一、前言

幾何的切割裏有個著名的縫紉商問題，所指的是：「有個縫紉師拿了塊正三角形的拼布，要如何透過適當的切割，使得這塊正三角形可以重新拼組為正方形？」即為Haberdasher's Problem（Henry Dudeney,1907），在網路上有著不少的討論，然而拼布在教學上取得不易，若要在課堂上進行可以改為以紙張操作，於是本文章內容也因之產出。

 二、前情提要

關於Haberdasher's Problem，根據Amusements in Mathematics網站 所提到的作圖方式，可依底下圖一方式將正三角形ABC作切割：




圖一

可以底下方式（由張惟淳老師提供）證明或解析幾何方式計算，亦可直接透過Geogebra軟體繪製計算得到同樣結果。


圖二

 三、倒果為因

筆者近年推動摺紙數學，在前幾年鑽研這個問題時，總覺得這個問題也適合在摺紙活動進行推廣，只是計算量太複雜，以剪紙活動而言，一開始要先製作一個正三角形，就得花一點時間，更別說還要在紙上摺出四次方根的點，難度就更高了；難道沒有簡單一點的方法嗎？

因為推廣摺紙活動之便，筆者近年來成立了「藝數摺學」的FB公開社團，也因此結交了不少有想法的老師，願意分享其想法至社團。去年底筆者在社團分享了由張惟淳老師發表了底下的正方形切割方式（如圖三），讓讀者們可以使用14×14的正方形方格紙，輕易裁切正方形為正三角形，且誤差值不到1%後（如圖四，引自張惟淳老師臉書），引起不少讀者的迴響。簡單說明製作方式如下：

1.取14×14的方格紙，取左方由上往下數8格A點與右方由上往下數6格兩點B點；

2.將A點與上方中點C連線，取A、C中點D（根據中點連線性質，此時D點會位於由左往右數3.5格，以及由上往下數四格的位置），設下方中點為E；

3.連接D、E與D、B，將方格紙分別依(AC) ̅、(DB) ̅與(DE) ̅作切割，即可完成重拼三角形所需的四塊多邊形。

圖三


圖四

 四、簡化製作方式

然而因為一般色紙多為15公分，為了更符合教學上的需求，接著在社團裏由張漢權老師調整張惟淳老師的設計，發表了一則「一張色紙挑戰Haberdasher's Problem」的影片（2020），提及了以底下方式進行正方形切割後拼組為正三角形的製作方式如下圖五：

1.取15公分正方形色紙，摺出上下兩邊中點連線；

2.左下方取6.5公分，右下方取8.5公分點，連接A、B兩點；

3.摺出A、B兩點的對稱軸（中垂線）得到中點M；

4.連接M、E與M、F兩直線，沿將正方形剪開，即可重拼如圖六。

這種摺剪方式又減少了需要使用方格式作切割的限制性，更適合用於課堂操作；我們用geogebra繪製相關圖形，發現完成的三角形邊長雖然不是完全相等，不過誤差在我們可以接受的範圍內（實際測量角度、邊長與面積誤差值約為1%），只是似乎還有一點不是很滿意的地方，也就是要怎麼在正方形色紙上直接取出上面所提的6/14或這裏的6.5公分，是否可以不用工具完成呢？


圖五


圖六

 五、摺法再簡化與原理探索

因為我們希望的教學方式是可以不用直尺進行測量，所以是否可以摺紙的方式，直接在15公分的色紙上取出邊長的4/7或是6.5公分呢？於是在筆者搜尋之前在線上與幾位老師討論過的摺法，參考了之前於社團中一起共備「摺紙學數學」中第五章「來摺紙風車」的筆記內容，將兩種方法再作簡化如下：

1.取15公分正方形色紙，摺出上下兩邊A、B中點連線；

2.分別左下方與左上方邊長的1/8處C、D兩點；

3.將C點摺至D點，此時摺痕的兩端點為E、F如圖七；

4.連A、E取中點G，接著連G、B與G、F，則可切割原正方形如圖八，也可重拼如上圖六的結果。

圖七


圖八

其實此種方法與之前介紹張惟淳老師的切割方式是完全相同的，最大的差別是我們直接用色紙摺出來，不需要藉由14×14的方格紙了。然而比較有趣的是，為什麼上面的步驟3完成後，就可以得到左邊長4/7與右邊長3/7的分割點呢？

這個問題我們要從底下幾個概念談起，為了方便討論，這裏我們不妨設色紙的邊長為1，請參考圖八，並將C、E兩點連線：

 六、延伸結論與摺法再調整

要說明這個結論，首先我們得先確認底下的這個命題：通過正方形中心點任意直線均可以將原正方形平分為兩全等多邊形，若，則本題圖七中的梯形FEHI與EFJK兩梯形是全等的（可藉由中心點作AB的垂線，得到兩全等三角形證明之）。所以我們只要說明摺痕必通過的中點即可。


圖九


圖十


既然我們將C摺至D點的動作必通過色紙的中心點，於是我們可以再簡化原來的摺法如圖十，其說明方式不妨可由讀者自行再作推敲：

1.取15公分正方形色紙，摺出上下兩邊A、B中點連線；

2.分別取中點C與左下方邊長的1/8處D點；

3.將D點摺至邊長左方E點，使摺痕通過C點後還原，此時摺痕的兩端點為F、G，則F、G兩點即為我們所需的3/7與4/7等分點；

4.接著再依圖八的連線切割方式，即可剪下重拼完成正三角形

 七、結語與進階思考內容

本文中提及Haberdasher's問題的由來與切割方式，接著討論了四種不盡相同的正方形切割重拼為正三角形的組法，並比較不同切割方式的差異性，甚是有趣，而網路上針對這個問題的討論頗多，甚至還有將任意三角形分割為矩形或平行四邊形的操作模式（https://bluelove1968.pixnet.net/blog/post/222281566）。建議看過本文後，針對內容有興趣實作的朋友，若您的對象是小學低年級，不妨可考慮以方格紙方式作切割與拼組即可；若是中、高年級以上，則可以考慮以色紙測量後剪裁；若是中學以上的朋友，則可直接用最後兩種方式作摺製與切割，並比較兩種方式的差異性，也可討論到已知條件與待證結果的推導過程；此外上海常文武老師也曾指導以摺紙方式實作正方形切割正三角形的精確解，或許日後有機會再與各位讀者分享其實作方式。最後，我們接著再將此命題作延伸，還可以進一步討論以下的命題：

如下圖十一，若過正方形色紙ABCD中心點Ｏ摺出任意摺痕，且與各邊分別交於G、H、I點，則所產生的直角三角形△EGC≅△HGA≅△HID≅△FIB，請各位讀者不妨想想如何證明？還有哪些可以延伸再應用的部份呢？


圖十一