國中組

本研究即欲探討完整的餘弦定理。首先，透過在平面上利用面積關係證明餘弦定理的方式，推廣至在空間中的餘弦定理，接著猜想在N維中的餘弦定理，並利用數學軟體Geogebra進行數值檢驗。將空間中的餘弦定理結果，推廣至五種正多面體，最後考慮到在N維空間中外接正N維球體是否具有相同或類似的公式。

從1到5的連續正整數中，我們需要至少兩列才能做到任兩數之和不在同一列，分別是1、3、5與2、4；如果題目改成從1到8的連續正整數也要至少兩列，分別是1、2、4、8與3、5、6、7為任兩數之和不在同一列(Bezuszka & Kenney [7], 1983)。因此我們定義如下：在n橫列m直行中，第1直行放入1到n的連續正整數，第2直行放入(n+1)到2n的連續正整數，第3直行放入(2n+1)到3n的連續正整數，依此類推到第m直行放入(nm-n+1)到nm的連續正整數，但任兩個數字之和不在同一橫列，這樣的排列組合是否有技巧可以造的出來呢？ 先從2列3行算到3列5行，再用數學的觀念研究n列任意兩行加法規律，然後使用等差數列的技巧逐步完成6列14行，最後用4列做例子完整呈現造法技巧。

本研究探討自製溫室煙霧模型箱中，觀察不同濃度二氧化碳以及煙霧量與溫度之關係，透過S4A軟體所顯示的電壓值，配合感測元件測得在不同氣體濃度中的輸出電壓，製作動畫式二氧化碳與煙霧警報器進行遠端監控，並結合手機應用程式達成即時監測的目的。透過實驗，我們獲得以下結果： 1. 當二氧化碳濃度升高時，模型箱內的溫度會隨之升高，此時二氧化碳偵測元件(MG811)電壓值則會出現下降情形。 2. 當煙霧濃度增加，煙霧偵測元件的電壓值會上升，且在加溫過程中，其溫度上升較無煙霧更明顯快速。 3. 透過電腦軟體S4A將實驗過程數位化、動畫化與遠距化。 4. 將研究結果連結手機應用程式，透過藍芽傳至手機，使偵測數值以動畫式呈現於手機，並能夠進行遠距即時偵測。

本研究主要是研究將任意一個數字的每個位數數字分別求一次方和、二次方和、三次方和、……，觀察其是否具有特殊的性質。我們得出以下的結論： 一、任意一個數字經過數次求一次方和（即數字和）的動作後，一定會得到「1」、「2」、「3」、…、「9」等9 個數的其中一個數。 二、任意一個數字經過數次求二次方和的動作後，一定會得到「1」或者落到「16→37→58→89→145→42→20→4→16」的循環中。 三、任意一個數字經過數次求三次方和的動作後，一定會得到「1」、「153」、「370」、「371」、「407」或落到「136→244→136」、「1459→991→1459」、「217→352→160→217」、「133→55→250→133」的循環中。 四、四次方和至十二次方和的上界 1.任意數字經過數次求四次方和的上界為22605。 2.任意數字經過數次求五次方和的上界為295246。 3.任意數字經過數次求六次方和的上界為3188710。 4.任意數字經過數次求七次方和的上界為33480911。 5.任意數字經過數次求八次方和的上界為344374024。 6.任意數字經過數次求九次方和的上界為3486784913。 7.任意數字經過數次求十次方和的上界為34867845034。 8.任意數字經過數次求十一次方和的上界為345191657747。 9.任意數字經過數次求十二次方和的上界為3389154441868。 五、m次方和的上界：任意數字的m次方和的上界為m×9m + bm，其中b 為介於1 至9 的整數 。

發光二極體（LED）燈泡已經逐漸普及於日常居家生活中。在賣場上我們可以見到各式各樣的燈泡，如不同瓦數、不同色溫以及不同結構的燈泡等，因此本實驗將探討不同燈泡的差異，以及如何選擇品質較好的燈泡來符合家庭不同環境的照明。本實驗將針對透過對十餘種市售燈泡的散熱性、頻閃及演色性進行實驗分析，歸納出實用的燈泡的選用原則，提出簡易的方法，並透過自製工具，讓一般人可以輕易地選擇所需的燈泡。

經由親自探訪湖山水庫，了解水庫是由南投桶頭攔河堰引水過來，因無直接由河川匯集，故出水處的梅林溪有淤積的可能。再加上水庫周遭樹林砍伐，保土功能變差，進而可能導致水庫自身淤積現象發生。可能的解決方法就是利用異重流排沙。 研究發現： 1、 異重流比重越大，異重流越清楚，捲流也較明顯，有益排沙。 2、 異重流比重越大，壩體坡度越小，異重流越安定；比重越小，反而是坡度越大越穩定。 3、 在湖山水庫底土上新世與更新世頭嵙山層的條件下，以溪沙最適合當異重流的土壤。 4、 水庫水面越高，排沙越不易，因異重流位能變少，且水阻變大之故。 5、 淤積沙土高度，要取決當下水庫水面高度，並不是淤積越高越好排沙。 6、 發現排沙最適溫度為20℃。

在此次的研究中發現到榕果果腔中生長有長花柱雌花、短花柱雌花(癭花)及雄花。而且在 果腔中總共發現了六種雌、雄榕小蜂，其中的 Eupristina verticillata 雌、雄蜂與榕果是互 利共生，其餘五種榕小蜂與榕果是寄生關係，而且Eupristina verticillata 雌、雄蜂在果腔中的數量最多，是生存優勢族群。觀察到榕小蜂會在雌花的子房中產卵，形成蟲癭，因為各種榕小蜂的身長皆「顯著大於」蟲癭子房的長度及寬度，所以榕小蜂必須捲曲著身體， 才能藏身在蟲癭中。並且觀察到雄蜂間為了能與雌蜂交配，會有爭鬥的行為，更是發現了 雌蜂必須靠雄蜂咬破蟲癭，才能離開蟲癭。

通電線圈與永久磁鐵均有NS極，憑此相同磁極的推力可將線圈與磁鐵當成電磁砲。在研究中，我找到一種可以立即得到磁力大小資訊的探索方法――利用推拉力計與量錶測量出線圈內部力量與距離的曲線，得知線圈內部磁力大小的分布。實驗一將永久磁鐵由線圈的單端進入，發現推力與位置關係呈現鐘形，過特定位置後推力降為零。實驗二的永久磁鐵起始放置位置與發射距離關係也印證此結果，放置位置的推力與距離所圍出的面積(代表作功)越大，則發射的距離也越遠。這又引導我增加繞線單位密度，經實驗證實，短線圈確實能產生更大推力。最後在線圈中加入軟磁鐵棒，產生奇特的雙推力高峰現象，也確認能產生更大的推力與距離面積，也就能發射得更遠。

經過數據整理與分析，我們發現：中國南下氣流對北台灣懸浮微粒數值影響明顯，且觀察者較難以藉由溫度及濕度得知懸浮微粒數值高低，而若風向為來自中國東北方位，或風速因氣流由中國吹拂來台而上升，懸浮微粒數值議會受影響而提高。另外，煙流可簡單判斷地面的大氣穩定度狀況，但需要間隔小的時間差。

水熱法合成奈米發光碳點，以檸檬酸與乙二胺為反應物，檸檬酸提供碳、乙二胺提供氮，作為奈米碳點上的缺陷，進行反應的裝置是高壓釜，反應的條件，150℃、2.5小時，產物為黑褐色液體，不需再分離。高壓釜可有效控制合成的產物在奈米的尺寸。綠色雷射光束，進行廷得耳效應，有綠色光徑；照射UV光，會發出藍色的螢光，證明產物確定為奈米發光碳點。藍色螢光的偵測，以數位相機的感光元件為偵測器，電腦軟體DCM顯示當時照片裡RGB的數值，以B值作為測量藍光螢光的強度。奈米碳點與多種金屬離子反應，只與Pb2+發生聚集，藍色螢光強度會減弱，發生淬滅，具有選擇性，此種奈米碳點可以偵測水中的Pb2+，同時，Pb2+濃度增加，會使藍色螢光強度減弱，為濃度淬滅。