本研究以對偶圖的性質，取代以往著重點或邊數量的方法，探討平面圖中漢米爾頓迴圈的存在性。我們設計一套定理，判斷對偶圖對應之原圖是否存在漢米爾頓迴圈，並提出「T 搜索」，有效降低電腦計算的時間複雜度。此外，我們建立多項化簡定理，能在不影響迴圈存在與否的前提下，透過邊、點的替換與收縮，或圖的結構分解來簡化圖形。研究中也討論 Herschel Graph 與 Tutte’s Graph，並提出當圖中出現特定結構時，原圖不具漢米爾頓迴圈的判別條件。最後，成果可用於構造具漢米爾頓迴圈平面圖之對偶圖，並期望數學方法推導出無漢米爾頓迴圈的平面圖，或用電腦窮舉所有無漢米爾頓迴圈平面圖之對偶圖，以便延伸討論。

本研究是將三角形的西姆松線推廣至圓內接N邊形的西姆松線，已知三角形的西姆松線有孟氏定理，利用數學歸納法可證得圓內接N邊形的西姆松線也有孟氏定理；若只考慮外接圓上的一點P對圓內接N邊形各邊所在直線作垂足，則各邊截線段比值的連乘積也會等於1；已知三角形外接圓上兩點𝐏、𝐏′的西姆松線之夾角，會等於𝐏、𝐏′兩點所對的圓周角。利用四點共圓、兩層西姆松線的關係可證得：圓內接N邊形圓上兩點𝐏、𝐏′的西姆松線之夾角，會等於𝐏、𝐏′兩點所對的圓周角的(N-2)倍；已知若兩個三角形的外接圓相同，則外接圓上一點𝐏對應兩者的西姆松線之夾角為定值，跟𝐏的位置無關。利用四點共圓、兩層西姆松線的關係可證得：兩個N邊形的外接圓相同時也成立。

本研究探討給定平面任意三點A,B,O，滿足∠OPB=∠APO的點P軌跡為何？有什麼性質？我們主要運用複數解析求出曲線方程式，再運用其對觀察到的曲線性質進行證明，我們亦在作品中給出一些幾何解釋。之後我們更進一步更改兩角度之間的關係(如成倍數關係、差為定值等)，得到了豐碩的成果。最終還發現此軌跡與其他曲線間的關聯，並說明了背後的幾何本質。

本研究探討在正n邊形及圓內接多邊形構形中，若已知外圍三角形面積，是否可反推原構形的邊長與面積。研究建立一套幾何與代數互相轉換的流程，透過面積比例推導遞迴數列，進而構建高次方程，並提出新符號 𝑇𝑃𝑄 及 𝑈𝑛𝑞𝑝 表示不相鄰乘積和，以簡化代數結構。進一步運用數學歸納 法 與極值邏輯，成功證明：當高次方程 式 具有正實根時，其最大正實根必定對應唯一的 多邊形 限定構形；反之，若多邊形限定構形存在，也可唯一對應於高次方程式之最大正實根。此研究不僅提供幾何反推的系統化解法，也為代數方程的幾何詮釋建立明確模型，具備理論價值與推廣潛力。

本研究探討滑翔機左右機翼上反角（Dihedral Angle）不對稱設計對滯空時間的影響。傳統認為對稱設計較穩定，但比賽經驗發現，適度不對稱反而能提升飛行表現，引發驗證動機。 依據滾轉力矩（Rolling Moment）原理，規劃11 組上反角組合，結合理論與實驗進行分析，並以標準差檢視數據穩定性與可信度。結果顯示，當上反角差處於適度範圍時，可產生有利滾轉力矩，挑戰了對稱設計的傳統觀念，證實其對飛行穩定與滯空表現的貢獻。 研究成果可應用於無人機及無動力飛行器，提供優化滯空設計的新視角。同時也希望傳達：科學來自生活，只要善用身邊資源，便能設計出具探究價值的實驗，進而激發更多人對科學研究的興趣。

入射界面活性劑滴第一次觸碰水面時可能直接入水，也可能不會穿透，形成水珠，但在高度較高而使其產生液柱之後再次掉落時，某些情況會產生反泡泡，本實驗將探討其發生條件。並且研究反泡泡在水中的運動情形。首先，我們設計並建立了一套穩定產生反泡泡的裝置，以確保其生成的可控性與重現性。其次，我們透過調整內部液體的密度，探討內部液體密度對反泡泡運動情形的影響。另外我們利用生成大量反泡泡使他們發生碰撞並探討其運動方程式。

本作品係 利用范氏起電機產生靜電，並以電壓驅動標準靜電風車及自製鋁質靜電風車模型。其中標準靜電風車為范氏起電機附帶之零件，而自製靜電風車可改變包含尖端角度，風車半徑與阻力係數。以電鑽增加轉速改變范氏起電機輸出電壓。在各項實驗中分別測量包含電壓，離子風穩定性與轉動角速度。透過參考資料與實驗建立風車系統轉動時的統御方程式。結論包含推力與電壓呈正相關並在尖端角度介於30-45度間有最大推力，半徑影響特徵時間與終端角速度，阻力係數影響轉動方程，使系統分為指數飽和與雙曲正切飽和。最後探討其對空氣中微粒清潔之實際應用。

這份研究探討利用正三角形旋轉吸管構成的離心泵抽水的現象。我利用電鑽固定此三角形結構，使其部分浸入水中並定速旋轉。我們發現在吸管的管徑-旋轉半徑比大於一定值時，水流因無法穩定地充滿整個吸管，離心泵中的水流將會穩定的僅占據吸管的一部分。我測量「吸管的幾何參數和旋轉角速率」對「抽水流率」的關係；以及「旋轉角速率」對「抽水流速」的關係，並以穩層流下的流體力學模型(白努力方程式在旋轉座標系中的修正+流體力學穩定性分析)加以解釋，在不使用數值模擬的情況下方了解了此未滿水模態的水流情形。

本研究旨在探討彗星塵埃尾與離子尾之方向與長度的形成機制，並建立數學模型與Python模擬系統，以模擬彗尾在不同時間與位置下的形態變化。我們選取哈雷彗星、海爾-波普彗星與C/2020 F3 (NEOWISE) 為樣本，蒐集歷史觀測影像並進行模擬對比。研究結果顯示：模擬所得的彗尾角度大致與實際觀測相符，且太陽輻射壓比例因子β與彗尾軌跡偏移程度高度相關。本研究所建立的模擬系統與公式可作為未來觀測與預測彗星彗尾形態之基礎。

當使物體後面的光線繞過物體至另一側觀測者眼中，該物體便會消失，如同隱形斗 篷。本研究在水中以探頭打出超聲波，藉由空化現象在聲壓聚集的位置打出空泡。以光在水中碰到空泡產生的全反射產生光導，使光按照期望的路徑前進。參考艾里光束波包沿弧線行進的特性，依照各陣元的座標調整相位，製造出聲壓聚集在一弧線上的聲場。以線形和平面探頭測得其偏折角度，接著導入漩渦式聲鉗，使聲壓由弧線中心偏移到周圍，並使中心聲壓相較於普通聚焦減少75%。最後將兩種相位疊加在一起，用螺旋排列探頭將超聲波打入水中，取得約3度的偏折，得到初步成果。未來將透過聲壓的加強和改良路徑，期望達到自由控制偏折軌跡，並在醫學等方面有所應用。

本研究透過Arduino控制步進馬達，再由步進馬達穩定推動針筒，進而噴出泡泡水柱，在水中製造反泡泡。我們控制步進馬達的推進時間，改變泡泡水的注射水量；也以針頭距水面的高度、針頭孔徑大小為操作變因來改變泡泡水的注射速度。最後用Tracker應用程式測量出泡泡水的注射速度、反泡泡半徑，推算出不同的注射水量以及注射速度可生成的最多反泡泡的範圍以及最大的反泡泡半徑。

本研究旨在探討量子計算中由噪聲引發的兩種主要錯誤：位元翻轉錯誤（Bit-flip Error）與相位翻轉錯誤（Phase-flip Error）。我們首先利用 IBM Quantum 平台，透過即時模擬與圖像化操作，建構了一套重複更正碼系統，展示量子糾纏在錯誤校正中的應用。然而，當我們將錯誤更正碼送至真實的量子電腦運算時，發現額外的噪聲干擾使得錯誤更正碼的效率受到影響。因此，我們參考了 IBM 官方網站的資料，並結合在真實量子電腦上獲得的結果，使用 Google Colab 打造了一個最接近真實情況的噪聲模型，利用錯誤參數量化、分析真實量子電腦的出錯情形。