壹、前言

12年國教數學領綱指出，學生應在小學階段確實掌握分數與小數的四則計算（教育部，2018），並將小數相關課程安排在中、高年級分階段學習，可見小數的學習對國小學生的重要性。小數的概念起源於測量和分數的「部分-全體關係」，其記數系統又是從整數的十進位制擴充，在國小教材中，小數的學習安排在整數、分數之後，符合數學概念發展的脈絡性(劉曼麗，2006)。林福來、黃敏晃、呂玉琴(1996)並提到數學概念的啟蒙學習，需要銜接學生在正式學習此概念之前所具有的先備知識。

小數教材內容可分成「小數的認識」和「小數的計算/應用」兩大部分。劉曼麗（2002）指出，學童學習小數時所具備的整數、分數經驗，對學生有所助益，例如小數的位值關係是由整數知識類推、小數的意義是由分數概念了解；但是，如果學生小數概念不夠清楚，就極易產生整數法則（小數點後數字越多其值越大）、或分數法則（小數點後數字越多其值越小）等迷思概念。

其實小學生在日常生活中，使用小數的機會遠大於分數。例如手機、冷氣機都是用小數表示時間或溫度。筆者認為在教學時，若能從生活情境中引入小數，讓學生發現並認識小數，且針對學生可能的迷思概念，進行課堂操作、發表、討論，將可增進學生於小數概念的理解。

12年國教數學領綱提到「數學課程的設計，應提供每位學生『有感』的學習機會」。李源順(2018)提出「數學感理論」，強調從「讓學生說」的起動機制，結合鼓勵學生「舉例、簡化、畫圖、問為什麼、讓學生回想」等五個核心教學策略，來營造學生的數學感，此想法與12年國教數學領綱之精神不謀而合。

本文以筆者所帶領的數學教師專業社群共同設計的國小三年級「小數」教學活動為例，進行同案異教，從真實生活情境中引入小數，結合數學感理論的教學內涵，呈現12年國教素養導向的數學課室實踐樣貌，藉以作為12年國教素養導向的數學教學之參考。

 貳、核心素養與數學感理論內涵的簡介

一、核心素養
素養，同時涵蓋competence及literacy的概念(蔡清田，2014)，是指一個人於習得知識（knowledge）、能力（ability）與態度（attitude），而能積極地回應個人或社會生活需求的綜合狀態，素養中擇其關鍵的、必要的、重要的，乃為核心素養。核心素養是十二年國教課綱的發展關鍵，歸結其重點如下(教育部，2014)：

1.把知識、技能、態度整合在一起。強調學習是完整的，不應只偏廢在知識上面。

2.強調情境化、脈絡化的學習。真正的理解，得把學習內容和過程與經驗、事件、情境、脈絡做適切結合，意義才會在其中彰顯出來。

3.強調學習歷程、策略及方法。課程規劃及教學設計須把學習內容與探究歷程結合在一起，以陶養學生自我終身學習的能力。

4.強調提供實踐力行表現的空間。讓學生可以整合所學，能遷移所學或是實際應用在生活裡，並可對其所學進行外顯化的思考，而再持續精進。

二、數學感理論
李源順與林福來（1998）擴展NCTM（1989）和Sowder（1992）對數感的定義，定義 「數學感(Mathematics Sense)」就是「人們能從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」。李源順(2018)定義 「營造數學感( Making Mathematics Sense, MMS)」，就是「在利用表徵進行溝通的脈絡中，學生對所學的數學有概念性的了解，再內化為程序性知識，使程序性知識變得有意義，之後進行解題、連結、推理、以及後設認知的學習，最後達到從數學材料中抽取其直觀意義的高層次思維。」，並提出一個啟動機制，和五個核心內涵的教學策略，茲說明如下：

1.一個啟動機制：讓學生說。讓學生說出他的困難、他學會的內容。

2.五個核心內涵：

(1)舉例：學生對任何概念、運算、性質，我們都希望學生心中有具體的實例。

(2)簡化：利用簡化數字來了解題意或解答問題。

(3)畫圖：利用畫圖來了解題意或解答問題。

(4)問「為什麼」：讓學生能概念性的了解所學的知識，而不是用背的。

(5)讓學生回想：這個單元的內容和…一樣，只是…不一樣。讓學生有機會把所學的知識進行統整，形成數學感。

 參、教材設計與教學實踐

一、教材設計

（一）教材分析
筆者首先針對目前各校所用三個版本的三年級小數單元教材之前兩節教學活動進行分析。

1.康軒版
一開始以「95無鉛汽油每公升31.5元，下星期調漲0.4元，油價變成多少元呢？」問題，企圖連結學生生活情境，引發學生思考曾看過小數數字的意義。接著透過「把一個蛋糕平分成10 份，其中的3 份是(3/10)個蛋糕。」喚起學生分數學習的舊經驗，再以「一張色紙平分成 10 份，其中的一份是多少張色紙？」的答案宣告1/10＝0.1。然後以「像0.1、0.2、0.3、……這樣的數，叫作小數，小數中的黑點稱為小數點。」宣告何謂小數。接著再以「10個0.1條橘色積木合起來是幾條橘色積木？」、「11個0.1條合起來是1條又0.1條，記作1.1條。1.1 讀作一點一。」的內容告知學生「10個0.1條=1條」，以及小數的讀法。

2.翰林版
一開始以「這枝筆長14公分5毫米，也可以說是長14.5公分。」連結學生先前所學(三下第二單元毫米)，告知學生14公分5毫米=14.5公分，企圖引發學生思考為何14公分5毫米可以寫成14.5公分。接著以「世平將一張色紙平分成10等分。其中的1份是多少張色紙？」問題，宣告1/10 張＝0.1張，0.1讀作「零點一」。再以「10個0.1張是10個1/10張，也就是1張」、「2.6張色紙是幾個1張和幾個0.1張？2.6張色紙是幾個0.1張？」等內容告知學生「10個0.1張=1張」。

3.南一版
一開始以「1公分是幾毫米？24 毫米是幾公分幾毫米？」問題，連結學生先前所學(三下第五單元毫米)，企圖讓學生從 1公分可分成10毫米的舊經驗，爾後能夠接受小數為整數逐漸十等分割的概念。接著透過「將一張正方形色紙平分成10份，其中1份是幾張色紙？」的問題，引導學生透過分數學習的舊經驗回答1/10張，再宣告「1/10張也可以寫成 0.1張，讀作零點一張」。然後再依序引入「2個0.1張讀做零點二張」，「9個0.1張是幾張?」，「10個0.1張是1張」，「11個0.1張讀做一點一張」，「25個0.1張是幾張?」等內容，並告知學生「0.1、0.2、0.9、1.1、2.5 都叫作小數，兩數字中間的小黑點叫作小數點。」。

根據上述，可以發現康軒版是以油價漲跌的情境引入小數教學，但是翰林跟南一兩個版本是以長度(毫米)情境引入小數教學。經筆者檢視三家版本三年級各單元教材後的發現如下：翰林三下第二單元「毫米」，第九單元「一位小數」；南一三上第五單元「毫米」，三下第九單元「小數」；康軒三下第四單元「小數」，三下第六單元「毫米」；亦即只有康軒版是先上小數再引入毫米，其它兩個版本則是先上毫米再引入小數。然而學生是否比較不容易具有油價漲跌的生活經驗，而較無法由此感受到學小數的必要性？

此外，三家版本的教材編排均宣告分數與小數的關係，即1/10＝0.1，接著依序帶入一位小數的數詞順序、位值與化聚、大小比較、加減直式計算教學內容。整體而言，似乎均未能以學生的生活情境切入小數的學習，恐使學生的學習需求感降低，較無法產生有感的學習。

（二）教學活動思考
本次採同案異教的方式進行國小三年級小數教學活動，因此主要是由擔任教學的三位老師(A師、B師、C師)與其他社群夥伴，共同備課形成一份教案，包括教學活動以及所要運用的教學策略，因此大家對應教小數概念的理解是相同的。並透過三位教師對同份教案進行不同的詮釋，以及議課時探討不同班級學生呈現的學習樣貌，藉此提升教師的數學教學專業能力。
12年國教數學領綱課程手冊提及，小數的教學應進行小數的說、讀、聽、寫、做活動，讓學生熟悉小數的意義和符號。而有意義的小數教學，筆者與社群夥伴均認為應強調小數等分的內涵、小數的單位量概念、小數點的功用以及培養學生對小數大小的數感。
就小數計算的教學而言，教師應要強調大小單位間的換算關係及在直式紀錄中小數點定位的意義與理由（劉曼麗，2005）。Hiebert和Wearne（1988）提出小數學習四階段：連結、發展、精緻與熟練、抽象，其中「連結」階段是強調應透過學生已熟悉的表徵（如具體物、圖像、分數符號等），來幫助學生連結小數符號並賦予其意義（引自劉曼麗，2002）。因為本次小數教學為學生第一次接觸小數，因此，三位教學者欲在本單元教學加強連結階段，並適時運用李源順(2018)所提出數學感的教學策略：擬定一個啟動機制，並搭配舉例、簡化數字、畫圖、問為什麼和讓學生回想舊經驗，幫助學生學習小數概念。

大家經過幾次備課討論後，預定的教學策略如下；

1.以「買書套」的生活情境布題，引發學生思考如何買到適合聯絡本大小的書套。(一個啟動機制)

2.透過實際測量聯絡本的長邊，引發如何讀出非整數的長度？企圖讓學生自行發現分數與小數之間的連結。(畫圖、回想…、問為什麼)

3.製造認知衝突情境，澄清小數迷思概念。(舉例、畫圖、問為什麼)

筆者以教學策略1舉例說明共備歷程如下：誠如本文前述內容所言，小學生在日常生活中，使用小數的機會遠大於分數，例如測量體重，但大家認為要從中引入1/10=0.1的概念，就顯得有些突兀。另外也曾思考以故事情境呈現整數、分數與小數的連結，例如「在數學王國裡有整數王國、分數王國和小數王國，而整數王國為了要招募人才，向各國⋯⋯」，但正如B師的教學省思所言：「故事即將成形時，我們回過頭想想，這樣的故事情境或許可以符合教學目標，但似乎有些過於刻意。」，因此最後以可連結學生舊經驗(分數、整數公分的長度測量)的「買書套」問題啟蒙學生於小數概念的學習。

二、教學實踐

（一）以真實生活情境啟動新概念的學習
誠如12年國教數學領綱課程手冊所提及：「小數應用情境應以連續量為主。」、「測量物體長度無法剛好量完的疑問，可以當作學習小數的自然動機。」，加上C師表示：「之前教學時，學生曾拿尺測量銅鑼燒半徑，對於比5公分多但又不到6公分的長度，能說出5公分又2格。」，B師亦表示：「直尺是學生常接觸到的文具，尺上刻度又明顯的將1公分平分成十等分，…..。」。
因此三位老師決定本次教學一開始透過「買適當大小的聯絡本書套」的生活情境(如圖一)啟動學生關於小數的學習，並詢問學生：「現在要去書局買聯絡簿的書套，我不想帶聯絡簿去，所以要在家裡測量簿本那些地方？才能買到合適的書套。」，以及請學生「用文字或圖示說明如何讀出長度有多少公分？」，確實能夠引發學生在此具連續量的生活應用情境下，思考「在測量物體長度無法剛好量完」的情況時，如何更具體表達所測量的長度。


圖一.聯絡本書套樣本

由於篇幅關係，筆者舉例說明B、C班學生的學習表現如下：


圖二.各班學生課堂表現樣貌

由圖二可看出學生皆能夠運用畫圖策略說明答案。顯示大部分學生透過此次教學，呈現了數學領域核心素養之一：「數-E-A2 具備基本的算術操作能力、並能指認基本的形體與相對關係，在日常生活情境中，用數學表述與解決問題。」、「數-E-A3 能觀察出日常生活問題和數學的關聯，並能嘗試與擬訂解決問題的計畫。在解決問題之後，能轉化數學解答於日常生活的應用。」的學習表現。

上述分析顯示本次教學先藉由書套封面的小數數字介紹小數的表徵形式，接著再利用「買適當大小的聯絡本書套」的生活情境，引發學生產生測量簿本長度的需求，進而促進學生思考該如何用小數來表示不到1公分的長度。

（二）以認知衝突釐清舊經驗形成新概念
除上述B、C班學生的學習表現之外，筆者另以A師某一段教學，呈現教師如何透過「問為什麼」的數學感教學策略，製造認知衝突情境，澄清學生的小數迷思概念。

教學片段
A班某組學生呈現答案如圖三。

圖三.A班某組學生的答案

T：請這一組兩位同學說明你們的答案。
S1：30減0.5等於29.5。
T：為什麼你會減0.5？0.5怎麼來的？
S1：因為往前看5格就會0.5。
T：你量的時候發現了什麼才會「往前看5格」？
S2：多出來5格。
T：要怎麼畫？
S2從數線上從29公分的位置再向右畫5個格子(見圖四)

圖四.S2畫圖說明想法

T：為什麼那個位置是29.5公分？
S2：因為一格等於1。
T：如果一格等於1的話，29公分再過去一格應該會變成多少？
S1：30公分?!
T：所以一格等於多少？
（S2將原本寫的1改成0.1。）
T：你怎麼知道一格是0.1？
S1、S2：…….
T：你們在學小數之前先學了什麼？
S1：分數、整數。
S2：因為29公分到30公分中間還有10格。所以一格等於1/10，就是0.1公分。

從上述教學片段可以發現，雖然學生透過教具與操作都可以發現29公分與30公分之間還有十格，但是S2仍會依循整數的舊經驗而認為每多一格就是加1時。此時A師能關注到S2的誤解，因此立刻提問：「如果一格等於1的話，29公分再過去一格應該會變成多少？」，讓學生自己發現如果一格是等於1的話，29公分再多一格就會變成30公分，但是其實30公分是在十格之後，於是自行將一格的大小改為0.1。上述分析顯示A師能適時透過提問製造學生的認知衝突，讓S2自行調適澄清找到正確答案。

接著，可能是安親班已經先學過小數部分內容，所以學生會以小數數字回答答案，但是當A師提問：「你怎麼知道一格是0.1？」時、學生並無法說明理由；此時A師以「你們在學小數之前先學了什麼？」的問題，引導學生注意到「29到30之間還有10格」，以及說出「所以一格等於1/10也就是0.1」，能初步理解單位小數（0.1）與單位分數（1/10）的連結。

上述分析顯示學生能夠在此次小數單元教學的啟蒙過程中，透過教師引導理解小數是整數的十等分割，以及分數與小數之間的關係。且學生在說明解答的過程中，能夠接受A師的引導，不斷地修正自己原先的想法，以更清楚地說明答案。此充分顯示該組學生透過此次教學，展現了數學領域核心素養之一：「數-E-C2樂於與他人合作解決問題，並尊重不同的問題解決想法。」的學習表現。

而在後續與社群夥伴共同議課後，A師表示爾後若再進行此教學活動，可以讓學生從29公分開始，一格一格累加計數，即計數0.1、0.2…..，當學生數完所有格子則提問：「總共有幾格？」，引導自行學生發現從29公分到30公分之間共有10格，亦即讓學生更具體理解十等分割的概念。此外，亦可於教學後提供學生非十等分割的數線，並提問：「這樣一格是多少呢？」，以檢驗診斷學生是否確實瞭解上述概念。

 肆、結論

根據上述分析，筆者認為本次教學能夠培養學生養成「數-E-A2」、「數-E-A3」、「數-E-C2」的12年國教數學領域核心素養。

從上述三個班學生的學習表現，筆者認為三年級小數概念的啟蒙教學，應考量學生真實生活情境，啟動學生的學習需求，並讓學生體驗操作後，引導學生連結分數與小數之間的關係，以及小數為整數之十等分割的意義，方能產生有感的數學學習。

此次教學活動能夠引導學生感受單位小數與單位分數之間的連結，以及具備長度測量的教材，是引出小數初步概念的優質教學設計。加以搭配運用數學感理論所提及的讓學生畫圖以及說明為什麼的教學策略，則可培養學生產生12年國教數學領域核心素養的學習表現。