從國立臺灣科學教育館《科學研習期刊》的一道題目中，我們開始研究矩形方格的路徑問題，透過對路徑的分類整理，由簡入繁循序漸進，讓我們有撥雲見日之感。 我們從最少轉折數及其路徑著手，延伸到最多轉折數；從利用樹狀圖討論所有漢米爾頓路徑，到運用螺旋(轉90度)或迴轉策略(轉180度)，透過其轉彎次數與轉折數的關聯，推得各個矩形方格的最多轉折數之路徑，並找出最多轉折數的公式。接著，我們分析矩形方格中有缺一塊的最多轉折數，利用路徑趨勢的轉角處與起終點，找出缺塊位置的最多轉折數與未缺塊的差異。 最後，我們試圖解出所有轉折數及其代表路徑，並整理其路徑間的關聯性，但其繁雜度又更高了，期許未來能一一解開這些問題。

本研究的原題目是在網路上看到證明兩正六邊形頂點連線所形成的長度平方和相等的關係，這份研究將此題推廣到了所有正2n邊形上，而後又推廣到了面積，探討了面積多次方和的關係，最後我們又發現了這些性質在pn邊形上也都成立。 研究中利用了架設坐標系來表示圖形，再利用各種方法簡化算式。文中的證明多用到三角函數的性質以及轉化為複數的表示法以得出結論。 文中最終證明出對於兩個正pn邊形，他們的頂點連線所劃分的區域分組後可形成次方和相等，以及這些連線分組後具有偶數和相等的性質。

本研究以推導Sm(n)=(n∑k=1)km 一般自然數m次方總和的遞迴關係為起點，並進一步將其轉化為巴斯卡三角矩陣中的線性方程組。透過使用消去演算法，發現Sm(n)的多項式係數不論m皆由白努利數列控制。接著證明白努利數bk的重要規律，推廣次方總和公式在非正整數的意義。再用次方總和公式來加總任何解析函數(平行加總泰勒級數)，整理得Euler-Maclaurin 求和公式，然而此無窮級數通常會發散，透過數種技巧估計餘式項上界獲得最佳近似部分和，用以求巴爾賽問題(Basel Problem)的近似解至小數點後18位。

本研究源自2023 IMO Shortlist C1，探討在 m×n 棋盤中以2×2子格進行特定硬幣翻轉，目標為全盤朝上。我們首先證明僅當 m或n為3的倍數時操作才可行，並將規則推廣至任意 k×k 子格，得出需滿足3(k−1)整除m或n的條件。進一步研究斜排與階梯形翻轉，發現僅特定形式的m與n可行，對於更一般的k與盤面結構，目前僅能歸納推論，缺乏嚴謹證明。本研究驗證不同棋盤與翻轉規則的可行性，並提供多種構造解，未來將拓展至高維棋盤與最小操作次數等議題。

本研究以排列組合的矩形表格塗色問題為出發點：「k種顏色，m × n的矩形棋盤方格，將上的每一格塗一個顏色，要求任意相鄰兩格顏色不能相同，共有幾種塗色方法？」首先，從1 × n、2 × n表格開始研究，接著往上延伸至3 × n。面臨複雜度的增加時，我們提出新的分類方式，考量各種情況，推導出遞迴關係式後，再以矩陣對角化的方式推導出3 × n塗色公式的一般式。在研究4 × n表格的塗色公式時，我們提出以「行」為單位的分類法來推導其塗色方法數公式，再以矩陣的形式呈現。後續透過觀察原有矩形表格分類，延伸探討頭尾相接的環形表格，推導出1 × n 和2 × n的環形表格塗色方法數公式。

一個籤筒中有編號為1,2,3,…,𝑛的𝑛的支籤，每抽出一支籤，將其編號寫在紙上，形成一個數列。數列只能向左右兩端添加項，不能從中插入；若無法插入，則操作結束。本研究探討此隨機生成數列的長度期望值的。數列添添加項的向向為為單向向與「單向向與，又添生成原理為為單嚴格遞增減與「的單嚴嚴格遞增減與。過組組計算與「勒展展式，，本研究成證明明： 𝑛趨近無窮大時，向、向向數列的長度為別會趨近𝑒−1「1/2(𝑒2−1)。此外，本研究針對隨機生成數列的單子列與進行延伸探討，發現了向向子列數「Eulerian Number的對應關係，且明明出發現𝑛 籤任意排列時，子列的期望組數為𝑛+1/2的；當𝑛趨近無窮大時，向向子列的長度期望值為2。

本研究以對偶圖的性質，取代以往著重點或邊數量的方法，探討平面圖中漢米爾頓迴圈的存在性。我們設計一套定理，判斷對偶圖對應之原圖是否存在漢米爾頓迴圈，並提出「T 搜索」，有效降低電腦計算的時間複雜度。此外，我們建立多項化簡定理，能在不影響迴圈存在與否的前提下，透過邊、點的替換與收縮，或圖的結構分解來簡化圖形。研究中也討論 Herschel Graph 與 Tutte’s Graph，並提出當圖中出現特定結構時，原圖不具漢米爾頓迴圈的判別條件。最後，成果可用於構造具漢米爾頓迴圈平面圖之對偶圖，並期望數學方法推導出無漢米爾頓迴圈的平面圖，或用電腦窮舉所有無漢米爾頓迴圈平面圖之對偶圖，以便延伸討論。

本研究是將三角形的西姆松線推廣至圓內接N邊形的西姆松線，已知三角形的西姆松線有孟氏定理，利用數學歸納法可證得圓內接N邊形的西姆松線也有孟氏定理；若只考慮外接圓上的一點P對圓內接N邊形各邊所在直線作垂足，則各邊截線段比值的連乘積也會等於1；已知三角形外接圓上兩點𝐏、𝐏′的西姆松線之夾角，會等於𝐏、𝐏′兩點所對的圓周角。利用四點共圓、兩層西姆松線的關係可證得：圓內接N邊形圓上兩點𝐏、𝐏′的西姆松線之夾角，會等於𝐏、𝐏′兩點所對的圓周角的(N-2)倍；已知若兩個三角形的外接圓相同，則外接圓上一點𝐏對應兩者的西姆松線之夾角為定值，跟𝐏的位置無關。利用四點共圓、兩層西姆松線的關係可證得：兩個N邊形的外接圓相同時也成立。

本研究探討給定平面任意三點A,B,O，滿足∠OPB=∠APO的點P軌跡為何？有什麼性質？我們主要運用複數解析求出曲線方程式，再運用其對觀察到的曲線性質進行證明，我們亦在作品中給出一些幾何解釋。之後我們更進一步更改兩角度之間的關係(如成倍數關係、差為定值等)，得到了豐碩的成果。最終還發現此軌跡與其他曲線間的關聯，並說明了背後的幾何本質。

本研究探討在正n邊形及圓內接多邊形構形中，若已知外圍三角形面積，是否可反推原構形的邊長與面積。研究建立一套幾何與代數互相轉換的流程，透過面積比例推導遞迴數列，進而構建高次方程，並提出新符號 𝑇𝑃𝑄 及 𝑈𝑛𝑞𝑝 表示不相鄰乘積和，以簡化代數結構。進一步運用數學歸納 法 與極值邏輯，成功證明：當高次方程 式 具有正實根時，其最大正實根必定對應唯一的 多邊形 限定構形；反之，若多邊形限定構形存在，也可唯一對應於高次方程式之最大正實根。此研究不僅提供幾何反推的系統化解法，也為代數方程的幾何詮釋建立明確模型，具備理論價值與推廣潛力。

一群人熟識彼此身分的朋友圍圓桌而坐，每個人可能是老實人(說實話)，也有可能是騙子(說謊話)，對於老闆的提問「右手邊的是騙子還是老實人」每個人做出回答。本文就每位顧客所答的身分進行分析，然後延伸問題，假設答題者會繼承所答的身分(我們稱為繼承身分)，舉例來說：如果顧客小明的回答是老實人(騙子)，那麼小明的身分在答題後就會變成老實人(騙子)，接著進行第二輪答題、第三輪答題、…，重複進行下去。文中我們解出了只有當顧客人數是2k 時繼承身分才會收斂，並且證明出在第n 次必然收斂到全好人；若顧客人數不是2k 時，則會產生循環。

本研究改編自2015 EGMO P2，探討在𝑛×𝑚的棋盤中放入最多的1×𝑡或𝑡×1的骨牌，並使得每一個𝑡×𝑡還有空間再放入一個骨牌的方法數。原本題目是𝑡=2,𝑛=𝑚為偶數的情況。於是我先從𝑡=2開始研究，推導出(1)𝑛,𝑚皆為偶數、(2)𝑛,𝑚一奇一偶、(3) 𝑛,𝑚皆為奇數的答案。接著再推廣到(4)任意的𝑡且𝑡∣𝑛=𝑚的結果。最後再討論(5)𝑛,𝑚分別為𝑡的倍數、模𝑡餘1的數，或其他 數等不同可能性得出的不同答案。