NO.58-06 2019 DEC | 科學研習期刊目錄 本期專題 數學素養 益智遊戲易位棋中的數學思維 | 李源順 「理財素養」生活中的數學素養 | 溫世展 如何從小培養數學創造力 | 溫世展 統計與資料科學中的數學 | 王啟樺 買房裡的數—貸款的數學 | 鄧家駿 教學現場 有數學感的教與學—以周長和面積為例 | 李源順 數學奠基活動「矩形拼板」在國中數學課堂的實施與回饋 | 鄧家駿 有數學感的教與學：以雞兔同籠為例 | 李源順 隱含微積分概念的國小「圓面積」教學 | 陳玉珊 高中數學科展經驗談 —數學探究的樂趣 | 張宮明 科學新知 我們對「颱風假」應有的認知和省思 | 陳正改 臺灣地震測報的發展 | 蕭乃祺 特約專欄 全等 | 游森棚 日本月刊科學繪本初探：走讀福音館『かがくのとも』50週年紀念展 | 劉淑雯 黃明宏 STEAM課程的發展架構與教學活動設計 | 唐偉成 科普活動報導 一個『再發現』的探究歷程：2019自然科學探究式網路競賽得獎作品科學探究經驗分享 | 黃嘉郁 科學家的秘密基地 | 高瑩珊 科教館GO好玩 遊戲化核能知識卡牌桌遊推廣 | 顏慈瑤 李柏翰 蘇萬生 總召集人的話 中小學的數學教育被高度期望培養學生在日常生活中進行數字和空間思考的能力與信心，使能明辨和解決相關問題。本期特別以「數學素養」為專題。 「本期專題」單元共有五篇文章，〈益智遊戲易位棋中的數學思維〉一文介紹如何利用易位棋教學培養學生的數學解題思維。〈「理財素養」生活中的數學素養〉一文介紹數學與理財素養內涵以及理財情境下的數學素養。〈如何從小培養數學創造力〉一文介紹數學創造力的相關理論與研究、教材與教學策略以及教學實踐。〈統計與資料科學中的數學〉一文從數學角度介紹統計與資料科學背後追隨的人工智慧之夢。〈買房裡的數—貸款的數學〉一文討論向銀行「借錢」買房子後，如何「還錢」最划算。 「教學現場」單元刊登五篇文章，〈有數學感的教與學—以周長和面積為例〉一文利用小四學生學習長方形和正方形的周長與面積單元，解說該如何讓學生學得完整的周長與面積概念。〈數學奠基活動「矩形拼板」在國中數學課堂的實施與回饋〉一文介紹數學奠基活動國中組中的「矩形拼板」桌遊活動。〈有數學感的教與學：以雞兔同籠為例〉一文利用類似雞兔同籠問題，說明嘗試錯誤、有規律嘗試錯誤、邏輯推理、代數解法之間的關聯及重要性。〈隱含微積分概念的國小「圓面積」教學〉一文解說如何藉由小五「多邊形」的學習，引導小六連結「逼近」概念以及先備學習經驗，讓圓面積的學習更有脈絡性。〈高中數學科展經驗談—數學探究的樂趣〉一文分享作者多年來帶領高中生從事專題研究，進而形成科展作品的過程。 「科學新知」單元刊登兩篇文章。〈我們對「颱風假」應有的認知和省思〉一文帶領讀者面對「颱風假」課題，省思應如何看待及抱持何種態度才不致失焦。〈臺灣地震測報的發展〉一文則介紹臺灣在集集地震後在地震測報工作的進展。 「特約專欄」單元刊登三篇文章，〈森棚教官的數學題〉一文拋出有關兩個三角形全等條件的問題。〈日本月刊科學繪本初探：走讀福音館《かがくのとも》50週年紀念展〉一文分享走讀日本福音館《かがくのとも》(科學之友)月刊50周年展後對月刊科學繪本的介紹與推薦。〈STEAM課程的發展架構與教學活動設計〉一文則提出對PBL-STEAM課程發展與教學活動設計的見解。 「科普活動報導」刊登兩篇報導：〈一個「再發現」的探究歷程：2019自然科學探究式網路競賽得獎作品科學探究經驗分享〉透過2019年指導學生參與自然科學探究式網路競賽得獎作品實例，說明進行探究活動的歷程；〈科學家的秘密基地—科學好好玩，一起動手做〉報導國研院善用其強項和方式讓孩童愛上科學的展覽活動。 本期「科教館GO好玩」單元刊登〈遊戲化核能知識卡牌桌遊推廣〉一文，則介紹如何透過有趣的卡牌桌遊，讓民眾甚至年齡更小的學童曉得核災的知識。 總召編輯委員 - 李隆盛 關於本刊 出版單位：國立臺灣科學教育館 發行人：陳雪玉 總召集人：李隆盛 編輯委員： 物理科吳仲卿/陳耀榮/李柏翰/盧玉玲 | 化學科古建國/許良榮/王伯昌/林如章/周金城 | 生物科王美芬/蕭世輝/陳建志/郭淑妙 | 地球科學許民陽/王郁軒/李文禮 科技科張玉山/汪殿杰/林育沖/趙珩宇 | 數學科李源順/鄧家駿/溫世展/張宮明 | 跨領域學科李名揚/連信仲 | 特約專欄 游森棚/黃琴扉/劉淑雯 策劃：曾聰邦 主編：錢康偉 本月專題特約主編：李源順 編輯：吳郡怡 網頁設計編輯：蔡婉懿/曾怡/施曉恬 投稿規範請來信詢問：article@mail.ntsec.gov.tw

國中數學第三冊1-4 的主題是「商高定理」，或稱「畢氏定理」。三百多年前法國數學家費馬在研究「畢氏定理」的方程式(x1)^2+(x2)^2=y^2後，把它的「次數」（原是二次）提高到三次、四次??直到(x1)^n + (x2)^n = y^n （ n ? 3），並且猜想說這個方程式在任何情況下都無自然數解。他的猜想在1994 年被證明正確。我聯想到：如果不是把「畢氏定理」的方程式的「次數」提高，而是把它的「元數」增加到三元、四元??直到(x1)^2 + (x2)^2+…+(xt)^2 = y^2 （ t ? 3）。就如同把費馬的方程式放在哈哈鏡前一樣，我把一個「高次」的方程轉變為一個「多元」的、較「長」的方程式。在這種情形下，我想研究下列的不定方程：(x1)^2 + (x2)^2+…+(xt)^2 = ny^2 在 t 和n 設任意自然數(但t ? 3)時，有無自然數解(x1,x2,…xt,y)以及若有解，解的形式會是什麼。我研究的過程分五階段。第一階段－進入題目：先探討一下n =1，t = 3、t = 4的情形，先熟悉問題。第二階段－證明一般化：嘗試將第一階段的結果推廣一般化到任意t ? 3的情形。第三階段－主題推展：嘗試將第二階段的結果再推展到n 是完全平方數k^2，以及n = 2、n = 3的情形。第四階段－推展一般化：嘗試將第三階段的結果接著推展到任意n 和t ? 3的情形。我所設計的證明方法只能涵蓋t ? 4，或是t = 3，但n 可以分為不超過三個數的平方和的情況。第五階段－解決特例：當t = 3，且n 無法分為不超過三個自然數的平方和的情形（是4p(8q + 7)( p?Z0 、q?N) 的形式）。因為我的研究是屬於建設性證明，所以我還研究了求解的方法，並撰寫電腦程式求解，驗證我的研究結果。研究結果大致如下：(1) t ? 4時，或是t=3，但n不為4p(8q + 7)( p?Z0 、q?N) 的形式時，原方程式有無限多組自然數解，且可依遞迴公式求解。(2)t=3時，且n為4p(8q + 7) 的形式時，原方程式無自然數解。這篇研究的應用主要是在立體及高次的抽象幾何。原方程式在n=1、t=3的時候，(x1)^2 + (x2)^2+(x3)^2 = y^2其x1,x2,x3,y依序正好為一長方體的三邊長及對角邊長。根據這篇研究的結果，可知：只要找一個不小於 3 的自然數，便可找出一個以此為邊長，其他邊長和對角線長也為自然數的長方體。如果再將此結果推展至更高次的話，則在t 次空間中，只要找一個不小於3 的自然數，便可找出一個以此為邊長，其他邊長和其對角線長也為自然數的t 次長方體。至於這篇研究的未來推展，則可將原方程式的各指數提高。

(一)物理學上探討簡諧運動時，最常見的問題是質量m的物體繫於一端固定的彈簧的另一端，物體受F=-kx的恢復力作用時，簡諧運動週期是多少？高中學生第一個想到的答案是T=2π√m(1)/k。大一所唸的 Hal-lidy 著之 Physics (1964 年版) (2) 316 頁第30題作業：“質量 m8的彈簧掛上質量 m 的物體時簡諧運動之週期T=2π√m+m8/3/k試證之"。本題作業於1974年版(3)已刪除，全國第廿二屆科展曾有證明本公式 的作品參展(4)。(二)作者於全國第十八屆科展參展 作品中(5)一條用來測表面張力的自製彈簧，力常數相當小，水平放置時有一條用來測表面張力的 13.5公分，鉛直吊起，由於本身重量作用，長度達32.45公分，用它測振動週期時，可振動 100 次仍未停止（阻尼 Damping 甚小），當不掛任何物體時測得的週期不但 T=2π√m/k無法解釋，且和 T = 2π√m+m8/3/k 所求得的結果亦相去甚遠，引起作者進一步研究的興趣。

為探索蝴蝶為何在太陽光的高溫持續照射下仍可以快速散熱,且優美自在的飛翔, 所以本研究想進一步瞭解蝴蝶翅膀的構造, 及其散熱機制之後，仿照此一機制其中的蝴蝶鱗片的材質- 細微幾丁質, 達到材料仿生的目的。本研究將蝴蝶鱗片, 100%幾丁質, 細末甲殼素(92%幾丁質), 奈米碳,石墨烯,及散熱膏,在燈泡上加熱, 以尋求散熱最佳組合; 也將之應用在熱水加入玻璃杯, 鋼杯, 鋁合金等容器之外殼, 更將甲殼素與散熱膏混合物, 填補在電腦CPU與熱管縫隙中, 實驗結果得證, 果然細末幾丁質(本實驗稱甲殼素), 果然有良好的散熱傳導效果。

On account of the rapid development of human activities, much more fossil fuel is burnt and thus a greater amount of greenhouse gases are emitted to the atmosphere including carbon dioxide (CO2). CO2, is considered as the major cause of the exacerbating global warming. “Geo-engineering”, literally, means the options that would involve large-scale engineering of our environment in order to combat or counteract the effects of changes in our atmosphere. As a carbon neutral CO2 scrubber is proposed to be a large-scale scheme to fix carbon globally through reducing the CO2 emitted to the atmosphere and our ultimate goal is to implement the CO2 scrubber scheme to the whole globe, that is, a large-scale scheme to our environment, it is a project of geo-engineering. The procedures of the project are as the following: (a)Investigating on the absorption of CO2 produced by calcium carbonate (CaCO3), using different basic substances at different temperatures (b)Investigating the absorption of CO2 in car exhaust produced by combustion of petrol in car engine using basic solid (c)Feasibility of using a prototype of CO2 scrubber in exhaust pipe of car (d)Feasibility of fixing carbon by turning CO2 into dry ice and stored in deep water (e)Feasibility of growing plant in used basic solution Results: 1.The CO2 scrubber prototype had an average CO2 removal ability over 50%, which was considered to be efficient. The concentration of CO2 (561ppm) was even lower than that in the ambient air (CO2 612ppm). During the experiment, the prototype was closely attached to the exhaust pipe and did not fall down. Thus, a CO2 scrubber was feasible to be used in the vehicles. Besides, our prototype was more energy efficient than LM2500 PE simple cycle gas turbine (consumed 21MW electricity) though our prototype had a lower CO2 removal efficiency. The cost of our prototype would be much lower than membrane technology as the production cost of the membrane was high. 2.Unlike existing CO2 scrubber prototype installed in open area (with electric fan installed), our CO2 scrubbers installed in the chimneys of power stations and exhaust pipes of cars are carbon neutral as exhaust gas has high kinetic energy and would pass into the scrubber. 3.dry ice would not evolve carbon dioxide gas at high water pressure such as at the bottom of the ocean. 4.Plants grew well in alkaline environment, it was feasible to grow plants in basic solution. Conclusion: CO2 scrubber is a suitable choice in combating the climate change through absorbing the excess carbon dioxide, with the utilization of the carbonates produced in the reaction, it is hoped that the climate change can be relieved using an environmentally-friendly device.

當我們由課本的理論及他人所作的實驗分析，我們知道了重力加速度，但當我們想求取「重力加速度」時，才發現並不是很容易的一件事。這促使我們有無論如何要克服技術上的困難，使每個人都易於操作，並求取更精確數值的決心，因此設計出實驗(C) 之測定法。在約半年前，剛接觸到物理，使用電鈴型計時器，以測量運動物體的運動狀況，我們就想到以此簡單的裝置來求重力加速度，但因電鈴型計時器的不穩定，以及紙帶與計時器或其他的摩擦，使實驗結果與公認值出入甚大（參考後述實驗 A )，若落體在短距離內的運動確為等加速度運動，則任意相鄰兩時距的位移差應相等，結果不甚理想，加以分析紙帶亦稍嫌繁冗，因此為了觀察短距離內的落體運動，是否為等加速度運動，才設計出實驗(B) 予以證實。寶驗(C) 原理簡單，操作容易，且每個有興趣的讀者皆可自己動手製作此裝置，實驗結果已使外力影響達到極限，希望我們提出能引起大家的興趣，並共同追尋科學的新發展。

Azotobacteraceae 為一單棲固氮菌科，包含Azotobacter 與Azomonas 兩菌屬，在農業上可用來改善缺氮的貧瘠土壤。在分離土壤中的Azotobacteraceae 時，發現非單棲固氮菌與單棲固氮菌間可能具有共生的情形。我們利用優勢培養(缺氮)的方法篩選土壤中的Azotobacteraceae，將優勢培養後所生成的菌落稀釋104~106倍後，能有效分離Azotobacter 與Azomonas，然而低於此稀釋倍率則會形成混合菌落，其中可同時發現單棲固氮菌與非單棲固氮菌存在，推測某些非固氮菌在優勢培養過程中可能可從單棲固氮菌獲得氮源，與之共生。此外亦從菌種形態的差異並配合顯微螢光雜合技術(fluorescence in situ hybridization, FISH)、分子遺傳標記(16S-rDNA)等方式，分析土壤中的Azotobacteraceae，探討單棲固氮菌及其他非單棲固氮菌在培養基上的生長情形、比例及親緣關係。The family Azotobacteraceace is group of free-living nitrogen-fixing bacteria that is found in soil. Two genera are within this family: Azotobacter and Azomonas. Agriculturally, it is often used to improve fertility for nitrogen deficient barren lands. We analyze the Azotobacteraceace according to molecular biology and traditional taxonomy. We used an enrichment procedure to culture the bacteria, and diluted it repeatedly. We found it most suitable to dilute it 104~106 times to best separate Azotobacter from Azomonas. If the concentration were to be higher than this, mixed flora containing many different bacteria species would be found. Moreover, we noticed that non nitrogen-fixing bacteria, symbiotic nitrogen-fixing bacteria, and free-living nitrogen-fixing bacteria would form a single colony on a nitrogen-deprived medium. This implies that a symbiotic relationship may exist between nitrogen-fixing bacteria and non nitrogen-fixing bacteria. We also discuss the growing situation, the group proportion, and the relationships between free-living nixtron fixing bacteria and other bacteria by morphology, fluorescence in situ hybridization (FISH), and molecular biology.

在操作理化第二冊實驗9─1時，不小心硝酸銀容易濺到了手及課本，經過一段時間後，沾到銷酸銀的手及課本的紙張都出現了黑色的污點，且實驗中產生的氯化銀白色沈澱稍後亦變成灰黑色，老師說是因為銀離子還原成銀原子之故，但在理化第一冊談到的保溫瓶結構中指出保溫瓶膽處鍍銀以防止熱因輻射而流失，老師提到，這層銀是利用所謂的「銀鏡反應」鍍上去的，然而同樣的銀離子還原成銀原子的反應，為何會有不同的顏色產生呢？種種現象引起我們的好奇，於是便著手實驗，探究原因。

A cylinder rolling on an inclined plane and a sphere on grooved tracks are discussed in details.Using elementary mechanics, the formulas are derived for the time interval (t) and the final speed (vas a function of release height (h). (1) A cylinder is rolling down an inclined plane. The speed and time of the center of mass ofthe cylinder which changed with position (x) are recorded by a motion sensor. We can get theplots of v vs. √x and t vs. √ x, and find that the acceleration of the center of mass of thecylinder is constant, whether the cylinder is in rolling or a combination of rolling and slipping. (2) A sphere is rolling down an inclined grooved track. The final speed at the bottom of thetrack can be calculated from the physics of projection motion after the sphere leaves the track to thefloor. The time t for the sphere starting from rest to the bottom can be recorded by using photogate detectors. From the v-√h and t-1/√h graphs, μs between the sphere and track can be obtained. (3) When a sphere is released from the vertical height h of a cycloidal slide, the time tof pure rolling is the same independent of release position. But, when the sphere moves at a combination of rolling and slipping, the time t' will be different from t. We measure t and t' with photogate detectors and get the plot of t vs. h. The value ofμs can be calculated from the t - h graph. 圓柱或鋼珠從斜面或有槽曲面形成的軌道上滾下時，利用基本力學，可推導出時間 (t) 、速率 (v) 隨高度改變的函數關係。 (1) 利用運動感應器記錄圓柱由斜面上滾下時，圓柱質量中心的速度及運動時間隨位置 (x) 的變化，可繪出 v 對√ x 及 t 對 √x關係圖，由v－√x 及 t－√ x圖可知不論圓柱純滾動或滾動兼滑動，其質心均等加速度運動。 (2) 鋼珠由有槽斜板滾下時，到達底端的速率可由從底端至地面的拋體運動算出，而其時間t則可利用光電計時器直接記錄，利用 v－√h 圖及 t－1/√ h 圖可求出鋼珠和軌道的靜摩擦係數 μs。 (3) 鋼珠從旋輪線上方純滾動至底端時，所經歷的時間 (t) 和釋放高度無關，但是當鋼珠滾動兼滑動時，所經歷時間 t' 會改變，利用光電計時器量出 t 及 t'並作圖，利用 t－h 圖可出 μs。

「讓神明保佑“泥”！金紙灰水泥砂漿試驗」是藉由簡易實驗設計，測出取代或添加不同比例金紙灰對水泥砂漿試體強度的影響，瞭解金紙灰可否取代部分水泥及細骨材，達到廢物利用，同時降低工程材料的成本增加經濟效益，以符合綠建築之永續宗旨。前期試驗證實：金紙灰水溶液為鹼性，其化學成分有：SiO2(18.08％)、Al2O3(12.23％)、Fe2O3(1.30％)、CaO(39.79％)等類似水泥的成分。研究結果顯示：添加少量(添加率10％以下)金紙灰將有助於早期強度的提升，若添加過量則產生負面影響減低強度。而本研究試體晚期強度普遍不佳，應與金紙灰過量鹼性成分和燒失量太大有關，倘若能在材料的取得技術或後處理做改進與提升，將更有助於提升金紙灰再利用的價值。

我們在化學課學到滲透壓的原理，且對於廣告商所推銷的磁石感到好奇，於是決定討論磁場對於滲透壓的影響。由無殼蛋的實驗發現磁場的存在會使蛋的滲透壓增加約45%，確實會影響滲透壓，但由不同的酸溶解蛋殼後，對於蛋膜的性質有不同影響，因此設計了一個實驗裝置，並以生蛋膜及玻璃紙為半透膜，選擇同濃度的蔗糖、氯化鈉等水溶液，在不同磁場強度下觀測溶液的滲透壓變化。從強度0、100、172、196、250、600、2250 高斯的磁場中，實驗得知磁場可影響滲透壓的臨界值約200 高斯，且得到不同磁場強度的滲透壓值，之後比較蛋膜與玻璃紙在有無磁場影響下的上升高度差值，得知磁場對蛋膜的影響遠大於對玻璃紙，固推測磁場對溶液滲透壓的影響主因是磁場具有改變生物半透膜的特性，所以許多人標榜磁場對人體的影響宣傳，再某些條件下是合理存在的。在不同溶質溶液的滲透壓實驗觀察發現；高中課程中的溶液介紹是以「理想溶液」為前提，故真正從實驗操作中才體會出真實溶液與理想溶液間的差異是有很大的距離，所以我們嘗試以真實溶液探討不同溶質與滲透壓的關係。

我們以魔方陣做為科展的出發點，過程中，發現到多種魔方陣的快速解法，但質數魔方陣並沒有快速解法，進而有了找出3階質數魔方陣快速解法的念頭。首先對質數的性質作探討，瞭解質數並沒有一般式的表示法，增加了尋找快速解法的難度。在後續的過程中，本研究將質數分為兩大類，一類為3k+1的型態，另一類為3k-1的型態，發現都可找到3階質數魔方陣，在限制定和為最小的要求下，確定魔方陣的中心數字為59時，有定和最小的3階質數魔方陣。本研究採用因數與倍數的概念，分析3階質數魔方陣定和性質，瞭解定和為3的倍數，藉由將質數分為3k+1及3k-1兩類，根據其中k的數字相加為定數，以較快速且有系統的方式找到3階質數魔方陣。