 (S.H.M.) 週期公式，即可推得小擺角下單擺的擺動週期T

 

二、單擺週期擺動的驅動力源

將擺錘提高到某一高度時，系統會提供起始重力位能值，作為整個單擺系統的初始動力源。雖然在小角度擺動下的單擺週期與擺錘的質量m無關，但這一啟始位能的能量卻和擺錘的質量有呈線性正比變化的密切關係，如下列公式所示。此位能源自地球的萬有引力對擺錘質量m的重力吸引作用，所產生的重力位能。

釋放擺錘後，擺錘的重力位能會轉換成擺錘運動的動能，在擺的來回週期變化中擺錘的重力位能和動能會彼此週期性地交互轉換。單擺在整個擺動的過程中，地球的重力場持續對擺錘施加萬有引力的作用。故給予單擺能夠週期性地來回多次擺動的動力源其實是來自擺錘的質量受地球重力作用的結果。也因擺錘所受的重力，進而使得擺線被拉緊而在擺線內產生張力，此張力拉著擺錘，才使擺錘不會因重力的吸引作用，而脫離擺線的束縛飛奔而去。故而才能對單擺持續地進行週期性的運動。

三、擺錘質量與擺線規格是否重要的探討

一般在單擺的實驗與簡單的近似理論中，常說「擺錘的質量不重要」，但這句話不夠精準，精確的說法應該是「單擺的週期與擺錘的質量無關」。若擺錘質量越大，起始儲存的重力位能就越多，故能讓單擺擺動得越久，如此所測得的週期時間相對地也就比較精準。故在單擺的實驗中，一般而言僅在乎擺線的長度，但實際上，還是要考慮擺線所能承受的最大張力，此外，還需考慮擺線在受外力作用後，長度是否會被拉伸或壓縮，以致改變擺動時的線長，進而影響週期測量的準確度。

四、探討影響單擺擺動週期之變因

為獲得精準的週期測量值，實驗時，應注意下列的幾項建議，即可得到比較精準的單擺週期。

建議測量單擺連續來回擺動10次 (或更多擺動次數) 所需的時間量，再取其平均值，即為單擺的週期。此外，10次測量結果，再求平均值，所得數據，不僅可提高測量數據的精準度外，還可以使所得數據的有效位數多一位。若是測量100次所的數據再求平均值，則可多兩位有效位數。

通常建議相同條件下，應重複上述實驗3次以上，以確認數據的正確性。可避免數週期次數時，多算了或少算了擺動週期的次數。

擺錘剛被釋放後的前幾次擺動週期建議不要納入測量的數據中，特別是第一、二週期的擺動盡量不取。因為手部釋放擺錘時，可能會對擺錘施加了一些微小的未知外力，以致擺錘的運動因受到不相干的外力干擾，偏離了擺動的鉛垂面 (垂直於水平地面的擺動平面)，而造成實驗測量上的誤差。

 肆、影響單擺週期的變因

藉由觀察單擺運動的情形，探討各項變因對單擺週期的影響，例如擺錘材質、擺錘質量、擺角以及擺長...等。並仔細討論擺線、擺錘與繫線方式分別必須符合哪些條件？才能使自製的實際單擺接近理想單擺的特性。

理想單擺是由一條不具質量的細線及一個不考慮體積的質點所組成。若要使實際單擺近似為理想單擺，擺線應選用無彈性、不會形變、內徑小且質量小(相對於擺錘質量來得小)可以忽略。擺錘應選用為質量大且體積小或體積均勻對稱的物體為宜，如密度大的球體。當物體體積三個方向的長度都能遠小於擺線的擺長，使擺錘可視為一個沒有體積，僅有質量的質點。

一、擺錘材質探討 (當擺線是單一弦線時)

任何具有一定質量的物體都可作為擺錘，如橡皮擦、彈珠、木球、玻璃球、實心或空心不鏽鋼球、手機、杯子、夾鏈袋內裝小石頭…等等任何有質量的物體均可，但擺動中物體不會變形，不會改變物體的重心位置。

(1)取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，繩線的一端繫上擺錘；繩線的另一端再繫於支架上，形成單擺。

(2)調整擺線的長短，使擺長L為30公分。

(3)拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。

(4)重複上述實驗步驟3至少三次以上。

(5)將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。

(6)將擺錘換成玻璃球與不鏽鋼球、重覆上述實驗。

(7)根據實驗數據分析，當擺長L與擺角θ固定不變時，使用不同材質的擺錘、不同質量的擺錘，所得的週期是否有明顯的差異？
 

表1. 相同擺長但不同材質的擺錘之單擺的週期測量紀錄表

二、擺錘質量探討 (當擺線是單一弦線時)

固定擺長L、擺角θ與擺錘材質，改變擺錘質量m，觀察擺錘質量m與週期T的關係

(1)取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，繩線的一端繫上30公克的砝碼組作為擺錘；繩線的另一端再繫於支架上，形成單擺。

(2)調整擺線的長短，使擺長L為30公分。

(3)拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。

(4)重複上述實驗步驟3至少三次以上。

(5)將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。

(6)改變擺錘的總質量m、重覆上述實驗。

(7)根據實驗數據分析，當擺長L與擺角θ固定不變時，使用不同質量的擺錘，所得的週期是否有明顯的差異？

表2. 相同擺長但不同質量的擺錘之單擺的週期測量紀錄表

三、擺角探討 (當擺線是單一弦線時)

固定擺長L、擺錘質量m與擺錘材質，改變擺角θ，觀察擺角θ與週期T的關係

(1) 取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，繩線的一端繫上60公克的砝碼組作為擺錘；繩線的另一端再繫於支架上，形成單擺。

(2) 調整擺線的長短，使擺長L為30公分。

(3) 拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。

(4) 重複上述實驗步驟3至少三次以上。

(5) 將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。

(6) 改變擺角θ，重覆上述實驗。

(7) 根據實驗數據分析，當擺長L與擺錘質量m固定不變時，使用不同擺角θ，所得的週期是否有明顯的差異？
 

表3. 相同擺長但不同擺角的擺錘之單擺的週期測量紀錄表

四、擺長探討 (當擺線是單一弦線時)

固定擺錘質量m、擺角θ與擺錘材質，改變擺長L，觀察擺長L與週期T的關係

(1) 取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，繩線的一端繫上60公克的砝碼組作為擺錘；繩線的另一端再繫於支架上，形成單擺。

(2) 調整擺線的長短，使擺長L為30公分。

(3) 拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。

(4) 重複上述實驗步驟3至少三次以上。

(5) 將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。

(6) 改變擺長L，重覆上述實驗。

(7) 利用公式回推實驗所得的重力加速度g與擺長Le。

(8) 根據實驗數據分析，當擺錘質量m與擺角θ固定不變時，使用不同擺長L，所得的週期是否有明顯的差異？
 

表4. 相同質量但不同擺長的擺錘之單擺的週期測量紀錄表

 伍、如何取得精確測量單擺的週期

由實驗結果我們可以驗證在小角度擺動下的單擺週期T與擺錘質量m無關。為驗證擺實驗誤差來源，如表5所示，固定擺重m、擺長L、與擺角θ反覆進行5次實驗並將結果填入表格中。

表5. 固定擺重m、擺長L、與擺角θ進行的實驗


我們可以發現依據公式回推出的重力加速度g與擺長L皆與設定值有誤差這是為什麼呢？那真實擺長又該如何得知呢？

表6. 固定擺重m、擺長L、與擺角θ進行的實驗結果


以下我們將針對擺長長度與繫線方式深入探討影響週期的因素。

一、實際擺長L定義
如圖5所示，擺長長度的計算可分成三種，(i)支點到擺錘質心L1、(ii)支點到擺錘頂端L2或(iii)支點到擺錘底端L3。


圖5. 擺長計算方式示意圖
(i)支點到擺錘質心L1、(ii)支點到擺錘頂端L2或 (iii)支點到擺錘底端L3

由實驗數據反推出的擺長不難發現，擺長都比原先設定的還要長，這就表示擺長的計算應從頂點至擺錘質心位置。

二、以單線方式懸掛擺錘

(1) 繫繩的結點位置：側視支點繫線結點位置
如圖6所示，側視繫繩在支點的位置可分成兩種形式 (i) 結點在支點側邊與(ii) 結點在支點下端。當結點在支點右側且擺錘向左側擺時，頂端部分繩線會貼附在支架上且繩線又會受摩擦影響而造成左右擺角不同 ()，進而產生誤差；倘若當節點在支點下方時，擺錘在擺動過程中就不會受到支架影響而可自由擺動，因此左右擺角再理想條件下會相同 ()。


圖6. 繫繩節點在支點的相對位置

(2) 擺動軌跡：俯視擺錘在擺動時所形成的軌跡
如圖7所示，由上往下俯視單擺運動，此時擺錘擺動的軌跡分為三種類型 (i) 直線型來回擺動、 (ii) 圓弧型來回擺與 (iii) 蛇型來回擺。理想的狀況下擺錘的運動軌跡應該是直線來回擺動，單若以單線的方式將擺錘繫於繩線上，操作者非常難以掌握擺錘運動的軌跡，因此上述三個形式都有可能會出現，進而造成實驗的誤差。


圖7. 擺錘擺動軌跡，(i)直線型來回擺動、(ii) 圓弧型來回擺、(iii) 蛇型來回擺

三、V型擺線懸掛擺錘

如圖8(i)所示，若以單一繩線貫穿擺錘使擺線呈現V型的方式懸掛擺錘，拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放。擺錘即會在同一平面上擺動，此時擺錘的運動軌跡會近乎成一直線，此時所產生的誤差會比以前述的單一直線型線懸掛擺錘來得小許多。

若以此方式懸掛擺錘時，擺錘兩側繩線的長度以及繩線與支架的夾角必須要相同。圖8(ii)為V型繩線受力分布圖，與為兩縄分別受到的張力，水平分力大小相等、方向相反且可互相抵銷；垂直分力大小相等、方向相同但不可互相抵銷。擺錘長度為支架至擺錘質心的垂直距離L。


圖8. 使單線V型方式的擺線，最低端懸掛擺錘，(i)實體照片、(ii) 受力分布圖

 陸、V型擺線的單擺週期測量

承如上述，將實驗架構改以雙線V型方式緊繫擺錘，重覆實驗，比較雙線V型所測得的實驗數據是否比單線型來得準確。

固定擺錘質量m、擺角θ與擺錘材質，改變擺長L，觀察擺長L與週期T的關係

(1)取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，在將繩線以V型方式繫於支架上端，在繩線下端繫上60公克的砝碼組作為擺錘，形成單擺。

(2)調整擺線的長短，使擺長L為30公分。(擺長為支架至擺錘質心的垂直距離)

(3)拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放，記錄擺動10次的總時間，再換算平均週期T。

(4)重複上述實驗步驟3至少三次以上。

(5)將上述多次實驗所得的平均週期再次平均，記錄下此平均的結果。

(6)改變擺長L，重覆上述實驗。

(7)利用公式回推實驗所得的重力加速度g與擺長Le。

(8)根據實驗數據分析，當擺錘質量m與擺角θ固定不變時，使用不同擺長L，所得的週期是否有明顯的差異？
 

表7. 相同質量但不同擺長(雙線V型)的擺錘之單擺的週期測量紀錄表

 柒、以Tracker軟體進行追蹤單擺擺動軌跡

Tracker 是一個建立於 Open Source Physics (OSP) Java 架構下的免費影像分析工具，可以用來把影片中被測物的位置加以標示，然後利用程式做出位置/速度/加速度和時間的關係圖並加以分析，是一個非常適合用於力學分析的工具。Tracker軟體中含有自動追蹤軌跡的功能，亦即將影片中物體的運動軌跡以質點追蹤的方式記錄下來，如圖9所示。


圖9. Tracker 軟體介面


圖10. 攝影機架設方式

一、架設與錄製方式：如圖10所示

(1) 取一條不具伸拉彈性的繩線作為擺線，再將繩線以V型方式繫於支架上端，在繩線下端繫上60公克的砝碼組作為擺錘，形成單擺。

(2) 在擺錘質心位置貼上標籤。

(3) 調整擺線的長短，使擺長L為30公分。(擺長為支架至擺錘質心的垂直距離)

(4) 取一直尺作為比例尺並置於單擺後方。

(5) 將網路攝影機或手機至於單擺前方，調整影像內容使擺動過程都在畫面內。

(6) 拉起擺錘使擺動角度為10度後釋放。

(7) 按下錄製鍵開始記錄擺動過程，至少錄製20個以上週期後再停止。

二、自動追跡方式：

(1) 將影片嵌入Tracker軟體中。

(2) 先觀察整體擺動過程，再選取預分析的影像區間，至少含有10個以上完整週期。

(3) 調整擺線的長短，使擺長L為30公分。(擺長為支架至擺錘質心的垂直距離)

(4) 設定零點座標位置

(5) 以影像內的直尺為基準設定比例尺。

(6) 於工具列上方新增質點。

(7) 再以此質點為標的開啟自動追跡功能。

如圖9所示，視窗左側為質點循跡過程；視窗右上角為質點位置與時間關係圖；視窗右下角為實驗數據表。而後可將實驗數據轉至MS Excel再進行分析，如圖11所示。


圖11. 以MS Excel分析數據


圖12. 學生實際操作成果照