壹、前言

教師公開教學觀摩的說課、觀課、議課之目的，除了讓大家能更深入的了解學科內涵、學生認知或迷思概念、精進教師教學、提升學生學習成效之外；因為影響教學的因素非常多，不可以盡善盡美，因此還有另一個目的，那就是讓教師了解，在同樣的情形下，還可以如何進行教學，使學生的學習成效變得更好一點；然後培養教師在教學過程中，即時發現教學的問題，即席改變教學的能力，達到更好的教學效果。本文藉由台北市輔導團的一堂公開教學，闡述教師可以如何即席改變教學方法，以達更佳的教與學的成效。

「把1/2條蛋糕，平分給4個人，每人得到多少條蛋糕？」這個問題，若要求學生列出算式，它是分數除以整數的問題，可能需要到四、五年級才能進行教學。但是假如不要求學生列出算式，而是用具體表徵、圖形表徵的具體操作、運思方式，了解它的答案是多少，那麼它只要了解分數基本概念（李源順，2018）的三個重要元素：單位量、平分、部份/全體，三年級學生便可以順利解題。但是教科書在三年級介紹分數時，除了讓學生了解分數的二個單位量 （一條、一份）、平分的正例和反例、以及（一條）全部等分成幾份中的一份是幾分之一條（例如，八份中的一份是1/8條）之外，並沒有出現平分、再平分的三個單位量（例如，一條平分成二份、一份平分成四塊）或者（一條）沒有全部被等分的問題。因此上述的問題對三年級學生的學習而言，是有一定的難度；但是假如學生養成利用分數的三個元素來思考、回答、檢驗問題的習慣（類似後設認知的能力），相信學生是可以順利解題的。

台北市輔導團的公開授課，在後者的角度下，讓剛學過分數基本概念的三年級學生進行一堂有難度的探究教學。

 貳、準備活動

老師使用電子白板進行文字佈題如下。她是以班上真實情境為佈題，進行複習概念的準備活動。

在生活中會把條、份稱做單位，數學是把一、十、百稱為單位。數學教育把一條、一份稱為單位量。

一、文字佈題的重要性
若老師僅以口述佈題，有些學生可能因為記憶力的問題，無法完整了解老師的佈題，因此使用文字佈題，同時口述或者請學生口述問題，可以讓更多學生了解題意。
老師請學生口述問題後，拿出一張紙當做一條蛋糕，請一位學生分分看，再提問每一組分到「多少蛋糕？」老師的教法、提問有其深意，主要留意學生在具體操作紙張時，是否有平分，回答時是否有注意到可以回答「一份」或者「1/2條」蛋糕的二個單位與部份-整體的說法。

二、安置性評量的概念
因為了解分數基本概念的三個元素，是學生回答題、檢驗答案的重要依據。在複習舊概念的過程中，一位有安置性評量概念的老師，會使用恰當的教學方法來評量一個班級已經有多少學生能了解三個重要元素。例如請特定程度的學生回答，了解他是否能完整的說出分數三個元素，然後合理推論有多少學生已經了解分數基本概念；或者請每一位學生寫下他們的答案和理由，藉以了解有多少學生能完整寫出三個重要元素。
假如老師將平分、一份、1/2條分別請不同的學生來回答，因為是不同學生的回答，老師便無法確認有多少學生已經完整的認知三個重要元素。

 參、發展活動

老師的發展活動分為二個，一是主要探究活動，二是檢驗活動。

一、主要探究活動
在主要探究活動時，老師的文字佈題如下，同時請學生把「分法，以及分到幾條蛋糕的意思寫在圖畫紙上」



這個佈題對大部份學生而言，有一定的難度，因此老師以小組討論的方式進行教學。主要原因是它涉及「一條、一份、一塊」的三個單位量問題，以及單位量沒有全部被等分（一條被平分成二份，再把其中一份平分給4人）的問題。學生需要對三個元素有很強的心像，才能用它來解答問題、檢核答案。

老師怕學生對原來的一條沒有心像，還特地每一組準備一張白紙、有顏色的紙和圖畫紙，讓學生能看到原來的一條，具體操作半條（有顏色的紙），也就是老師已經考慮到要對學生的解題過程搭鷹架；同時讓學生寫下得到答案的過程於圖畫紙上，這是看到學生想法的重要步驟。

（一）小組的回答
因為老師發下的有顏色紙條和準備活動時學生看到的1/2條蛋糕一樣大，因此每一組學生都直接拿出有顏色的色紙，用具體操作的方式平分成「4部份」。同時老師也到每一組巡查觀看學生的做法。七組學生的作法和回答如下：


在教學過程中，老師很難快速分辨學生的回答。因此事後的議課，老師可以聚焦於學生的回答，利用三個元素去分析學生的回答，以便具備日後即席利用三個元素去分析學生的回答，以進行彈性調整、即席改變教學的能力。

1.單位量
有關單位量的中文生活用語有豐富的多元性，例如在生活上，對蛋糕而言，我們可能說一條、一盒、一個、一塊、一片、一份；因此在生活上，每個學生的習慣生活用語可能不同，我們很有可能會使用不同的用語來稱呼同樣的蛋糕；也有可能對不同的蛋糕，使用相同的用語，只要說者與聽者當時懂就好。但是在數學上，上面二種溝通方式很容易造成誤解，甚至出現概念上的混淆，例如第六組的「把1個蛋糕分成2個1/2條」，這時候1個到底是一條或者半條？1/2條是圖示的1/4條嗎？這是老師和學生進行第一個元素「單位量」的溝通時，要特別留意的地方。
有關分數的第一個元素，有三個地方是老師和學生要注意到的。在數學上，當老師宣告「一條蛋糕平分成二份」以後，往後所有對話，都應該對同樣大小的物件使用相同的用語，不應該把「一條說成一個」、「一份說成一塊」等用語，因為這樣的溝通比較精準，學生才不會懷疑「一個」和「一條」一不一樣，「一份」和「一塊」有沒有一樣大。這個數學的隱性知識和學生是否能精確的溝通數學概念有極密切的關聯，因此建議老師一定讓所有的學生了解。當然我們在溝通時，會因為我們的習慣用語和佈題不同而難免出現口誤，假如老師和學生有上面的後設認知，他在教學時，便會特別留意自己的用語，隨時調整回來。分析學生的回答發現，把原來的佈題單位量「一條、一份」，使用不同用語的組別有第五、六組。 在數學上，若先前的佈題是「一條蛋糕平分成二份」，後續的分法儘量不要說成「半條（一份）蛋糕平分成四份」；也就是不同的大小的物品應該使用不同的單位量，否則在對話時會變成「一份（半條）蛋糕平分成四份」的問題，就會出現「一份到底是先前者的一份或者是後者的一份？」的語意不清問題。這種數學的隱性知識 （李源順，2018），建議老師也要讓學生清楚的了解。分析發現，仍然使用條、份的小組有第二、五、七組。此外第四組沒有使用單位量的用語來回答，而是使用「切成二半再切一半（一半可能指的是一位學生拿到的量）」的用語。第三組沒有說明再分割的情形。
第一個元素中還有一個重要的問題，那就是不能忘記原來的單位量是多少，也就是不能把半條當做原來的一條。把半條當一條（或者其他學生的用語）的小組有第一、三、六、七組。其中第三組的回答語意和圖示，也存在把半條當做一條的迷思。

2.平分
有關第二個元素，在分數的計數上，是要把每一個部份理想化為一樣大才可以計數，這也就是為什麼異分母分數做加、減時，要先通分成一樣大的部份的原因；因此分數 概念非常強調「平分」。
各組在用語上，只用「分成」、沒有使用「平分」的小組有第四、六組。但是在紙條的切法上每組學生是都有平分。因此這二組，有沒有平分的概念或者只是用語沒有注意到而已，老師可以進一步檢驗。

3.部份/全體
有關第三個元素，部份/全體的概念上，最為特別的是第五組「每人分到一條」，顯示學生沒有部份/全體的概念。其他小組則都是回答1/4條，其中第二、四組雖有注意到是將半條平分，但是沒有注意到全體是被平分成8塊的部份/全體概念，而仍然回答1/4條。第一、三、六、七組，則是因為沒注意到一條的單位量心像所造成的問題（不能說他們沒有部份/全體概念）。

這種隱性知識到國中、高中、大學也會碰到。在同一題目內，不同的未知數要用不同的符號；以前寫的( )+( )=10，變成代數符號時要寫成x+y=10。但是換成二個不同的問題時，可以用同一個符號代表不同的意義，因為二個問題是分開來。因此對不同小組來說，他們可以用不同的用語來表示相同的物件，或者用相同的用語來表示不同的物件。
在整數的單元，教科書會把每一顆蘋果都畫成一樣大，也是理想化成所有相同的物件都一樣大。否則「小明有3顆（小）蘋果，小英有2顆（大）蘋果，問誰比較多？」時，就會出現爭議。

（二）反思 老師從學生的回答發現沒有一組學生能完整認知分數的三個重要元素。因此小組討論完畢，老師請同學上台發表時，依序請第一、七、二組學生上台分享，是一個不錯的方式。因為在具體操作時，第一組沒有使用到一條，第七組有使用一條，但不去理會，第二組有使用一條，也把它另外半條平分，但仍然說每個人分到1/4條。後來老師借由第二組的圖示，讓學生了解因為是把二個半條（一份）都平分成4塊，所以一條被平分成8塊的部份/全體概念，所以每人分到1/8條蛋糕。
假如教學時間足夠或者老師要即席改變教學時，老師應該回到第七組，讓學生發現他們沒有清楚的區分單位量「一條和半條」，同時即使另外半條沒有被平分成4塊，也可以想像成被平分成4塊。再回到第一組，提醒學生應該要有沒有表徵出來的半條心像。相信後面的情形會更好。
假如老師還有教學時間或者老師將來要即席調整教學，也可以去分析每一組出現的問題，甚至讓學生有後設認知的概念，清楚的了解可以利用分數的三個元素去檢驗自己所寫的、所畫的是否對一條來說（甚至用語是否正確）、是否平分、是幾塊（份）中的幾塊（份），再針對自己的答案了解沒有注意到那些元素，如何改進。相信在往後的學習過程中，會有更多的學生能發現自己的問題在那裏，能正確的回答。
在三年級階段，教科書不處理等積異形的問題。分析發現，每一組的分法都是使用全等的分法。至於不同小組的分法則有三種情況，將一邊平分成四部份、將二邊都平分成二部分、從二對角線平分。但因為每一組本身都是全等的圖形，因此老師不去討論不同組的等積異形問題是好的，因為這樣會干擾學生對分數基本概念的了解。
七組學生在圖示時，只有一組寫1/4條，一組沒有圖示，其他組別都寫1/4，但因為每一組的答案都有回答單位「條」，因此它是可以被忽略的。

二、檢驗活動
下表是老師在學生澄清分數基本概念之後，所佈的檢驗活動問題，以及發給每一位學生做的學習單。


從教學的角度，老師的教學是很好的。因為前一個主要探究活動用小組合作以及具體操作的方式進行教學；在檢驗階段，分數概念的難度沒有增加，因此改由用圖形表徵讓個別學生實作，相信學生能更進一步抽象化為圖形表徵。
統計27份回收的學習單，發現有10位學生回答1/6條，1位回答1/3半條 ，10位回答1/3條，1位回答1/7條，5位空白。顯示不到4成的學生能正確回答；仍然有許多的學生沒有清楚的了解分數的三個元素，無法利用這三個重要元素來回答、檢核答案。
因為一堂課的教學時間有限，所以許多學生沒有時間寫下得到答案的過程。從下表有回答過程的學習單發現，學生仍然在分數的迷思概念。

1/3半條的說法，若改成1/3個半條的說法是可以的，因為1/3條可以說成1/3個一條、一條的1/3；但我們比較不會將1/3條說成1/3一條。

 肆、綜合活動與結語

因為一堂課的教學時間所限，老師把綜合活動移到隔天的課程。假如老師有足夠的教學時間，或者想要即席調整教學。當老師發現能正確回答的學生不如自己的預測（100%的學生正確回答是不可能的）時，應再度回到分數的三個重要元素（數學感理論的概念）（李源順，2018），設法讓更多的學生能正確的說出來（數學感理論的一個起動機制—讓學生說）。例如，全班複誦三個重要元素，兩兩一組互相把三個重要元素說給對方聽，每個人寫下這三個重要元素。因為後續的分數加法、減法、乘法、除法（數學感理論的運算）的結果的概念性解釋，都可以利用這三個重要元素來理解。

也建議老師在分數基本概念的教學時，可以用比較理論的方式或者比較口語的方式和學生好好討論，(1). 單位(量)的問題：老師說「一條蛋糕平分成二份」以後，大家「能不能將條、份改成其他單位(量)，為什麼」（數學感理論的第四個核心內涵—問為什麼）的問題。(2). 平分的問題：要注意一條有沒有全部都被平分（數學感理論的正、逆概念）。(3). 部份/全體：一條全部被平分後，是幾份中的幾份？若後續出現類似本堂課的教學時，再進一步和學生討論(4). 後續的單位(量)問題「可不可再用條、份，為什麼」的問題。