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隱含微積分概念的國小「圓面積」教學



文/陳玉珊


 前言

「為何『圓面積』單元要等到六年級才教?」、「教圓面積這個單元，不是只要套圓面積公式計算就可以了，需要安排到6節課的時間嗎?」、「『圓面積』如果要照課本教，光是前面兩個活動，就要花掉我5節課的時間……」、「我覺得動手操作很重要，可是如果真的都讓學生動手操作了，整個單元只安排6節課，根本不夠……」，上述疑惑都是現場老師們曾經問過筆者的問題。

由於「圓」的邊為曲線，不易透過直尺的測量而得到結果，同樣的，圓面積並不像長方形、三角形或平行四邊形面積容易理解。現行教科書在「圓面積」的教學設計，安排了兩個活動，活動一：「非直線邊的平面區域面積」，先是採用平方公分板去覆蓋、點數出葉子形狀的不規則平面面積後，再進一步去估算圓面積大小。活動二：「圓面積公式」，則是透過將圓平分成8等分等份小扇形、16等分等份小扇形、32等分等份小扇形，將這些等分切割後的1/8圓、1/16圓和1/32圓的小扇形分別拼湊成平行四邊形或是長方形，再透過平行四邊形或是長方形的面積公式推導出圓面積公式。

然而，學生要能夠從「點數平方公分板」聯結到「將圓進行等分切割再拼湊」的學習，具有相當難度，因為前者是屬直觀的操作活動，而後者則已牽涉到等積異形的保留概念(譚寧君，1995)。此外，學生還要能夠「將這些小扇形進行有規律的拼湊成平行四邊形或是長方形」，才有能力使用平行四邊形或是長方形的面積公式進行圓面積的推導。因此，若要做到教師手冊所建議3節課內完成兩個活動的要求，則大多數教師無法確實地讓學生透過具體操作理解圓面積公式的由來。

李源順(2018)提到想要真正了解曲線需要有微積分的概念；「逼近」是微積分的重要概念(蔡聰明，1996)；周筱亭、黃敏晃(2006)則表示讓學生體驗「逼近」概念是面積教學的一個重要內涵。

中國的劉徽、西方的阿基米德(Archimedes)都曾用「逼近」的方式來求得圓面積大小(洪萬生，1984)，目前五年級學生在「多邊形」單元中會習得「正多邊形的邊數越多，會越接近圓形」的概念，因此筆者認為即使便在國小尚無法使用積分的方法教導圓面積公式，但或許可以從「正多邊形的邊數越多，會越接近圓形」的概念出發，引導學生於圓面積公式的學習，或許可讓學生對於「圓面積」具有關係性的瞭解(Skemp，1979)。

 數學史上著名的圓面積相關文獻

礙於篇幅限制，筆者列出中西方各一個最著名的圓面積公式的推導方法。

一、劉徽--―割圓術

曹魏有名的數學家劉徽提出「割圓術」(圖1)：「割之彌細，所失彌少。割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣！觚面之外，猶有餘徑，以面乘餘徑，則冪出弧表。若夫觚之細者，與圓合體，則表無餘徑。表無餘徑，則冪不外出矣。以一面乘半徑，觚而裁之，每輒自倍，故以半周乘半徑而為圓冪。」。其中將圓內接正多邊形「割之又割，以至於不可割，則與圓周合體而無所失矣」，無疑是涉及無限概念的一種推論，只要不斷切割下去，圓內接正多邊形最終一定完全與圓周疊合在一起（洪萬生，2004）。

圖1. 劉徽的割圓術

二、阿基米德--窮舉逼近法

阿基米德則是將歐幾里得(Euclid)提出的「逼近」概念作了有效的運用，他發現隨著圓外接多邊形和內接多邊形的邊數增加，多邊形將會越來越接近圓(如圖2)，此方法就是數學史上有名的「窮舉逼近法」(維基百科，2019)。

圖2. 阿基米德的窮舉逼近法

根據上述兩個數學史的例子，不論是中國的割圓術，或是西方的窮舉逼近法，都是用「逼近」的方法來求得圓面積，由此可見，從「逼近」的概念引導學生學習圓面積的教學方式確實可行。

 圓面積教學的重構

筆者參考數學史的例子，企圖以「正多邊形的邊數越多，會越接近圓形」的「逼近」概念引入圓面積公式的學習。教學內容簡介如下：

一、找出圓的性質(0.5節)

教師提問：「請各組拿出已經準備好的圓形圖卡，告訴我，除了已經學過 的圓心、半徑、直徑、圓周長外，還有沒有其它是你想要知道的?」

學生回答：「還有圓面積!」

教師提問：「什麼是圓面積?」

學生回答：「圓面積就是圓的大小!」

二、計算圓面積(1~1.5節)

教師提問：「請問圓面積要怎麼算呢?不套圓面積公式，只能用已經學過的面積公式哦……」

學生的解題策略：
(1)先把圓對摺兩次，找到半徑。
(2)把圓形圖卡對摺了很多次，如圖3。
(3)把每一個小扇形都看作是小三角形，如圖4。
(4)算出小三角形面積，近似於小扇形的面積。
(5)小三角形面積乘以32，就很接近圓面積。

圖3. 將圓形圖卡對摺多次


圖4. 小扇形≒小三角形

三、導出圓面積公式(1節)

學生只將圓進行32等份的切割(因為圓形圖卡是平常的A4影印紙，這種紙有厚度，學生最多只能摺到32等份而已)，切割後的每一個小扇形就會接近小三角形(如圖3、圖4)，而三角形面積又是學生曾經學過的面積公式，若將32個小三角形的面積加總起來就會逼近圓面積，S16：「因為圓已經被我們摺成32等份，我們覺得這時候的這個扇形很像三角形，所以這個扇形的面積可以用三角形面積來代替，然後把它乘以32，就會很接近這個圓的面積了。」。學生的圓面積公式推導過程於圖5：

圖5. ：學生推導圓面積公式的過程

上述結果，顯示從「逼近」的概念引入，可以促進學生在只能利用已學過的面積公式算出圓面積的有限條件下，會主動回想舊經驗，進而導出圓面積公式，筆者認為此時學生習得了12國教數學領域的核心素養―「數-E-A2：具備基本的算術操作能力、並能指認基本的形體與相對關係，在日常生活情境中，用數學表述與解決問題」之內涵。

 結論

Skemp (1979)強調「關係性的瞭解」，是指所有教學活動與題目的鋪陳，以及所要帶給學生的數學概念必須是前後連貫的，而不只是單純的活動操作與回答，避免這樣的學習容易淪於程序性知識的問答。

上述重構圓面積教學的結果可看到：藉由五年級「多邊形」的學習，引導六年級學生連結「逼近」概念，以及已學過的「三角形面積」和「圓面積」的學習，確實能夠讓學生在圓面積的學習更有脈絡性，說明了「圓面積」單元確實較適合安排在六年級才教，而且該單元的學習也不只是套圓面積公式計算答案而已。

 參考文獻

李源順（2018）。數學這樣教: 國小數學感教育。台北：五南。圖書出版股份有限公司。

周筱亭、黃敏晃（主編）（2006）。國小數學教材分析：幾何。新北市，：國立教育研究院籌備處。

洪萬生（1984）。數學史與數學教育。科學月刊，15（5），371-376。

洪萬生(2002)。割圓術始末。數學傳播，3(2)，3-8。取檢自： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_03_2_08/page3.html

洪萬生（2004）。三國 π 裏袖乾坤–劉徽的數學貢獻。科學發展，384期，68-74。

蔡聰明(1996)。圓與π。科學月刊，27(6)。取自： http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_27_06_1/index.html

譚寧君(1995)。面積概念探討。國民教育，35(7、8)，14-19。

維基百科(2019)。阿基米德。取自： https://zh.wikipedia.org/wiki/%E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7。

維基百科(2019) 。皮亞傑認知發展理論。取自：https://zh.wikipedia.org/wiki/認知發展論。

Skemp, R. (1976). Relational understanding and instrumental understanding. Mathematics Teaching, 77, pp.20-26.





陳玉珊
臺北市立大學教育系博士生