由於近年來科技與人工智慧的快速發展，改變不僅僅是人們的生活模式，還有職場上需要複雜且創新的技能。為了符合未來社會環境的需求，數學教育學者以減少學校與社會的落差為目標提出因應方針。其中，數學建模即是一個有效的教學模式。此外，整合科學、科技、工程、藝文與數學 (Science, Technology, Engineering, Art and Mathematics, STEAM)或整合科學、科技、工程與數學(STEM)的教學取向也已納入許多國家的課程改革中，成為促進21世紀技能的重要教育目標之一。本文將以STEAM表示STEAM與STEM。

在STEAM整合教育的潮流中，許多學者也紛紛投入STEAM教育的相關研究。例如：STEAM的學習歷程與成果(Kang, 2019; Perignat, & Katz-Buonincontro, 2019)、STEAM技能或素養的評量(Gao, Li, Shen, & Sun, 2020)、STEAM師資培育與教師專業發展(Booher, Nadelson, & Nadelson, 2020; Chai, 2019; Rinke et al., 2016)等。雖然有些研究已表示STEAM整合的教學是有利於提昇學生的數學學習動機與應用能力；但是較少研究探討如何透過STEAM教育促進數學概念發展以及如何透過數學教育來提昇STEAM技能與素養。本文即欲提出除了強調數學是其它理工學科的基礎或工具應用外，還可以採用數學文化的觀點與STEAM其他學科整合。

十二年國教課綱中數學素養的基本理念除了培育學生能使用數學工具外，也強調「數學是一種實用的規律科學，教學宜重視跨領域的統整。」與「數學是一種人文素養，宜培養學生的文化美感。」。前者意指數學教育的目標不僅限於數學領域內的連結，也需兼顧數學與其它領域的整合以應用於現實中。後者則表明數學涉及人文藝術亦是一種人類的活動，不局限於抽象性和驗證性的數學成果。如同Kimberly Elam著作的《設計幾何學》，以幾何觀點預想、察覺或反思設計過程，除了創新設計外也藉以觀察體現自己與作品的真正價值。

以數學文化的價值之觀點反思數學在STEAM教育中的角色時，我們所要關注的不再是數學知識與工具等數學產物，而是數學的發展歷程。因為數學文化即是人類發展數學的歷程所累積與延續而成，數學價值即在累積與延續的創新與應用過程中得以窺見。現象是啟動數學發展的要素之一，而數學思維則是解讀現象並且進一步形成與解決現象中的問題之推手。例如：科學與工程中常遇見的費米問題(Fermi problems)，是有關於數量估算的問題。這類的問題需要在不足的資訊中形成合理的假設並進行估測；有時還需要將原本的大問題分解成若干個或不同層面的問題，先各個估算後再進行整合。一個經典的費米問題是估測芝加哥有多少位鋼琴調琴師，為了解決這個問題，需要先提出若干假設或問題，例如：平均每個家庭的人口數、平均多少家庭擁有一檯鋼琴等，為了更精準的估算也可能調整假設或測量方法(Efthimiou, & Llewellyn, 2007)。而這樣在現象中以數學思維形成與解決問題的歷程也可視為數學建模歷程。

首先，建模中的模式是一個包含被操作的元素(例如：各種植物)、操作規則(例如：依照某些特性將植物分類)及元素或規則間具關係性的系統，此系統可有效的用來描述、解釋或預測被操作的元素之運作方式；而數學模式所包含的被操作元素通常已經不同於原有的物質或狀態，改以具有一般化、特殊化或簡化後的表徵形式呈現原有的物質或狀態(Lesh, & Doerr, 2003)。數學建模歷程是一種透過瞭解、分析和探索現象來形成問題、產生猜想、建立數學模式或發展數學方法解決問題、再透過現實脈絡檢驗與釐清數學解答的有效性或進一步修改數學模式的過程 (Blum, & Leiß , 2007; Lesh, & Doerr, 2003)。也就是說，數學建模的關鍵元素可分為現實域(reality)和數學域 (mathematics)，關鍵的歷程包含在這兩個元素之間的轉變：即將現實域數學化(mathematizing)或將數學域脈絡化(interpretation)；以及在現實域中瞭解、簡化或結構情境問題或模式(形成現實問題)，在數學域中解決數學問題或探討數學模式的性質(提出數學方法)。

以圖一展示數學建模歷程的四種主要狀態與八個主要歷程，主要狀態包含情境問題、數學問題、數學解、情境解，主要歷程包含界定問題、轉化系統、發展策略、分析推測、解讀與詮釋、批判反思、評估修正、調整方向。雖然圖中所呈現的數學建模歷程有一理想上的順序，但是學生實際建模時則可能是跳越或來回的歷程(Lin, & Yang, 2005)。讓學習者在此建模過程中體驗概念化的瞭解、嘗試數學化的資訊處理、詮釋數學模式和現象間的轉化及意義應是數學建模教育的核心目標。


圖1. 數學建模歷程

如此，數學建模歷程提供學生需要在現實中界定問題，依據情境資訊將情境問題轉化成數學問題(轉化系統)，運用數量化、圖像化、函數化、程序化、結構化等數學思維在現實與數學之間搭建橋梁以形成或選用數學模式進行分析或推測，並藉由批判或反思技能檢驗數學解的有效性以及透過情境推理解釋或詮釋數學解的合理性，必要時再參考情境的需求重新評估或修改原始的情境與數學問題，或者是進一步調整或延伸原始的情境與數學問題。

國際著名數學教育研究者也共同指出數學教育應提供學生在真實世界脈絡中發展所需的21世紀技能之學習機會，包含四個主要的學習面向：(1) 察覺現象中哪裡可以應用數學，(2) 將實際問題轉化成數學問題，(3) 解決數學問題，(4) 詮釋與評估結果(Gravemeijer et al., 2017)。這四個面向與數學建模的歷程相互呼應，也突顯學習數學建模的必要性。再者，數學建模歷程包含啟動數學發展的要素之一：現象，並需要以數學思維形成與解決現象中的問題，這樣的特點也正是STEAM整合教育的一種方法：從真實問題出發。因此，本文主張透過數學建模教學應有助於在STEAM教育中體現數學文化的價值。

Bishop（1988）認為數學是具有文化底蘊與價值承載的知識，例如：東方和西方文化對數學不同的價值判斷分別發展重「演算」和重「演繹」的數學知識；而歸納猜想、演繹證明、社群辯證屬於數學知識產生的三階段，各階段的數學文化亦皆涉及價值的判斷 (劉柏宏，2016)。Ernest (2016) 也指出數學文化的價值除了真實性(truth)、理論性(rationalism)、普遍性(universalism)與客觀性(objectivism)之外，物化(objectism)、善化(ethics)、美化(beauty)與純化(purity)也是數學文化的價值。當數學建模以現象作為起點引發情境問題的形成與解決時，這些數學文化的價值更有機會在現實域、數學域與兩者間的轉化中具體實踐。

從解決真實問題出發是STEAM的跨域整合教育的方法之一，當真實問題是一種現象中的情境問題而且可運用或發展數學思維來解決問題時，即可將數學建模作為STEAM教育的一種教學模式。但是，從既有的或STEAM教育研究中，有些研究者發現數學通常不是主角，甚至只將簡單測量或數字計算視為數學的串場(English, 2015; Martin-Paez et al., 2019)。這樣的簡單測量或數字計算不同費米問題，在解決問題時並不需要藉由數學思維先形成假設或子問題的。如何藉由數學建模讓數學文化的價值在STEAM的跨域整合教學中偶爾變身成主角，以擴展學生對數學的知識觀與認識觀呢？

針對哪些情境可製造數學模式的產生或發展，Thompson與Yoon (2007)提出六種不同的情境需求：測量、決策、複製、預測、解釋或操弄變因等，見圖2。在測量建模中，需要先瞭解系統的性質再選擇或發展測量方法的模式；在決策建模中，需要在系統的各種選擇中建立決策的方法模式；在複製建模中，需要建立一個可對應參照原系統的新系統之模式；在預測建模中，需要建立一個可從系統中預測結果的模式；在解釋建模中，需要建立一個可從結果反推系統的模式；在操縱建模中，需要瞭解如何操弄系統中的哪些變因以產生預想的結果。將系統視為聚焦或簡化的現象後，這六種情境也可作為設計數學建模活動以利數學在STEAM整合教學中扮演重要的角色以增強數學文化的價值。


圖2.六種數學建模的情境

針對各種建模需求，提供STEAM的情境範例如下：

1.測量建模：估測地球大小。從這個活動中，學生有機會發展或應用比例、平行、相似等數學概念，並需要從自然現象中形成假設並特殊化為數學模式以進行估算。在總結活動時，可比較歷史上的測量方式，深入瞭解數學在解決真實問題中化繁為簡並以簡馭繁的思維價值。

2.決策建模：評估幾種不同的發電方式，尋找既能減碳又可行的最佳組合。從這個活動中，學生有機會透過蒐集與分析資料發展或應用平均、變異、隨機與期望值等統計概念，並需要從各種發電方式中形成有關成本、污染與風險等相關假設並量化為數學模式以進行模擬評估。在總結活動時，可比較臺灣能源政策的演變，深入瞭解數學在決策過程中的理性思辯價值。

3.複製建模：製作地球的平面地圖。從這個活動中，學生有機會發展或應用球面上的直線與距離、非線性變換、球面投影等數學概念，並需要在真實與複製的系統中形成可對應的關係假設並抽象化為數學模式以進行模擬。在總結活動時，可比較不同的投影方式，深入瞭解數學在協調現實與理想中的變通與創造價值。或是近來自動駕駛的碰撞探測器之研發，即模擬蝗蟲的神經元反應。

4.預測建模：以既有已發生的新冠肺炎之相關數據，預測各國未來的個案數與致死率。從這個活動中，學生有機會發展或應用不同的統計模式，並需要在現象中歸納和個案數與致死率的相關因素再轉化成預測變數，藉由預留的結果變數之數據檢驗、比較與調整模式。在總結活動時，可讓學生探尋應用類似的統計模式解決問題之現象，並從現象中再次經驗界定與釐清問題等數學建模歷程元素，完整體驗數學文化的一般化價值。

5.解釋建模：師大數學教育中心推廣的「數字神蹟」之奠基進教室活動。從這個活動中，學生的好奇心被一個魔術現象所引動，進而想要破解該魔術暗藏的玄機，探究老師如何知道我們心中的數字，數字如何透過冥紙灰呈現出來，以及這樣的方法為什麼是有效的(算術至代數思維)。在總結活動時，可讓學生自製魔術的玄機，調整或延伸既有的數學模式，並改變數字的呈現方式，如此可具體實踐數學文化的創造價值。

6.操縱建模：改善手執滑翔機。從這個活動中，並非從做一個滑翔機開始，而是從比較一些已做好的滑翔機中探討如何以及哪個可以飛最久，並進一步思考從哪些地方改善可以作出飛更久的滑翔機。在這個活動中，學生有機會發展或應用向量、內積與三角比等數學概念。在總結活動時，可讓學生實作自己理論上的改善分析並進行檢測，除了深入瞭解現實與數學的差異，也可具體實踐數學文化的應用價值。

本文主要介紹數學建模歷程，並主張其可作為STEAM整合的教學策略以實踐數學文化的多種價值。並針對六種不同的數學建模情境需求，提供參考活動設計的想法。但是，對於在教學現場落實與檢驗活動對數學文化的知識性與認識性價值仍有待不同領域的教師與教育學者之合作。