壹、前言

筆者於國小任教多年，常聽到不少現場老師為了讓學生有時間進行大量的計算練習，在課堂上的教學不僅省略「讓學生畫圖」的機會，也很少「讓學生說」，雖然學生同樣能夠考高分，但筆者認為這樣的教學充其量只能算是教給學生程序性知識的操作，並非教給學生概念性知識的理解，長期下來，學生很容易養成「速成且不求甚解」的學習態度。

此外，也有不少同事們曾詢問過筆者：「『分數除法』這個單元，不是只要知道『將除數顛倒後再與被除數相乘，例如：』的公式計算就可以了，為什麼還需要安排到5節課的時間呢？」、「『分數除法』可以怎麼教，學生才是真正的理解，而不只是背公式而已呢？」…引發筆者產生探究「分數除法」教學實踐歷程，以找出上述問題答案的想法。

分數，在國小數學課程中佔了極大的比例與重要性，筆者長期擔任高年級導師，觀察到在所有「分數」單元的教學中，「分數除法」最具難度，其中又以「分數除以分數」的學習對高年級學生來說更是公認最不好理解的概念之一，筆者深信教「分數除法」絕對不只是為了教「將除數顛倒後再與被除數相乘」的程序性知識而已，否則根本無須安排在六年級才教。

當代數學教育理念強調的是「概念性知識的理解」，近年來一直都有相關的文獻指出，能夠連結程序和概念性的想法的問題比程序本身的有效性更重要(Hiebert & Carpenter，1992)。英國數學教育理論學家Skemp在他著名論文<關係性瞭解與工具性瞭解>中提到，「關係性瞭解」指的是理解解題方式之原因與脈絡以進行解題，「工具性瞭解」則是不懂解題方式之原因與脈絡、單純用背誦的公式進行解題。在關係性瞭解下學到的是，較有數學感的關係性數學，工具性瞭解學習到的是，無數學感的工具性數學(Skemp，1976)。(本文筆者將「概念性知識的理解」等同於Skemp的「關係性瞭解」、「程序性知識的理解」等同於Skemp的「工具性瞭解」)。李源順(2018)提出「數學感理論」，強調從「讓學生說」的起動機制，結合鼓勵學生「舉例、簡化、畫圖、問為什麼、讓學生回想」等五個核心教學策略，來營造學生的數學感。

為了瞭解學生「分數除法」教學實踐歷程，本文特地以最具難度的「分數除以分數」教學活動為例，結合數學感理論的「讓學生說」以及「讓學生畫圖」、「讓學生舉例」的教學策略，呈現12年國教素養導向的數學課室實踐樣貌，藉以作為12年國教數學素養導向教學之參考。

 貳、相關文獻

一、分數除法概念

分數起源於分割活動，用來解決不滿一個單位量的量的數值問題(呂玉琴，1991)，也是等分割一物件活動的紀錄與結果(甯自強，1993)。解分數問題時，無論是處理部分／全部意義，子集／集合意義，比的意義的分數問題或將分數視為數線上的一個點的值，最重要的一件事就是確認單位量(呂玉琴, 1996)。因此，指認單位量是解分數問題中一個極重要的關鍵。

「乘除法」是「單位量轉換」活動，其中「乘法」是把高階單位表示的量轉化成低階單位表示的量的活動，而「包含除（quotitive/ measurement division）」則顛倒；至於「等分除（partitive division）」則是新高階單位量未知的單位量轉換活動（甯自強, 1993）。而相對於乘法問題，「包含除」是解決"單位數未知"的問題，「等分除」是解決"單位量未知"的問題（蔣治邦、謝堅、陳竹村、吳淑娟和林昭珍，2000）。

一般而言，對國小學童來說，在整數除法問題的情境中，「等分除」和「包含除」的類型都很常見，但是若將其除法運算推廣到非整數的範疇裡，尤其是除數不為整數時，等分除的情境就難以讓學生接受與理解，所以一般而言，學生在處理除數不為整數時，都會比較習慣採用包含除的語意來進行解題。

二、數學感理論

李源順與林福來（1998）擴展NCTM（1989）和Sowder（1992）對數感的定義，定義「數學感(Mathematics Sense)」就是「人們能從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」。李源順(2018)定義「營造數學感( Making Mathematics Sense, MMS)」，就是「在利用表徵進行溝通的脈絡中，學生對所學的數學有概念性的了解，再內化為程序性知識，使程序性知識變得有意義，之後進行解題、連結、推理、以及後設認知的學習，最後達到從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」並提出一個起動機制，和五個核心內涵的教學策略，茲說明如下：

1.一個起動機制：讓學生說。讓學生說出他的困難、他學會的內容。

2.五個核心內涵：

(1)舉例：學生對任何概念、運算、性質，我們都希望學生心中有具體的實例。

(2)簡化：利用簡化數字來了解題意或解答問題。

(3)畫圖：利用畫圖來了解題意或解答問題。

(4)問「為什麼」：讓學生能概念性的了解所學的知識，而不是用背的。

(5)讓學生回想：這個單元的內容和…一樣，只是…不一樣。讓學生有機會把所學的知識進行統整，形成數學感。

 參、教學實踐

由於本文聚焦的重點，主要是在呈現素養導向的國小數學課室樣貌，因此筆者隨機選取了三道數學課本上不同類型的「分數除以分數」題目，並有二點任務要求：1.若進行文字題的布題，必須要是合理的情境脈絡。2.發表解題過程時，必須每一步驟都清楚的說明。

筆者慣於以小組討論的方式進行教學活動(如圖1、圖2)，引發各組學生產生不同的解題表現(如圖3、圖4)。因篇幅關係，本文針對三個例題各舉一個教學片段，詮釋本次教學所展現12年國教素養導向的數學課室實踐樣貌。


圖1.小組討論樣貌一


圖2.小組討論樣貌二


圖3.不同的解題策略樣貌一


圖4.不同的解題策略樣貌二

一、例題一：同分母分數除法(大數÷小數)

請設計一道「」的文字題，再畫圖並說明「」

教學片段一：第四組學習表現（T表示教師、S26表示26號同學），如圖5。

圖5.第四組的解題思維

根據教學片段一，第四組學生能夠先以「8/7 塊蛋糕是 5/7 塊蛋糕的幾倍?」進行擬題，再透過乘法來進行除法的檢驗，表示第四組學生能夠用數學表述日常生活情境中的問題，並透過圖形說明，最後再利用以前曾經學過的乘除法概念來進行檢驗。此充分顯示第四組學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-A2 具備基本的算術操作能力、並能指認基本的形體與相對關係，在日常生活情境中，用數學表述與解決問題」的學習表現。

二、例題二：同分母分數除法(小數÷大數)

請設計一道「」的文字題，再畫圖並說明「」
教學片段二：第三組學習表現（T表示教師、S12表示12號同學），如圖6。

圖6.第三組的解題思維

根據教學片段二，第三組學生能夠以「可是5/12<15/12」主動查覺到例題二是「小數÷大數」與例題一「大數÷小數」有所不同，透過畫圖的方式加以說明，不但可以釐清「除法只能大數除以小數」的迷思外，對於「同分母的分數除法」也具備了概念性知識的理解。此外，當S12(該生數學成績在班上屬中下程度)無法有效回應別組同學S3的提問時，同組S20見狀便主動進行救援，以及S5主動上台說明檢驗的部分。此充分顯示第三組學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-A1 具備喜歡數學、對數學世界好奇、有積極主動的學習態度，並能將數學語言運用於日常生活中」、「數-E-C2樂於與他人合作解決問題並尊重不同的問題解決想法。」的學習表現。

三、例題三：異分母分數除法
請設計一道「4/5÷2/3=?」文字題，畫圖並說明「4/5÷2/3=?」
教學片段三：第二組學習表現（T表示教師、S23表示23號同學），如圖7、圖8。


圖7.S23上台解說


圖8.第二組的解題思維

根據教學片段三，第二組學生提到「『文字題必須要是合理的情境脈絡』，可是4/5 和 2/3都是分數，如果是要平分給2/3個人，或是平分成2/3等份，這樣覺得怪怪的，難道要把人給殺了?」表示學生因為自身的生活經驗，很難接受平分給2/3個人，或是平分成2/3等份，因此當等分除的文字情境無法行得通時，學生就會選擇採用「包含除」的語意情境來進行布題；另外學生又提到「黑色部分是2/3盒，是一大袋的意思，但是這一大袋中右邊的這2小格只有黑色沒有綠色，所以我們要把這2小格補到下面只有綠色的這2小格來，這時候有黑色斜線和綠色斜線的這10小格就是完整的一大袋，也就是2/3盒的意思」，表示他們能夠正確地進行「單位量的轉換」，可見他們很清楚知道，一開始的「1」是「1盒」的意思，而之後的「1」則是指「1大袋」，也就是「2/3盒」的意思；「誰當1倍」是「分數除法」最重要的關鍵概念之一。此充分顯示第二組的學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-A3 能觀察出日常生活問題和數學的關聯，並能嘗試與擬訂解決問題的計畫。在解決問題之後，能轉化數學解答於日常生活的應用。」、「數-E-B1 具備日常語言與數字及算術符號之間的轉換能力，並能熟練操作日常使用之度量衡及時間，認識日常經驗中的幾何形體，並能以符號表示公式」的學習表現。

而在後續與社群夥伴共同議課後，夥伴們認為用顛倒相乘的方式來檢驗答案，學生較無感，建議爾後若再進行此教學活動，教學者可採用鼓勵口吻提問：「如何檢驗你們小組計算的答案是正確的呢?檢驗的方法越多種越好…」，不僅可以刺激學生產生更多元的想法，或許還可以讓學生的數學學習更有感。

 肆、結論

根據上述分析，筆者認為本次教學能夠培養學生養成「數-E-A1」、「數-E-A2」、「數-E-A3」、「數-E-B1」、「數-E-C2」的12年國教數學領域核心素養。

從上述三組學生的學習表現，筆者發現若以等分除的語意進行情境布題，學生是不容易理解與接受的，因為學生的生活經驗，很難接受平分給2/3個人，或是平分成2/3等份，因此當等分除的文字情境無法行得通時，學生就會自動選擇採用「包含除」的語意情境來進行布題，此時的教學就必須要留意學生是否能夠清楚的將除數當作整體量1，也就是說，學生必須從原先的1盒餅乾當作整體量1，轉換成把2/3盒餅乾當作整體量1，這是本單元進行教學時最需留意的地方。

此次「分數除以分數」概念的教學活動，能夠引導學生先透過舉例，啟動學生的學習需求，用有"量"的方式配合圖形說明(如例題一)，再讓量的概念抽象化為數的概念(如例題二), )，最後再到量的概念(如例題三)，是引導學生產生有感的數學學習。並結合數學感理論的「讓學生說」以及「讓學生畫圖」、「讓學生舉例」的教學策略，可培養學生產生12年國教數學領域核心素養的學習表現。