前言

數學益智遊戲偶爾也會出現在電影的情節之中，成為大家茶餘飯後的討論議題。1995年上映的電影「終極警探3」當中有一段情節，恐怖分子提出智力考驗的問題要求布魯斯威利解答出來，否則炸彈就會爆炸。當中的智力考驗問題是「有一個3加侖和一個5加侖的水桶，它們都沒有刻度，因此只知道裝滿是3加侖和5加侖。問要怎樣才能量出4加侖的水？」。作者搜尋網路發現有些網友不知道如何解答這個問題，因此特別撰寫本文，把其中數學教育希望培養學生的能力呈現出來讓大家知曉，希望老師/家長也能培養學生帶得走的能力。

有關這類的分水（或倒水）遊戲，尤怪之家的主人巫光楨曾經用Flash寫了一個可以在windows上執行的app（註1），可惜現在不能直接在電腦上執行，必需先下載執行Flash的程式（註2）才能打開來玩它。

這個遊戲在android的手機也有簡單的app（註3）可以執行。有興趣的家長、學生可以下載來玩看看。

 壹、沒有目的的玩→有邏輯的玩

作者發現有些學生在玩這類遊戲的時候，都是沒有目的、隨機的在玩，可能玩一陣子之後發現剛好把答案找出來了。雖然學生有興趣玩，只要他能把答案出來，也很不錯；但是這不是數學教育的目的，數學教育的目的至少希望學生在玩的過程中，能有系統性、有規律的玩、能留意數字間的關係，進而找到它的邏輯規律。數學教育希望學生能養成這樣的學習習性，使得學生將來面對任何問題時，都能自動自發的去留意事物之間、數字間的關係，進而找到解答問題的方法。

為了節省篇幅，我們僅以一個例子：「有A、B二個空水桶，它們都沒有刻度，只知道裝滿分別是9公升和15公升。想要量出12公升的水，要如何倒水呢？」來說明。

首先作者希望學生都能了解到，有一些遊戲在玩的時候，每一次都是只有有限多種可能的方法，同時可能的方法不會愈變愈多。面對這樣的問題，每一次只要做一些邏輯的判斷，再留意數字間的規律；自己在玩的過程中，就會找到它的規則和方法，就不會毫無目的的玩。

因為倒水問題只有A、B二個空水桶，因此我們要裝倒水時，第一次共有二種方法，不是把9公升的A水桶裝滿，就是把15公升的B水桶裝滿。從對稱的角度，第一次要裝滿那一個水桶其實都相同，因此我們假設先開啟水龍頭裝滿9公升的A水桶，此時A=9、B=0。因為水桶沒有刻度，沒有裝滿就不知道水有多少公升，因此在裝時，就要裝滿它。

第二次只有三種方法：因為A己經裝滿了，因此（1）只能把A中的水倒空；因為B是空的，因此可以（2）開啟水龍頭把B水桶裝滿、或者（3）把A中9公升的水倒入B水桶中。相信學生一看就會知道不要做前面二項動作，因為把A中的水倒空就變成一開始的A=0、B=0；把B水桶裝滿就變成A=9、B=15，再來一定要清空其中一個水桶，等於在做白工。因此最後剩下第三種方法，把A中9公升的水倒入B水桶中，此時A=0、B=9，雖然B沒有裝滿，但我們確信它是9公升。當然，也不能把A倒一部份的水到B桶，因為此時不知道A、B分別有多少公升。

第三次又有幾種裝水的方法呢？相信學生一定想到只有四種方法：因為A是空的，因此（1）開啟水龍頭把A裝滿，或者（2）把B倒回A中；因為B還沒裝滿，因此（3）開啟水龍頭把B裝滿，或者（4）把B清空。稍微推理一下，相信學生不會做後三種方法，因為把B倒回A中就回到原來的A=9、B=0；把B裝滿就變成A=0、B=15，等於回到第一次，只是裝滿B水桶而已；把B清空就變成A=0、B=0，又回到最開始的情形。因此第三次就是要把A裝滿，變成A=9、B=9。

第四次呢？也是一樣的推理方法，（1）若把A清空，變成A=0、B=9，（2）若把B清空，變成A=9、B=0，（3）若開啟水龍頭把B裝滿，變成A=9、B=15；都會回來原到某一種情形。因此，剩下的就是（4）把A倒到B中，變成B=15=9+6、A=9-6=3。

第五次和上面的推理一樣，（1）若開啟水龍頭把A裝滿，變成A=9、B=15，（2）若把A倒空，變成A=0、B=15，（3）若把B倒回A，變成A=9、B=9；都會回到原來某一種情形。因此，只能（4）把B倒空，變成A=3、B=0。

第六次，（1）若開啟水龍頭把A裝滿，變成A=9、B=0，（2）若把A倒空，變成A=0、B=0，（3）若開啟水龍頭把B裝滿，變成A=3、B=15；都是又回到先前的情形；因此只能（4）把A倒入B中，變成A=0、B=3。

第七次，作者不再把不行的方法寫出來，請學生自行判斷哪些方法不行。假如你能想到哪些不可以的方法，你的推理能力已經慢慢在增強了。再來，只能開啟水龍頭把A裝滿，變成A=9、B=3。第八次把A倒到B中，變成A=0、B=3+9=12。發現我們已經倒出12公升的水出來了。


圖1. 倒水遊戲的步驟圖示

 貳、多玩幾次發現規律

有興趣的學生可以下載上面所說的app來玩一玩，也可以自行出題目，用紙和筆寫下數字來玩；再從其中發現玩法的規律。假如你在玩的過程中，沒有注意數字的變化，你很容易就會一直出現重覆的數字，以致感覺無法完成，沒完沒了。假如你記憶數字的變化有困難，你可以拿出紙和筆，把出現過的數字寫下來，這樣就比較不會出現重覆的數字，就比較能快速的過關。

在玩的過程中，你是否發現到它的規律？若你沒有發現到，就再多玩幾次。最後你會發現，假如你一開始是把水倒入A，再來一定是把A的水倒入B中；等到A空了，再把A裝滿；而B呢，它是等到B滿了，再把B清空。因此反過來也可以，也就是先把B滿，再把B倒入A中，同時等B空了再裝滿，等A滿了再清空。如此循環下去，就不會現重覆的數字，就可以順利把它解答出來。上面的例子，它的步驟便是（1）裝滿B，A=0、B=15，（2）把B倒滿A，A=9、B=15-9=6，（3）清空A，A=0、B=6，（4）把B倒到A中，A=6、B=0，（5）裝滿B，A=6、B=15，（6）把B倒滿A，A=6+3=9、B=15-3=12，（7）清空A，A=0、B=12（圖二）。

當我們得到這樣的規律，你可以很快的解出水問題的答案。


圖2. 倒水問題的另一種作法步驟

 參、更一層的思考數字間的關係

假如你的數感好一點，上面的例子或許你馬上會發現倒出來的數字是9、3、15、12，或是15、9、6、12，它們都是3的倍數。

假如你再多玩一點類似的問題，你可能會發現當A、B水桶分別裝滿a、b公升的水時，你能倒出來的水一定是a、b的最大公因數的倍數。不相信的話，請你試試，上面的例子是否能倒出2公升出來？此時，假如你用先裝滿A的方法，倒到A=0、B=12，接下來是裝滿A，A=9、B=12把A倒滿B，A=9-3=6、B=12+3=15清空B，A=6、B=0把A倒到B，A=0、B=6把A倒滿，A=9、B=6把A倒到B，A=0、B=15把B清空，A=0、B=0，發現再來會一直重覆出現上面的數字。

因為在數學上有一個性質：任何二個數的合或者差，也一定是二個數的最大公因數的倍數。

 肆、連結代數問題

假如你已經發現到剛才談的，一定是一個水桶清空後再裝滿水，另一個一定是裝滿水以後再清空。同時你又學過二元一次方程式，這時候，你是否會連結到它可以看成是9x+15y=12的整數解？其中x和y中的一個是正整數，一個是負整數。我們用嘗試錯誤的方法找出答案x=3、y=-1，發現要把A裝滿3次，B清空一次即可；剛好和圖一的做法相符。上面的二元一次方程式，當然也可以y是正，x是負，例如y=2、x=-2，也就是B裝滿2次，A清空2次；剛好和圖二的做法相符。

假如你的數學不錯，或者曾經學過如何找出9x+15y=12的所有整數解，它其實就是用輾轉相除法的概念求得所有的整數解，如下

把第一式的邊，代入第二式的6中
兩邊乘以4
所以
求得所有整數解之後，當t=-1時、x=3、y=-1；當t=-2時、x=-2、y=2，剛好是上面的二種方法。

 伍、問題的連結

假如學生稍微留意一下，可能會發現作者所用的二個水桶A= 9公升和B=15公升，要量出12公升的水，和電影「終極警探3」的問題A=3加侖和B=5加侖，要量4加侖的水的問題是一樣的。只是作者為了讓大家看到最大公因數的倍數的關係，故意把電影問題中的三個數都乘以3。因此電影情節的二元一次方程式是3x+5y=4的整數解，其中x、y是整數。它的方程式解是
所以
同樣的，當t=0，即x=3、y=-1時，就是A倒滿三次，B清空一次。當t= -1時，x=-2、y=2，就是B倒滿2次，A清空2次。A=9、B=15要倒出12和A=3、B=5要倒出6的答案相同。

 結語

數學教育的目的是希望學生在玩益智遊戲時，能有系統性、有規律、能邏輯推理的玩，再從玩的過程中留意數字間的關係，發現規律，甚至連結代數、算術概念。假如我們的學生能有多次類似的經驗，相信學生的邏輯推理能力、創新能力，一定可以被培養起來，一定能學到帶得走的能力。

有興趣的學生可以再玩一玩「易位棋」的益智遊戲（註4），等找到規律再看一看本月刊第58-06的文章「益智遊戲易位棋中的數學思維」（註5）。看你是否能像文章中所談的找到規律以及發現它的公式的推理過程。