最近大家都在流行素養這名詞。究竟何謂素養?根據教育部提升國民素養報告書中指出，數學素養的定義與內涵為：個人的數學能力與態度，使其在學習、生活、與職業生涯的情境脈絡中面臨問題時，能辨識問題與數學的關聯，從而根據數學知識、運用數學技能、並藉由適當工具與資訊，去描述、模擬、解釋與預測各種現象，發揮數學思維方式的特長，做出理性反思與判斷。在筆者看來一個有素養的公民應具備:1、正確及良好的態度；2、思考問題的廣度與深度；3、接受事物的包容度高。素養應是一種在情境脈絡中面臨問題時所具有的反思與判斷能力，有了上述的能力，則無論學習任何一門學問，勢必會得到正向的結果。

在數學課程中，筆者經常會示範一題多解、接受學生各種解題方式、避免否定學生的答案、經常利用生活中的實物做題材、充分利用教具等。數學是門艱深難懂的科目，因此在概念學習上必須多下功夫。以下筆者列舉幾則來說明平常可以利用的數學題材。

 鉛筆工廠&等差數列

筆者N年前的寒假與家人造訪了宜蘭縣的鉛筆製造工廠，該鉛筆工廠是歷史悠久的知名品牌工廠，由於近年來國內觀光業的轉型，很多類似的工廠都改成可供民眾預約參觀的「觀光工廠」。當然，筆者此行也是在事先預約的情況下，方可進入工廠參觀並接受導覽服務，同時工廠也替前來的遊客準備了鉛筆DIY的課程，我也樂的參與其中。

首先鉛筆的製作必須將一條條細長的筆芯依序排列，並以黏膠夾於兩片長方形木板之中，接著就是等其乾燥。工廠設計的乾燥方式採正八邊形的堆疊方式依序將木板堆砌而上，堆疊中的木板空隙可以使之自然風乾，同時正八邊形的堆疊容易(堆疊底座有個正八邊形的木板)，也不至於使堆疊高度過高以利搬運，待自然乾燥後再進行切割。


圖1

等其乾燥後，這些木板將會被送進機器一一切割。剛切下來的形狀為直四角柱，接著再依客戶需求製作成不同柱體，如直圓柱、直八角柱等(圖2)。


圖2

最後放置鉛筆的容器更是讓筆者驚訝不已，工廠為了方便記數鉛筆的數量，做了正三角形的置物架。鉛筆放進去後，會自然沿著正三角形的斜坡順流而下，自然的從第一層1支、第二層2支、第三層3支等的等差數列依序往上堆疊，並且中間不會產生任何空隙或誤差。此置物架設計的容量為1簍，1簍等於12打，也就是12×12＝144支，但是架子上最上面一列為16，而1＋2＋3＋…＋16＝136，還差8支才滿1簍。因此工作人員會將鉛筆一把抓，裝滿簍子後，再放上8支便是1簍的數量了！(圖3)


圖3

此外，工廠還設計更大簍的三角形置物架，號稱可以裝上25簍鉛筆，也就是25×144＝3600支鉛筆。那麼我們可以思考一個問題，這樣的自然數形成的等差數列的和可否剛好為3600？我們可以算算看：

假設，取正數得到，也就是從1開始的自然數之和並不剛好等於3600，因此置物架只能裝到接近3600的數量：，而少掉的30支可以待簍子裝滿後，再放30支便是25簍了！

 大哉問：此為何為倒正三角形？鉛筆簍為何要倒三角形的設計？

圖4

這是筆者在教完學生後向學生問的問題，他們思考後仍然很難回答的出來，充其量只能答出類似因為有斜坡鉛筆會自然落下等概念。因此我進一步的問：那麼簍子設計成矩形可否？此時就有少數人可以回答出來，因為這樣的設計可能簍子中會出現堆疊1或堆疊2或兩者並存的情況，若要人為堆疊出每一排相同的數量則又耗費時間，因此高度及數量的因素不確定皆會影響整個簍子的計數，所以才要用三角形的設計。


圖5

到等差數列，圖6, 圖7是宴會上常使用的酒杯堆疊方式，杯子數量由上而下一次是:1、3、6、10、15，此為二階等差數列(二階等差數列定義為原數列非等差數列，但原數列相鄰兩數的差呈現等差數列者稱之)。1、3、6、10、15相鄰兩數之差為2、3、4、5，二階或高階等差數列很適合在教學之餘作推廣，甚至可以將此數列的和公式化(更高階的思考)。


圖6


圖7

 依樣畫葫蘆

圖8為日本神社常見的祈福摺紙，筆者曾在班級和教師研習場合出此題目考驗大家能否從一張A4紙張剪出此種圖形來，但印象中只有一位教師在現場作出此作品，現在筆者就來揭曉此種作法。


圖8


圖9:將A4紙張對摺(任何矩形紙張都可，暫以A4作代表)


圖10:將紙張摺出24等分，寬4等分可用對摺處理；長6等分可先尺量出等分點再摺出。


圖11:紅線部分用剪刀剪開


圖12:實品圖


圖13:左半邊往左摺出階梯狀圖形


圖14:兩邊呈現階梯狀圖形


圖15:將圖13兩紅色斜線向中心貼合


圖16:圖14之俯視圖，再將紙片往箭頭處(右邊)摺


圖17.將紅線上方之三角形往後摺


圖18.成品圖

其中圖15至圖18也可以用不同摺法完成，此部分留待讀者自行思考，創作。

 牛奶盒的堆疊

下圖為鮮奶盒的疊裝情形，可看出包裝業者匠心獨具。利用五邊形的鑲嵌原理，善用空間的將每奶堆疊起來，中間並無空隙，可說是完美的疊合。讀者可思考，不同的飲料包裝是否也有同樣的巧思(可參考筆者文章:科學研習月刊50卷9期，飲料包的數學)?此外，什麼樣的五邊形可以全等圖形完成鑲嵌?以上都是教學的好題材。


圖19:鮮奶盒包裝


圖20:鮮奶盒包裝側視圖


圖21:鮮奶盒包裝的堆疊


圖22:五邊形的鑲嵌-1


圖23:五邊形的鑲嵌-2

無論在自然界或是設計界，數學元素無所不在。數學之美在於它具備各式各樣的規律，有規律的事物常會引起人們的好奇心及產生美的感覺。筆者列舉數則生活中看到的數學影子與讀者分享，其實集合眾人的創意，除了能產出令人驚豔的作品外，也可從製作者或發明者身上學到相關的概念與精神，從而內化到自己的所學。人的學問，素養，就是這樣不斷增進的。