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如何從小培養數學創造力




文/溫世展


前言

教育部(2003)在「創造力教育白皮書」中開宗明義提到「廿一世紀是劇變的時代，……，不論是創新思考、批判思考或解決問題之能力，皆是未來世界公民的重要基礎能力。……創造力教育也就成為未來教育工作之推動重點。」台灣施行的十二年國民基本教育課程綱要總綱(2014)，亦於所要培育核心素養三大面向之「自主行動」內涵，強調學習者應能選擇適當學習方式，進行系統思考以解決問題，並具備創造力與行動力。由此可知創造力教育在現今教育的重要性。

歐美國家也同樣重視創造力。例如：歐盟執委會(Commission of the European Communities/CEC, 2005)認為學生必須具備能夠擁抱改變、勇於創新的企業家精神；美國勞動力能力新委員會(New Commission on the Skills of the American Workforce, 2006)認為要讓美國學生未來具有在「全世界移動的競爭力」方法之一是，必須讓學生增加思考的彈性能力。

創造力可以分一般創造力(general creativity)和特定創造力(specific creativity) (Piirto, 1999)。所謂的特定創造力是指在特定領域，例如數學領域展現的創造力。由於數學是科學之母，數學不論在學生的學習或國家的發展中都占有重要的地位，因此數學創造力是一個值得發展的領域。

教育部(2003)除了強調創造力的重要之外，也提到推動創造力教學的困境，其中之一是「創造力教材不夠充足。教師工作負荷過重，無力從事教學創新與行動研究，只能沿用傳統之教材」。因此，培養國小學生數學創造力的教學活動設計與實踐極具重要性。

數學創造力相關理論與研究

Sriraman (2005)針對幼稚園至12年級學生，提出發展數學創造力的五大原理(principle)，如圖1。 

圖1. 發展數學創造力的五大原理

1. 完形原理(Gertalt Principle)：完形原理認為數學創造力的產生有幾個階段，當人們在醞釀（incubation）數學解題方法期間，可能因某些靈感(insight)而發出「Aha！」獲得頓悟(illumiation)。完形原理的啟示是教師應提供挑戰性的問題給學生，並鼓勵學生嘗試挑戰以獲得「Aha！」的經驗。

2. 美學原理(Aesthetic Principle)：主張讓學生欣賞一個複雜數學問題卻有簡單解法的美。

3. 自由市場原理( Free market principle)：數學家發表一個長期未被解出問題的證明時，要接受學術社群的批判。自由市場原理的啟示是教師應該鼓勵學生發表解題策略，允許他們同儕之間能夠互相辯證。

4. 學者原理(Scholarly Principle)：鼓勵學生和老師或其它同學互相討論問題解法、互相質問，鼓勵學生將問題或解題策略一般化，以及提供學生擬題的機會。

5. 不確定原理(Uncertainty Principle)：創造需要讓學生暴露在不確定性跟解決困難問題時的挫敗感之中，而這樣的能力需要教師提供情意的支持(affective support)。

此外，Stillman 等人(2009)提出圖2的模型：

圖2. 創造性數學解題思考模型

圖2模型指出，學生在進行創造性的數學解題活動時會思考:(1)連結(relate)：和以前解過的問題有無關係，是否解過相關的問題。(2)探究(investigate)：深入思考與提問有什麼相關的問題，和該問題相關的資訊。(3)評鑑(evaluate)：評估他們經過探究後的發現。(4)溝通(communicate)：將所得結果和人溝通。(5)創造(create)：創造新的問題，再探索。

Epstein和Phan(2012)則認為有四個關鍵能力會影響學生的創造力表現：

1. 留存(capturing)：能保存所產生的新想法。

2. 挑戰(challenging)：從事困難且具開放性目標的課題，能有效管理面對失敗的壓力。

3.擴展(broadening)：擴充技巧與知識。

4.環境(surrounding)：改變平常所處的環境並找到不常見的動機刺激。

Deal和 Wismer (2010)提出一些進行數學創造力教學的方法：

1.提供開放性的問題，與學生討論並建構不同的解題方法。

2.從常見或答案明顯易見的題目，延伸到討論題目中各因素間的關係或結構的問題。

3.提供學生資料，讓學生練習建構問題。

Silver (1997)認為透過探究導向的數學教學來讓學生解題和擬題，可促進學生的數學創造力，此處的數學創造力包括陶倫斯創造思考測驗(Torrance Tests of Creative Thinking, TTCT)的流暢力、變通力和新奇力(即獨創力)，如表1。
表1. 創造力核心要素中數學解題與學生擬題活動的關係(Silver, 1997)

培養國小學生數學創造力的教材及教學策略

作者以先前培養國小資優生數學創造力教材及教學策略之規畫與實踐為例，具體說明可行的國小學生數學創造力教材與教學策略。

Sriraman　(2005)提出發展數學創造力的五大原理，Stillman 等人(2009)的模型，以及Epstein 和Phan(2012)所提四個會影響學生創造力表現的關鍵能力，可作為設計國小數學創造力教材與教學策略的主要理論依據，分述如下：

一、教材

(一)具挑戰性的問題：設計教學活動時可以提供學生具有挑戰性、不明確性的問題。

(二)擴展學生學習經驗的開放性問題：所提供的開放性問題，要能夠延伸探究學習題目中各個因素間的關係或結構的問題，連結曾經解答過的問題，以增進學生的數學知識。

二、 教學策略

(一)鼓勵學生嘗試接受挑戰：鼓勵學生面對具挑戰性、開放性的困難問題且思考至精疲力竭以獲得“Aha！”的頓悟經驗。

(二)讓學生進行小組討論，發表和溝通彼此的解題過程，深入探究、提問與辯證各組的解題策略。

(三)擬題活動：鼓勵學生針對上課所學概念提出類似的問題，或創造找到新且可探究的問題，並互相交換所擬問題，擴充彼此的技巧與知識。

(四)將問題或解題方法一般化：鼓勵學生針對教材內容中的各個問題進行歸納與分析後，將相同類型的問題一般化；或於解題後，針對不同樣貌但類似的解法進行歸納與分析，將解題策略一般化。

(五)互評：同組成員針對彼此的解題記錄進行互評，小組針對不同組的解題記錄進行互評，擴充彼此的技巧與知識。

(六)適時給予學生情意方面的支持：當學生解一個數學問題解不出來的時候，教師會適時提供情意的支持，協助學生能有效管理面對失敗的壓力。

教學實踐

本次數學創造力課程的教學對象為16位國小五年級資優生，每週上課一次，每次2堂課，共進行10次的教學。教材包括有：「有趣的數陣」、「神奇的五連塊」、「巨人的腳」、「魔幻七巧板」、「豆豆圓舞曲」、「我們不一樣」等等。

因篇幅關係，以下舉「我們不一樣」的學生表現為例，呈現國小學生數學創造力教學的成效。教師布題如下：
各組學生的解題表現如下：



從圖3至圖5可以發現學生具有良好的發散思考能力，每一組都可以找到約10個答案，思考流暢，亦即Silver（1997）所指流暢力的數學創造力表現。其答案涵括「奇/偶數概念」、「分數/質數概念」、「位值概念」、「比較大小」等，思考面向多元。



緊接著下一次的課程，我們請學生將這些編組及內容，以小組討論的方式進行分類，能夠進行許多解法的討論，亦即Silver（1997）所指變通力的數學創造力表現，各組表現如下。



各組發表內容擷取如下。


從圖6至圖8可以發現第三組的分類最具結構性，該組學生根據所有答案的異同進行比較與歸類，類別是以數學內涵為依據，例如：1-1、1-3都和因數有關，並將所有的類別的關係以適當的結構來呈現，具優秀的分類、一般化能力。第一組學生雖然認為他們將答案分成三類，但所謂的「“一樣」”是指有不同的組別提出類似的答案，而不是不同的答案但是具類似數學內涵。如第三組將1-1、1-3分在同類。第二組雖然將答案分成四類，但卻是以四個數字作為分類依據，亦缺乏依數學內涵來分類。

此外，在第三組分享他們的分類策略時，育育（第二組）曾提問「你們為什麼不用樹狀圖或魚骨圖那一類圖形表現出來？」，顯示育育可以很快的將第三組的分類方式和他學過的分類方式（樹狀圖、魚骨圖）相連結，可惜第二組在分類時沒有想到這個方法。以上分析顯示第一、二組學生較不具分類、一般化能力，而將問題或解法一般化是Sriraman（2005）提出發展數學創造力的五大原理的部分內涵。

作者在這次的課程結束後，請學生嘗試自行設計四個數字擬題，並針對自己的擬題盡儘量找出不同的答案，擷取學生擬題表現如下。



上述學生針對其擬定的題目，各提出5至10個答案，茲舉皓皓的擬答如下。


從上述內容可以發現部分學生，能夠於課後擬出與原上課教材不同的題目，並能產出多種答案，亦即Silver　(1997)所指新奇力、流暢力的數學創造力表現。

結論與建議

一、結論

(一)國小數學創造力教學活動的具體內涵

本次數學創造力的教材主要包括開放性問題(Deal與& Wismer，2010)及挑戰性問題(Sriraman，2005)，教法主要根據Sriraman (2005)所提的培養數學創造力的五大原則來設計，具體教法包括鼓勵學生嘗試接受挑戰並給予適時的情意支持，讓資優生進行小組討論、發表等等。

(二)國小數學創造力教材與教學策略的實施成效

本次國小數學創造力的教材與教學策略能增進學生的數學創造力，其學習表現具體說明如下：

1.每一組學生在開放性問題都展現良好的流暢力、變通力和新奇力。

2.學生對不同類型開放性問題的反應並不一致。有些學生擅長沒有固定答案的開放性問題，有些學生則喜歡有固定答案的開放性問題。

3.無論是要求學生於解題後「將開放性問題的答案進行一般化分類」，或者是「擬開放性問題」的教學策略，部份學生均有不錯的表現。

4.教師的情意支持有助於學生繼續思考解決挑戰性問題。

二、建議

(一)由教學實踐結果可知，除了適當的教材之外，教師的教學方法，適時的情意支持等都會影響國小學數學創造力的表現。師資培育機構的職前或在職進修，除了提供適當的教材與教學策略之外，也要培養職前教師或在職教師對資優生情意的敏感度，以及良好的情意支持技巧。

(二)本研究以開放性問題及挑戰性問題來增進國小學生的數學創造力，成效不錯。文獻顯示數學建模問題亦能促進數學創造力的發展(Wessels，2014)，然而國內缺乏國小數學建模的教學活動與教學實驗，未來培養數學創造力的教學實驗除了開放性問題、挑戰性問題之外，亦可考慮納入數學建模問題，以瞭解了解其增進數學創造力的成效。

參考文獻

教育部(2003)。創造力教育白皮書。台北：教育部。

教育部（2014）。十二年國民基本教育課程綱要總綱。臺北：教育部。

Commission of the European Communities. (2005). Recommendation of the European Parliament and of the Council on key competences for lifelong learning. Brussels, BelgiumBE: Author.

Deal, J. L., & Wismer, M. G. (2010). NCTM principles and standards for mathematically talented students. Gifted Child Today, 33(3), 55-65.

Epstein, R., & Phan, V. (2012). Which competencies are most important for creative expression? Creativity Research Journal, 24(2), 278-282.

New Commission on the Skills of the American Workforce. (2006). Tough cChoices or tTough tTimes. Retrieved August 4, 2012 from: http://www.skillscommission.org/wp-content /uploads/2010/05/ToughChoices_EXECSUM.pdf

Piirto, J. (1999). Talented children and adults: Their development and education (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Merrill.

Silver, E. A. (1997). Fostering creativity through instruction rich in mathematical problem solving and problem posing. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 29(3), 75-80.

Sriraman, B.(2005). Are Giftedness and Creativity Synonyms in Mathematics? The journal of Secondary Gifted Education, XVII(1), 20-36.

Stillman, G., Cheung, K., Mason, R., Sheffield, L., Sriraman, B. & Ueno, K. (2009). Challenging Mathematics: Classroom Practices. In Edward J. Barbeau and & Peter J. Taylor. (Eds.), Challenging mMathematics iIn and bBeyond the Classroomclassroom. New ICMI Study study Series series 12. (pp. 243-284). New York, NY: Springer. doi:10.1007/978-0-387-09603-2_8.

Wessels, H. M. (2014). Levels of mathematical creativity in model-eliciting activities. Journal of Mathematical Modelling and Application, 1(9), 22-40.




溫世展
國立臺北教育大學課程與教學傳播科技研究所博士