典型蒙提霍爾問題（Monty Hall Problem）（李永乐 [1]），又以別稱「三門問題」廣為流傳，是一項源於賽局理論的機率謎題，得名於《Let's Make a Deal》節目主持人。遊戲規則表明，在三扇門後共有一件獎品，參賽者選擇一扇門後，主持人會打開另一扇無獎品門，接著參賽者有權選擇是否換門，此時若選擇換門則勝率將提高到 2/3，這對許多人而言並不直覺，這也正是這個問題的有趣之處。 本篇研究由典型蒙提霍爾問題出發，逐步將結果推廣至七變數組方程式，並進行多種開門規則、非全同機率門，與多回合換門機制、中獎個數機率分布之討論。最終推導出玩家各執行策略及與之對應之期望值和機率函數方程，除強化已知文獻結果之泛用性外，也使典型三門問題具有更大的調整自由度。

本研究中所提到的「真心」即為三角百科中的Kimberling center 𝑋174，Wabash center 為三角百科中的Kimberling center 𝑋364。我們從Wabash center 的作圖法，延伸出真心的概念，並定義了真心三角形。在本研究中，我們對於真心三角形、旁邊三角形、旁心三角形及其內切圓、外接圓進行研究，發現這些三角形有相似關係，其各心間則存在共點、共線、共圓等性質。同時我們也找出了真心的barycentric coordinates，並以此作為基礎，提出真心之幾何作圖法。

任意等角六邊形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹之6邊的延長線，即會得到兩個正三角形Δ𝐼𝐽𝐾、Δ𝐼′𝐽′𝐾′，其中三組對邊以[(𝑎,𝑏,𝑐),(𝑎′,𝑏′,𝑐′)]表示，則三組對邊均相互平行，任兩相鄰邊長的和必等於其對邊長的和(𝑎+𝑏′=𝑎′+𝑏）（𝑏+𝑐′=𝑏′+𝑐）（𝑐+𝑎′=𝑐′+𝑎)，則有以下成果： 1.若已知四邊長度，且其中三邊相鄰，即可決定唯一之等角六邊形。 2.三組對邊都相等或都不相等，才能決定一個等角六邊形。 3.兩組有相同公差的數列，各取連續三個正數為邊長，則可決定唯一的等角六邊形。 4.一組等差數列中，任取6個連續正數(𝑎1,𝑎2,𝑎3,𝑎4,𝑎5,𝑎6)為邊長，可形成兩個相異的等角 六邊形([(𝑎1,𝑎2,𝑎3),( 𝑎4,𝑎5,𝑎6)]、[(𝑎1,𝑎3,𝑎5),( 𝑎2,𝑎4,𝑎6)])。 5.當等角六邊形邊長為完全平方數時，可以求出一些特列。 6.討論等角六邊形的面積與用相同大小正三角內鑲崁的個數。

本研究探討三角形中線段共點的幾何性質，特別是與奈格爾點相關的七線共點現象，這七條直線包括三條特定的作圖線、三條周長平分線、以及內心與重心的連線。研究動機源於對奈格爾點定義及其作圖方法的探究。研究過程中，我們透過Dussau作圖法、三角形性質及解析幾何等方法，從已知條件推導出相關的幾何性質，並進行了驗證。研究發現這三條作圖線分別與三內角平分線平行，可視為內心在位似變換下的映射。本研究亦探討此類作圖法是否可遷移應用至其他三角形特殊點（如內心、重心）。這些發現證明了即使直線的構成方式看似複雜或「殊途」，最終也能「同歸」於同一個點，展現了幾何的奧妙。

滿足如下遞迴關係的數列，我們給出豐富且新穎的結果： 𝑎𝑛𝑎𝑛−3−𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1=𝑘， 它可以轉換成四階線性遞迴式，研究過它的科展作品皆使用特徵方程，我們則從遞迴關係式去推導，手法更簡潔更得到： 1.它是整數數列的充份條件。 2.當固定𝑛，以𝑘為項次，則形成的數列為多階等差數列。 新的結果有： 1.研究項次推廣的遞迴數列： 𝑎𝑁+𝑅𝑎𝑀−𝑅−𝑎𝑁 𝑎𝑀=𝑘， 它可轉換成若干個線性遞迴數列，我們還發現將前述若干迴數列，統整成用單一個數列表示的方法。 2.探討一般化的數列 𝑎𝑛𝑎𝑛−3−𝑎𝑛−2𝑎𝑛−1=𝑘， 條件設定請看說明書。我們得到一些初步成果。 最後應用本作品的結論，解決某科展作品未解決的問題。