前言

波動現象充斥在我們的日常生活中，當我們觀看電影時帶來的視覺刺激，其實是可見光波刺激我們的視網膜神經，又或在我們享受著交響樂團的美妙旋律時，可聽聞的聲波藉由振動耳蝸內的纖毛，讓我們感受到聽覺。聽到的聲波與看到的光波都是屬於波動現象。

無論是水波、光波或是聲波皆有波動共同特性，如折射、反射、干涉、繞射等。其中干涉現象，具有特別的重要性；例如在一維的駐波、二維兩波源干涉(水波、光波)等高中物理內容，都需要使用干涉的概念加以解釋。

本教具並未使用傳統水波槽或雷射加上狹縫片進行干涉實驗，而是使用手機經由耳機的左、右聲道發出兩相同單頻率聲波彼此干涉，再由麥克風連接另外一支手機，分析聲埸強弱變化。這個教具可以透過耳朵「傾聽」干涉後各處聲埸強弱變化，也能夠藉由手機的示波器 App 用眼睛「觀察」波形或頻譜變化，更重要的是能藉手「調控」麥克風的位置，探索聲埸的節點或腹點分佈。

「聲波干涉」教具在2019年由作者所著，經泰宇出版的「物理－搞什麽飛機？」一書中提到此教具與實驗，接著在2020年，由國立臺灣科學教育館出版，全中平、吳明德等四人合著的「科展設計與實作」第二版中，我再次將此教具列為該書的一個實作範例。最後則是在2020年12月的第三屆全國科學教具創意競賽中，吳明德、陳林志傑、王立文等三位老師共同以「聲波干涉」教具榮獲北區第三名。本文則是整理設計理念及使用教具的軟、硬體操作方式。


圖1.，吳明德、陳林志傑、王立文與聲波干涉教具，於競賽後在科教館合影紀念


圖2.王立文、陳林志傑在科學教具競賽時 ，在攤位前演示教具並接受評審們提問

 現行高中波動實驗

高中物理課程對聲波、水波與光波的介紹中，利用惠更斯原理描繪波前形狀並預測波的行進軌跡，使用重疊原理分析波的干涉現象。在教授波動單元課程內容時，最大的缺憾是課本上的干涉圖形並不會動，波動章節的學習關鍵是，學生需要看到動態的干涉實驗，而不是不會動的干涉圖片。一般在高中安排的課程實驗中僅包括水波槽及楊氏雙狹縫干涉這兩個實驗。

水波槽實驗是高中常見的波動實驗，但由於實驗水槽笨重不易搬運、注水麻煩、光源也不是平行光，而且實驗環境有暗室的需求，使得教師在準備此課程會有很多前置作業與限制，不甚方便。其中最重要的是，必須使用閃頻光源，並且要與水波的頻率保持同步，肉眼才能觀測出穩定的干涉條紋。

使用雷射筆進行楊氏雙狹縫干涉實驗，雖然設備操作十分簡便，但雷射光的波長以及狹縫間距並無法連續微調，僅能調控狹縫至屏幕間的距離，以及觀察屏幕干涉條紋間距，欠缺可供學生探究的多組變因。加上動手製作狹縫片，對於學生還是有些麻煩，所以本教具使用聲波取代光波與水波進行實驗。

 聲波干涉教具

本團隊研發聲波干涉教具，使用學生容易取得的手機、耳麥等設備。不但可以調整聲波頻率、兩耳機聲源間距，還可定量測量干涉後的強度，並且一維 (圖3) 與二維的干涉實驗皆能適用。

兩具手機中，其中一支手機作為訊號產生器，可以輸入「function generator」關鍵字搜尋合適的App下載，而另一支手機作為示波器或頻譜分析，可輸入關鍵字「Oscilloscope」或「Spectrum」進行搜尋App。我使用SoundGenerator 及function generator Pro 作為訊號產生器App，而示波器與頻譜分析則使用 e- scope 3in1 App


圖3.一維聲波干涉實驗，設備簡易容易獲得，易調整聲波的波長。當調整兩耳機間距時，麥克風量測干涉強度變化。 (圖片來源 : 吳明德， 物理—搞什麼飛機？)


圖4. e-scope 3in1波形圖橫軸時間每格500毫秒週期約為0.29毫秒，約3400赫


圖5. e-scope 3in1頻譜圖橫軸頻率，峰值頻率約為3488赫茲

在科學教具競賽會場中，有評審教授質疑，在吵雜的實驗室中，各組要如何進行聲學量測？其實如果用振幅與時間關係，也就是示波器的波形圖顯示時(圖4)，的確會受嚴重影響。但是改為使用強度與頻率關係，若本組聲頻與背景雜訊及其他鄰近組別聲頻有明顯差異，利用頻譜分佈的頻域圖呈現，仍能觀測該頻率的分貝值(圖5)。

 一維波動干涉(重疊原理)

干涉現象為波動的特性，舉凡聲波、水波或光波等，皆可產生干涉現象。干涉現象的本質即為空間中兩個行進波相互疊加的結果，小振幅波動的疊加採用向量合成，若合成波之振幅大於原行進波之振幅則為建設性(相長性)干涉；若合成波之振幅小於原行進波之振幅則為破壞性(相消性)干涉，關於重疊原理的教學模擬，可以使用在iPad OS執行的 WaveAdd App 十分容易觀察現象(圖6)。


圖6.WaveAdd App的操作介面

空氣中的聲速與溫度有關，v = (331 + 0.6T) m/s。現假設氣溫為攝式 25度，代入計算得到聲速為346 m/s。為了一方面避免與環境的低頻背景雜訊混肴，在另一方面體積很小的耳機，適合發出較高頻的聲音，並加上方便計算原則下，可設定發出的聲波為較高的頻率3460Hz。代入波速v = 頻率 f × 波長λ 公式，得到波長為 0.1 公尺，即為 10 公分。圖7 為兩同調波干涉後波型，其中聲波振幅抵消為相消干涉，聲波振幅增強為相長干涉，所以兩耳機與麥克風波程差為波長整數倍，如0、10、20cm時為相長干涉（腹點）。兩耳機與麥克風波程差為半波長奇數倍，如5、15、25cm時為相消干涉（節點）。


圖7.左圖兩聲源波程差為波長整數倍 Δd = mλ，產生相長性干涉。右圖為兩聲源波程差為半波長奇數倍 Δd = (2n-1)(λ/ 2)，產生相消性干涉。(圖片來源 : 吳明德 物理，搞什麼飛機)

 干涉軟體模擬實驗

iPad OS 的Wave App 以及在 PhET App 波的干涉，這兩個軟體可作為二維波動的模擬教學。其中Wave App 十分擬真的明暗相間變化的連線，即為水波干涉的腹線，其中「明」為波峰、「暗」為波谷，均為建設性干涉 。而模糊霧狀的連線，為干涉後的節線(圖8)。


圖8.Wave App 水波干涉的擬真模擬

Wave App 由水波的擬真模式，切換成由兩點波源發出的週期波波前，成為抽象的兩組同心圓的疊紋。其中兩圓弧交點，可視為兩波峰交會處為腹點，藉虛擬直尺測量某腹點，相距兩波源的距離差即為波程差。(圖9)


圖9.Wave App 附的虛擬直尺驗證測量腹點至兩波源的波程差為波長整數倍

自兩點波源(S1、S2)出發到達某點的距離差稱為波程差。由兩點波源發出的波分別到達二維平面上一點P時，其所行進距離的差值則稱為波程差Δl 。當半波長λ/2之偶數數倍時，為相長性干涉 Δl=|¯ps_1-¯ps_2 |=m λ/2，其中m=0、2、4。；波程差為半波長之奇數倍時，其中m=1、3、5。當相消性干涉。在二維平面相同波程差的腹點/節點連線，稱為腹線/節線（圖10）。


圖10. 二維聲波干涉波程差示意圖

使用PhET的波的干涉時，可以選擇水波、聲波還是光波等不同的波源，最特別的是除了捲尺工具之外還附上虛擬示波器。在圖11中調整兩探棒位置，白色探棒位於中央腹線黑色探棒位於第一節線處，可以比較出白色探棒訊號振幅很大，黑色探棒的訊號振幅極弱。本教具運用在二維干涉實驗中，麥克風就相當於此模擬裏的探棒，利用手機示波器觀察聲場內合成聲波的振幅變化。


圖11.PhET的波的干涉，說明波動隨著距離作週期性變化，可判斷波長，同時振幅隨距離而衰減。振幅也隨著時間作週期變化，可觀測出週期的時間。

 一維聲波干涉實驗

空氣中的聲速與溫度有關，使用萬用電表量測當地的氣溫。由圖11量測氣溫20度為例，帶入v = 331 + 0.6T，(T為攝氏)計算，得到聲速為343 m/s 。

開啟手機Function Generator Pro App(此APP能選擇輸出形、頻率、單邊或雙邊輸出與輸出相位)，調整頻率為3430Hz。使波長為10cm利於實驗與計算與紀錄(圖12)。


圖12. 調整左右耳機頻率、波形與振幅

調整手機示波器App，如e-scope 3in1顯示出頻譜圖(頻域)，並判讀坐標軸資訊如橫座標軸為頻率，單位為Hz，縱坐標軸為分貝，藉由分貝值變化判斷是否為建設性或破壞性干涉。

當環境較為安靜，也可使用波形圖，由振幅變化判斷是否為建設或破壞性干涉。當波程差為25 cm(半波長之5倍)時為破壞性干涉(圖13)。而當波程差為30 cm(半波長之6倍)時為建設性干涉(圖14)。


圖13. 波程差25cm破壞性干涉


圖14. 波程差30cm建設性干涉

同學們可能會問：為什麼破壞性干涉振幅不為零？這是因為兩耳機距麥克風距離並不相等，較遠處傳來的聲波衰減較多，無法與較近聲波完全抵銷。

 二維聲波干涉實驗

二維聲波干涉實驗裝置與一維干涉實驗裝置完全相同。在二維的干涉實驗當中，將頻率設定在更高頻率6860Hz(溫度20∘C、波長5cm)，才能有較多節、腹線等細節。設定兩耳機波源相距20cm(圖15)。調整兩耳機為同相聲源。

兩聲源同相使之波傳遞到中垂線時波程差為零。因此兩耳機之中垂線上形成建設性干涉，稱為中央腹線(圖16）。反之，調整兩耳機為反相聲源。因此兩耳機之中垂線上，將會形成破壞性干涉，稱為中央節線。


圖15.二維聲波干涉實驗架構示意圖

為記錄干涉聲場的節點與腹點，沿中垂線方向每隔5cm繪製垂直中垂線之橫線，並沿此線向左右測量，尋找節點與腹點，並以筆標記位置，繪製出二維干涉的節、腹線，以驗證二維聲波干涉理論。


圖16. 兩同相波源中央腹線


圖17. 尋找干涉聲場節點


圖18. 尋找干涉聲場腹點

將所紀錄之數據繪成圖19， 其中紅色線為腹線，藍色線為節線。志傑老師並使用二維有限差分法(2D-FDTD)模擬頻率為6860Hz、相距20公分兩波源，在二維上的實驗干涉圖形。比較此兩圖，可以發現二維聲波干涉實驗結果，大致符合簡化的理論模擬。但實際實驗結果與模擬位置還是有誤差存在，接下來討論實驗誤差的成因。

 聲場實驗結果與探究問題

在一維聲波干涉的實驗中，會發現當兩耳機間距差異越來越大時，實驗得到的節點位置與理論位置差異會越來越擴大。這是因為當聲源離麥克風越近，波行進的距離越少，衰減越少；反之，當聲源離麥克風越遠，波行進的距離越多，衰減越多；故兩波的波峰與波谷振幅無法完全抵銷，所以訊號最小的位置就不是理想節點位置。

二維聲波干涉，除了會因傳播越遠而振幅衰減，還會因為高頻聲波具有指向性，正前方最強，隨方位角增加而聲音振幅會逐漸衰減。所以除中央腹/節線以外，其餘方向都會受到兩耳機的指向性不同多少會影響干涉的結果。

此外實驗並非在無響室進行，難免部分的聲波會由實驗者身體或環境反射。還有須考慮麥克風佔有體積，導致與真實收音點有少許距離誤差。但也可藉由解釋實驗的成果報告，導致與理論有少許差異中，引導學生探究各種的誤差可能的成因。

 聲波干涉教具改進與教學應用

志傑老師改進聲波干涉教具，將耳機、麥克風以雙面膠黏附強力磁鐵，可緊密磁吸在磁性白板上，方便攜帶與教學演示(圖19）。

王立文老師使用聲波干涉教具在麗山高中的高一普通班，課程已上過波動與重疊原理，教學現場記錄情形如下：


圖20. 耳機、麥克風並緊密磁吸附白板


圖21. 王立文老師上課操作聲波干涉教

1.當示波器選擇時域並顯現波形後，同學立刻發現要保持安靜，不然波形會不穩定。當示波器轉為頻域時同學也有發現嘈雜環境，較不影響主要實驗的頻率。

2.當進行一維干涉時，調整波程差使示波器時域圖的振幅有明顯變小時，大多同學立刻說出了破壞性干涉的精確描述。表示學生將課本知識確實應用在看到的現象上，並將看到的現象與學過的知識做連結。

3.後續學生實作後也提出了我們預想的問題，為何破壞性干涉振幅不為零?
由於考慮衰減，波程不同導致衰減程度不同，故當波程差調整至半波長奇數倍時還是有些微振幅，振幅不完全為零。