緣起

多年前，國內的紙雕創意大師洪新富開始籌措臺灣第一本立體書寶典《立體書創作手冊》，筆者有幸在該書問世之際，幫忙檢核其內標示對應的數學符號與演算關係。在洪老師由淺入深且循序漸進呈現各種技法的清晰脈絡中（圖1），筆者得以走進3D立體書卡的大觀園。（註2）


圖1. 洪老師應邀到師大附中高瞻計畫「藝數創課」分享創意紙雕

一直以來，大家對於立體書的認知與接觸，大概都停留在繁複、精緻、高貴等既定印象。這回因緣際會得以窺探其設計結構的殿堂之美，某日突發奇想地轉向自己長期鑽研的多面體模型，看看有無可能突破以往展開圖黏貼或零組件拼裝的製程限制，也能來個可被摺疊的「爆漿多面體」？幾經嘗試之後，終於成功套用「雙足」和「斜角」的關鍵技法，同時結合鏡像對稱的效果，巧妙達陣洪老師半開玩笑說的神話：「動手做一本屬於自己的立體書」。

 設計

若要裁切、摺疊整顆正多面體，筆者首先冒出的畫面是以「上蓋」和「下蓋」接合的車輪餅。而透過鏡像反射來呈現整個多面體的創意巧思，其靈感則來自於台中自然科學博物館B1數學常設展的「魔鏡」（圖2），看來素雅不花俏的裝置，但數學巧思與美感盡在其中矣！以下為各種立體書卡「鏡像展開圖」的研發亮點與取捨歷程。


圖2. 柏拉圖立體鏡像虛實的創意表現

一、正四面體
若以平行投影的方式，從頂點、稜邊和面的角度觀察正四面體，可分別看到正三角形（圖3a）、正方形（圖3b）與正三角形（圖3c）的投影圖（以下依序簡稱為「點視圖、線視圖、面視圖」）。由此可多方觀察、確認正四面體的對稱面只有一種。此處套用斜角切割的摺疊技法，同步將正四面體兩面角的二分之一（θ/2）放進斜角的黏貼邊（圖3d），以便製作時，可以對齊鏡面卡紙的翻摺線。當卡紙完全翻開攤平時，位在翻摺線兩旁的兩個θ/2，便剛好湊成正四面體的兩面角（θ）。（註3）


圖3. 正四面體的點、線、面視圖與斜角的鏡像展開圖

二、正六面體
觀察正方體的點視圖、線視圖與面視圖，可分別得正六邊形（圖4a）、長方形（圖4b）與正方形（圖4c）。由此觀察、確認正方體的對稱面有兩種，兩者皆可套用雙足切割的摺疊技法。本設計選取線視圖的投影角度，將雙足黏貼邊接在三角柱的正方形上（圖4d），此時收疊的摺線會落在等腰直角三角形的對稱軸上，好讓被破壞的正方形數量減到最少，最終保留了兩個完整的正方形。

圖4. 正方體的點、線、面視圖與雙足的鏡像展開圖

三、正八面體
觀察正八面體的點、線、面視圖，可分別得正方形（圖5a）、菱形（圖5b）與正六邊形（圖5c）。由此觀察、確認正八面體的對稱面有兩種，可套用斜角或雙足切割的摺疊技法。本設計選取點視圖的投影角度，將斜角接在金字塔相鄰的兩底邊（圖5d），此時收疊的摺線會落在金字塔的稜邊上，將四個正三角形全數完整保留，達到零破壞的境界。另為了方便對齊鏡面卡紙的翻摺線，同步將金字塔底面直角的二分之一（45∘）放進斜角的黏貼邊。當鏡面卡紙完全翻開攤平時，位在翻摺線兩旁的兩個45∘，便可剛好可以湊合成金字塔底面的一個直角。


圖5. 正八面體的點、線、面視圖與斜角的鏡像展開圖

四、正十二面體
觀察正十二面體的點、線、面視圖，可分別得十二邊形（圖6a）、六邊形（圖6b）與正十邊形（圖6c）。由此觀察、確認正十二體的對稱面只有一種，可套用斜角或雙足切割的摺疊技法，但以雙足呈現的立體效果較為均勻，故本設計選取線視圖的投影角度，將雙足黏貼邊接在互相平行的稜邊上（圖6d）。


圖6. 正十二體的點、線、面視圖與雙足的鏡像展開圖

五、正二十面體
觀察正二十面體的點、線、面視圖，可分別得正十邊形（圖7a）、六邊形（圖7b）與正六邊形（圖7c）。由此觀察、確認正二十體的對稱面只有一種，可套用斜角或雙足切割的摺疊技法，但以雙足呈現的立體效果較為均勻，故本設計選取線視圖的投影角度，將雙足黏貼邊接在互相平行的稜邊上（圖7d）。


圖7. 正十二體的點、線、面視圖與雙足的鏡像展開圖

六、阿基米得立體
待五種柏拉圖立體書卡都設定好之後，筆者臨門一腳，又在其展開圖上的適當位置，額外再加幾刀鍘切線，如此便可再加工形成結構外型與視覺效果皆較為繁複的「鏤空截角體」（註4）。其中正十二面體的截小角設計，因受限於正十邊形上雙足黏貼邊的面積太小而作罷。至於正二十面體截小角的「足球」，考量其圖樣很科普，但結構卻又過於複雜，故乾脆另起爐灶，直接設計刀模鍘切成半成品（圖8），以省後續的DIY製作工序


圖8. 阿基米得立體書卡的鏤空變化

七、「洪門絕招」
製作立體書卡最後的關鍵步驟，便是要將半顆模型黏貼到鏡面卡紙上，此時雙足的寬度或斜角的角度得恰如其分，否則會各種高矮胖瘦的變形，嚴重影響整個多面體的對稱結構。為此，筆者特別精算、調配好展開圖的大小，並將各種量尺規格設計在DIY上（圖9）。當角度或寬度抓定後，洪新富老師眼睛發亮地提醒：主角不動，先翻卡紙黏好一隻腳，再打開黏貼另一隻腳，保證完美成型！


圖9. 〈藝數柏拉圖〉立體書卡黏貼對齊的量尺套件

 教學

〈藝數柏拉圖〉DIY的操作設計，在手作中多一點幾何結構，在數學中多一點藝術創作，其適用對象可說是老少咸宜，而其數學教學內容的多寡與深淺，可參照學生的數學程度與多面體的認知來調整。實體的教學已經過多場園遊會、親子工作坊、國小科學營、國中數理資優營、高中多元選修等推廣活動的回饋，修定後的簡略講義如圖10。以下分別從認知、技能、情意等面向，分享相關的數學教學設計。


圖10. 〈藝數柏拉圖〉課程學習單

一、認知：學生能從正多邊形對稱軸的認知，推廣到正多面體的對稱面。

【提問】
Q1. 正多邊形的對稱軸：在哪裡？有幾條？有哪些類型？
Q2. 正多面體的對稱面：在哪裡？有哪些類型？

【解說】中垂線與分角線 vs.「中垂面與分角面」。
A1. 正n邊形的對稱軸有n條，可引導學生利用對稱邊相等與對稱角相等的現象，簡單歸納為邊的垂直平分線或內角的角平分線（註5）。其中正（2n+1）邊形的中垂線=分角線；正2n邊形的中垂線≠分角線。（圖11）


圖11. 正多邊形的對稱軸數量及類型

A2. 正多面體的對稱面皆垂直於各面的對稱軸上，其結果可歸納成稜邊的中垂面或兩面角的分角面。由於正四面體、正十二面體和正二十面體的中垂面=分角面，故其對稱面皆只有一種，而正方體和正八面體的中垂面≠分角面，故其對稱面皆有兩種。學習單上的設計，是利用多面體的點、線、面視圖，引領學生觀察模型並分析所有的對稱面特徵。若搭此線延伸，後續還可追問技術性的作圖問題：正多面體的點、線、面視圖怎麼畫？長寬比例為何？或反問開放性的探究問題：哪些正多面體會出現正方形/正六邊形的影子？

【建議】
在臺灣中小學的數學課程設計中，雖然要等到五年級才會正式介紹線對稱圖形，不過在切披薩、切蛋糕等日常生活經驗中，學生面對線對稱或面對稱的操作與想像，其實已不全然陌生。當然，針對某些幾何感比較弱的學生，或是有需要特別強化實作的探究模式，教師可精心準備正多邊形的色紙，或小型的矩形鏡片來供學生操作、觀察，相信會是一堂師生皆有感的幾何圖像的學習經歷。
然而，臺灣學生對於立體結構的接觸，幾乎都只停留在角錐與角柱的系統打轉，故建議利用百利智慧片等幾何教具輔助，以分組教學的方式，讓組員能合作拼裝五種正多面體的實體模型，以便細部觀察、分析其對稱面的特徵，以及後續紙筆可推算的相關數據。當然，若時間不充裕，或數學內容不需太深，也可先行體驗DIY的美勞手作，等立體書卡的模型都完成之後，再來Q&A介紹。

二、技能：學生能操作立體書卡的斜角與雙足技法，進而探究其角度與寬度。

【提問】
Q1. 斜角角度：正四面體與正八面體的斜角角度要多大？
Q2. 雙足寬度：正方體、正十二面體與正二十面體的雙足距離要多寬？

【解說】分角面、點視圖、線視圖。
A1. （1）引導學生從分角面的觀察，得知正四面體斜角的黏貼角度，為其兩面角的一半（圖3d）；（2）從點視圖的觀察，得知正八面體斜角的黏貼角度，為金字塔底面直角的一半（圖5d）。
A2. 引導學生從線視圖的觀察，得知正方體、正十二面體與正二十面體雙足的黏貼寬度，皆為其平行邊的距離（圖12）。設稜邊長為a，則正方體的雙足寬度為正方形面體的對角線長；正二十面體的雙足寬度為五角錐底面正五邊形的對角線長φa；至於正十二面體的雙足寬度，為其內接正方體的稜邊長（正五邊形的對角線長φa）與兩個稜邊長之半（）的總和（φ+1）a，其中為黃金比例。


圖12. 從線視圖觀察三種正多面體立體書卡的雙足寬度

【增能】
在正式操作DIY的斜角與雙足之前，學習單上另安排一個簡易體驗「矩形」技法的摺剪實作教學（圖13），學生可由簡到繁，立馬變化出鏤空「謝爾賓斯基三角錐」的3D碎形結構，藉此強烈感受3D立體卡片的神奇變化。當學生很快就有驚喜的成就感之後，不少學生會為了挑戰更繁複的層次而欲罷不能。

※步驟1. 將A5紙張對摺，在摺線的中點處剪1/2縱深。
※步驟2. 將「右半部」的摺線反摺、對齊「上邊界」。
※步驟3. 依序重複剪、摺1/2縱深、展開整理摺線即完成。


圖13. 以矩形技法巧現3D碎形卡片的摺剪流程圖

DIY完成之後的延伸課題，可再引領學生認識、推算從五種柏拉圖立體，截小角成阿基米得立體的稜邊比例，即是分析從正n邊形截小角成正2n邊形的分點比例（圖14）。


圖14. 從正n邊形截角成正2n邊形的分點比例

三、情意：學生能透過跨域素養的探究與賞析，感受立體幾何的數學之美。
學習單上透過數學史「皇帝的數學課本（圖15）」和科學史「古希臘週期表」的四元素，串接水象、火象、土象、風象等星座的接觸經驗，開啟學生與正多面體的對話連結。


圖15. 《四庫全書》抄錄《崇禎曆書•測量全義》介紹正多面體的內文

四、連結生活
課程收尾之際，等多數學生都已完成多面立體書卡或爆漿球之後，除了鼓勵學生發揮想像力，額外創作、裝飾自己專屬的3D卡片當回家功課之外，還可再引領欣賞存在於生活周遭的多面體設計（圖16），以及相關造型的公共藝術發想（註6），嘗試連結生活、文創、藝術等「數養」，讓學生察覺包山包海的立體幾何世界，祈能廣收畫龍點睛之效。


圖16. 足球造型的「蓮花燈」與「蜘蛛網」

 後記

2019年10月，〈藝數柏拉圖〉的創意設計獲得中研院數學所的青睞，於一年一度的開放日活動中，規劃成DIY教學體驗區的紀念品（圖17a）。當五顆立體都排版定位後，由於A3的版面仍屬充裕，便將最複雜的正二十面體與足球的鏡像展開圖排版兩份一起鍘印，好讓參訪體驗的大小朋友也可省去鏡面卡紙的黏貼、翻摺，直接手作一顆可以放心壓扁當書籤的多面體模型（圖17b、17c）。

瀏覽至此，不知讀者是否已躍躍欲試，也想創作一本自己專屬的多面體立體書呢？建議先仿照本文呈現的展開圖試作幾道小菜與變化，然後上網充電或到圖書館翻閱各式各樣的立體書，相信也有機會端出一桌創意料理，替自己創作一個奇幻的立體書神話。心動不如馬上行動，趕緊動滋-動滋動起來吧！


圖17. 中研院數學所「數學X黑洞」紀念品（註7）與3D多面體書籤