一、前言

九年一貫數學課綱提到「教師教學裡，引進與主題相關的數學史題材，對學童的學習會有很正面的意義，尤其能協助學童將抽象觀念具體化。」(教育部，2008)。美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics [NCTM])在1989年就指出，要瞭解數學的價值就必須讓學生認知到數學與歷史情境間之互動，與此兩者互動結果對我們文化與生命的影響(NCTM, 1989)。2000年則再次強調在此快速更替的世界中，數學是人類最偉大的文化和智識成就之一，公民應發展對此成就的珍視和理解，包括其美感甚至娛樂面向(NCTM, 2000)。

現今實施的十二年國教數學課綱的基本理念也提及數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感:「適時地在數學教學之中融入適當的數學史內容，可以提升數學教學品質與學生的學習成效。」(教育部，2018)。十二年國民基本教育課程綱要總綱，本於全人教育的精神，以「自發」、「互動」及「共好」為理念，以「成就每一個孩子—適性揚才、終身學習」為願景。為落實前述的理念與目標，課程發展以核心素養做為主軸，它是指一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的知識、能力與態度。數學領域核心素養可以說是一個人為適應現在生活及面對未來挑戰，所應具備的數學知識、能力與態度(李源順，2020)。

在多元文化與國際理解項目上，數學領域核心素養具體內涵在國小階段數-E-C3為具備理解與關心多元文化或語言的數學表徵的素養，並與自己的語言文化比較。國中階段數-J-C3為具備敏察和接納數學發展的全球性歷史與地理背景的素養。高中階段數-S-U-C3為具備欣賞數學觀念或工具跨文化傳承的歷史與地理背景的視野，並了解其促成技術發展或文化差異的範例(教育部，2018)。本文作者將以「畢氏定理」的數學史素材布置及教學實驗，與讀者分享如何運用數學史素材呼應十二年國教核心素養，希望能讓學生的數學學習更加豐富。

 二、畢氏定理相關史料探討

在十二年國教數學領域課綱中，畢氏定理安排於第四學習階段，也就是國中階段，學習表現s-IV-7為「理解畢氏定理與其逆敘述，並能應用於數學解題與日常生活的問題」，至於學習內容S-8-6畢氏定理也提及「畢氏定理（勾股弦定理、商高定理）的意義及其數學史」。畢氏定理是幾何學上一個非常基本且漂亮的定理，歷史上關於畢氏定理的證明非常多，羅密士（Elisha Scott Lommis, 1852-1940）當時所編著的《畢氏定理》一書就列出了三百七十種左右的證法(Maor, 2007/2015）。甚至傳說在中世紀時有一段短暫時間，學生必須提供一個新的、原創的畢氏定理證明，才能獲取數學的專業學位，這也促使學生和老師積極研創新的證明，讓找尋畢氏定理的證法成為一種風氣(林炎全，2013)。在印度、埃及和阿拉伯這些不同的文明中，都曾發現畢氏定理以不同形式出現的紀錄。這些事實顯示了，畢氏定理在人類文明中的重要性與普遍性。

本篇文章所介紹之畢氏定理學習工作單之設計理念就是希望讓學生能認識古代和現代，不同文明的幾種畢氏定理證明，並能對畢氏定理的數種證明方法進行比較，進而了解數學的文化面向，亦可從比較中對證明所涉之方法論有所體會。

也因此，在學習工作單中我們安排了《周髀算經》（三國趙爽注）的證法、伊斯蘭數學家塔比．伊本．庫拉(九世紀)的證法、加菲爾德(美國第二十任總統)的梯形證法、國二下學期適用的歐幾里得《幾何原本》卷一的證法、以及和國三上學期根據相似形性質《幾何原本》卷六的證法，以下的篇幅將就此份數學史學習工作單內容一一加以介紹。

一、《周髀算經》（三國趙爽注）的證法

《周髀算經》原名《周髀》，是中國最古老的天文學著作。書中已經有相當複雜的分數計算，並且引用了勾股定理，有學者認為近年從理解《周髀算經》本文中，就可以梳理出勾股定理的證明(劉鈍，1997)。唐代時將《周髀算經》列入十部算經之一，目前《周髀算經》傳本有趙爽（字君卿）注、甄鸞重述、和李淳風注釋。後世對於書中有關勾股定理的證明，主要得益於趙爽的〈勾股圓方圖說〉，從文中趙爽證明了勾股定理，並且給出勾、股與弦的幾個關係式。「弦圖」是〈勾股圓方圖說〉中用來證明勾股定理的圖形，如圖一所示，這個證法在十二世紀時，也曾由印度的數學家婆什迦邏提出。由面積關係可知，我們可以看出


圖1

二、伊斯蘭數學家塔比．伊本．庫拉(九世紀)的證法

塔比．伊本．庫拉（Thābit ibn Qurra, 約公元826-901）出生於現今土耳其的哈蘭古城，是九世紀繁榮的阿拉伯─伊斯蘭文化的代表人物之一。他是數學家、天文學家、物理學家，也是醫學家、哲學家和翻譯家。在數學和天文學方面取得不少成就，月球上還有以他名字命名的隕石坑。塔比．伊本．庫拉在當時伊斯蘭世界最繁華的城市巴格達從事研究，並得到阿拔斯王朝統治者的贊助。後來，更因其優異的語言能力，進入「智慧宮」參與翻譯工作，翻譯了阿波羅尼斯、阿基米德、歐幾里得和托勒密等人的著作。塔比．伊本．庫拉也曾關注過畢氏定理，下圖（二）描述的是他曾提出的證明。由圖形來看，第一圖的左邊三角形旋轉移到上方；下方的三角形旋轉移到右邊，恰好形成由邊長和的正方形所組成的圖形，故。


圖2

三、加菲爾德(美國第二十任總統)的梯形證法
詹姆斯．加菲爾德（James A. Garfield, 1831-1881）是美國第二十任總統，曾在一所私立文理學院任教，教過希臘語、拉丁語、數學、歷史、哲學和修辭學。除了教學外，也曾當過執業律師，參與過南北戰爭。他在1881年3月就職總統，卻在同年7月因故遭受槍擊，於9月過世。加菲爾德另一項為人所知的是他曾提出畢氏定理的證明，刊登在1876年《新英格蘭教育雜誌》的第3卷第14期，據說是「他在一次和其他國會議員的數學討論中偶然發現」的，如下圖三所示。由面積關係我們也可以知道，

圖3

四、歐幾里得《幾何原本》卷一的證法（八年級下學期適用）
西元前300年左右，在埃及亞歷山卓擔任教師的歐幾里得（Euclid, 約 330–275 BC）奠基於前人的工作，組織過去希臘數學家的成果，並將之延拓，編著成《幾何原本》（Elements），全書分為十三卷，共465個命題。歐幾里得於卷一給出23條名詞定義，並提出5個公理和5個公設，從定義、公理和公設出發，推導出其餘的幾何知識，建構了整個平面幾何的理論。

畢氏定理的證明在第一卷的命題47，以下我們將此證明以圖四–1到圖四–4的一系列圖形表示，以說明正方形 ACDE 的面積等於長方形 AKJG 的面積。同理，若能證明正方形 BCHI 的面積等於長方形 BKJF 的面積，便完成畢氏定理的證明：

正方形 ACDE 的面積+正方形 BCHI 的面積=正方形 ABFG 的面積。


圖4

五、歐幾里得《幾何原本》卷六的證法 （九年級上學期適用）
歐幾里得在《幾何原本》卷六，根據相似形性質，提出畢氏定理更一般性的說法：
在直角三角形中，直角對邊上的圖形是等於包含直角的兩邊上之相似及相似地被描述的圖形。
換言之，直角三角形三邊長所作出的圖形，除了「正方形」，也可以是任何的彼此相似的圖形。
同時，歐幾里得以三角形為例，提供了異於卷一的另一個證明。據史家研究，這個證明有可能是《幾何原本》全書中，唯一由歐幾里得本人提出的證明，其概要如下所示：
如圖五，直角三角形ABC， 。從C點往斜邊AB作垂線交於D。


圖5

 三、教學實驗結果及討論

本份數學史學習工作單曾針對7年級升8年級的國中數理資優生營隊進行試教，由於當時這些學生還沒正式開學進行8年級課程，因此，教師先進行了大約90分鐘的畢氏定理一般教學。接著，進行本學習工作單教學，時間大約一小時。實驗教師進行證明一至三。營隊學生對這三個證明大致都沒有問題，回答喜歡證法一和二的學生各半。喜歡證法一的原因是使用到差的平方公式，因為這使用到課程內要學的公式。喜歡證法二的原因是學生認為什麼都不用寫，只要用看的就能得到結果。喜歡證法三的原因是因為跟老師教的一樣，用到和的平方公式，而且只要寫一半，意即將老師教的圖砍半即得。由於是在數學營進行教學，實驗教師認為此時段較沒有進度壓力，實施起來比較方便。

依據上述經驗，實驗教師在之後的普通班教學前就先準備了四個直角三角形紙板(兩股分別為a、b，且a>b)，以及一塊邊長為(a-b)的小正方形作為教具。實驗教師針對國中八年級學生，以一節課的時間進行學習工作單上證法一到三的教學。

關於證法一的部分，實驗教師準備如上教具協助學生，同時引導學生看學習工作單的圖一。當學生已透過學習單的圖一完成符號式的說明後，由於教師預知學生對於弦圖的文言文證明會有困難，因此直接以白話文解釋說明。

學生對證法二雖然喜歡，但對於什麼都沒有寫的動態證明方式，感到疑慮不安。實驗教師認為不經由提示或示範，事實上學生很難看穿這種方法，於是，實驗教師準備的教具此時再度派上用場。至於證法三就如同先前預期，因為這個方法牽涉到和的平方，學生反應較安心，也能運算。

本畢氏定理課程以讓學生閱讀、填寫學習工作單方式，進行一節課的實驗教學。在教學結束後，學生填寫了學習意見表，於25位學生中，64%的學生覺得「畢氏定理」課程能幫助他們掌握各種畢氏定理的證法，同樣比率的學生覺得覺得「畢氏定理」課程能提升他們學習畢氏定理的動機。84%的學生覺得「畢氏定理」課程能幫助他們了解畢氏定理的原理。68%的學生覺得「畢氏定理」課程能幫助他們了解數學的歷史文化面向。52%的學生覺得「畢氏定理」課程能提升他們解決問題的能力。72%的學生覺得「畢氏定理」課程能提升他們思考與分析的能力。60%的學生覺得「畢氏定理」課程能提升他們主動探究的能力。52%的學生覺得「畢氏定理」課程能提高他們學習數學的興趣。

 四、結論與建議

本文以畢氏定理為例，分享其中可以擷取布置的數學史學習工作單內容，讓學生能體會數學的文化面向及認識數學發展的全球性歷史，希望能呼應數學領域核心素養具體內涵的展現。從目前研究的過程及實作成果，雖然此份數學史學習工作單獲得半數以上學生的正面肯定，持續修改所開發之數學史素材，使能更符合學生需求，更能適用於數學教學，正是作者日後繼續努力的方向。