在遞迴式an+2＝|an+1|－an中簡單的代入幾個值，發現有九個一循環的現象。在一番巧思之下，我們先證明：函數f1(x)分別為1及-1、f2(x)＝x，且fn+2(x)＝|fn+1(x)|－fn(x), ?n?N， f5(x)與f6(x)圖形對稱於x＝1/2，進一步證得遞迴式循環，再將初始值伸縮至a1, a2為任意實數值。解法固然令人拍案叫絕，但令我們深深著迷，決定投入大量心血在此研究的原因，乃是遞迴式an+2＝β|an+1|-an，當0＜β＜1時，點(an, an+1)構成遞迴圖形的種種現象。 我們大量使用了函數及圖形分析的方法，定義函數fβ(cosθ, sinθ)＝(sinθ, β|sinθ|-cosθ)，發現f (n)β皆為 ?連續函數；?一對一；?(cosθ, sinθ)逆時針旋轉時f (n)β(cosθ, sinθ)同樣逆時針旋轉。藉由上述的性質推得遞迴圖形?在角度上稠密；?形狀與初始值無關；?初始值的改變產生相似的遞迴圖形。 在研究過程中，發現β＝0.86的遞迴圖形有別於其他β值，有待未來，我們四人能一窺遞迴圖形的終極密碼。

數學在本質上雖然是嚴格的演繹科學，但在教學方法上卻也重視其實驗與歸納的一面，所以教育部所頒國中數學教學原理上，特別強調這一點，即學生親自操作的行為表現，而此種具體運作，如果藉多變化的釘板幾何，進而使用般進步的Logo電腦語言表達出來，當更能培養學生對數學之學習興趣及創造精神，本乎此，乃致力此種輔助激學之潛心研究。

本次研究的靈感來自於能力競賽中，一道證明由六邊形內部一點P所導致的面積比值為1的問題(詳見第3頁)。這份報告主要的目的，在探討推廣到正2n邊形內部時的情況，並求出將P點移至外部時任一點的面積比值。 這次研究利用GSP協助了解圖形的性質，並善用解析幾何和輔助線作圖。報告中的許多證明，可以用「各個三角形的高相加」的觀念搭配三角函數運算做出結論。 文中結果顯示，除了證明：當P點在正2n邊形內部時，必滿足面積比值為1外，並提供了當P點在正2n邊形外部時，面積比值的各種可能性。其證明方法，可作為解決正2n邊形面積問題的重要參考。

在國中自然第三冊第三章有關於波的傳遞速度的介紹，由內容得知：在地表的重力作用之下波的傳遞速度和介質本身的特性有關，因此我們思考一個問題：如果把骨牌與水波移到月球上，而月球上的重力只有地球的六分之一，波的傳遞速度會如何改變？因此開始這一次的研究。首先得到：在地表重力作用之下，骨牌間距越短能量傳遞的速度越慢，而水波越深能量傳遞速度越快。接著我們設計一部可以改變加速度的滑軌裝置，將骨牌及水波置於此裝置上，當改變不同的加速度時，我們可以得到：加速度越小，骨牌與水波的能量傳遞速度都會減少，而水波的振幅會變大。

我負責的環境整潔區域，是團牆旁邊的十幾棵夾竹桃。有一天大掃除，我蹲在樹下清掃夾竹桃的落葉，偶然一抬頭，突然發現夾竹桃的嫩芽上有許多密密麻麻的小黃點，用放大鏡仔細一看，哇！好有趣，竟然是一大堆的小蟲，有大有小，靜靜的黏在芽上動也不動，我感覺很奇怪，它叫做什麼名字呢？它在嫩芽上幹什麼呢？為什麼一動也不動？帶著莫名奇妙的心情，我跑去問老師，得到了一個答案一一它的名字叫蚜虫，其他的，老師說他一概不知，怎麼辦？它已經引起我的好奇心了，我一定要知道它的秘密。只好和組裹的同學商量共同研究了。在六年級下學期的自然課本裏，第一課就說生物和環境，老師講得很詳細，可是，課本上所提到的例子一一深海裹的大魚游到海面上肚子會爆炸，但是我從來也沒看過，因此我們不很相信，恰巧這時候我發現了蚜虫，於是老師告訴我「為什麼你不自己去研究一下，看看蚜虫的生活環境有什麼關係呢？」

除非是散步解悶，可以漫不經心地隨意走，否則必有一個目標，並且要選擇一條達到目的的「捷徑」，這不是數學家的專門話題，而是你我現實的問題。如果世界到處都是一片沙漠，這問題也就沒什麼了。只是都市中街道交錯有紅綠釘，即使在郊外也是山巒起伏，很不簡單」。如果對一個平常人來說，選擇短的路徑可為他節省許多體力上的透支，但在「特殊情形」之下，時間所扮演的角色就是最重要的了。例如在軍事上行軍的路徑，飛機航路導向飛彈的路徑等等....。如果發生火災和交通事故，救火車和救護車的行徑更決定了生命和財產損失的多寡，和你切身關係密切的，更是不少，如果你早上起床晚了，抄個近路，可免遲到，上班、上學都很實用。

本實驗共解剖31條吳郭魚。魚鰓共有八片鰓瓣，而且鰓區與嘴巴相連通。其中鰓瓣的鰓\r 絲是交換氣體的場所，在顯微鏡下也觀察到鰓絲有血管分布，表面排列眾多突出的鰓小葉，\r 可以增加呼吸的表面積。以平均體重534 公克的吳郭魚來說，八片鰓瓣約含有2516 根鰓絲，\r 每根鰓絲長度平均為1.25 公分，鰓小葉的總數約74 萬個，所構成的魚鰓總表面積可達12 萬\r 平方毫米，相當於A3 紙張大小。魚的鰓蓋運動主要是藉由嘴巴與鰓蓋的交替開閉所產生的\r 壓力變化，造成水往單方向流動，水從嘴巴流入鰓區，然後在鰓區進行氣體交換，接著水從\r 鰓蓋處流出魚體。吳郭魚的鰓蓋運動速率每分鐘平均為66 次，其耗氧速率平均為0.7041（毫\r 克/公斤-小時），其鰓蓋運動速率與耗氧速率會受到溫度、酸鹼度及鹽度的影響而有所差異。

我們常認為，鹽類在水溶液中皆為完全解離，但事實果真如此嗎？於是在課餘之暇，利用高中化學實驗八「凝固點下降的測定」來探討電離子(α)與濃度的關係。結果顯示，在稀薄溶液下，電離度似乎維持在一定值，不再隨濃度變化而改變；但根據德拜胡克爾(Debye-Huckel)學說，此結果有相當誤差。於是我們想到電解質水容易具有導電能力的特性，故利用電導度來探討某些鹽類其電離度與濃度的關係。

近年來在各大報章雜誌或是電視上都有一個顯著的熱門話題，那就是「醋對XX的功用」。有些同學也對這個問題展開了探討。敬翔說：「我媽媽常常在煮菜的時候加了些醋，使菜更香更好吃。」農樵說：「我曾經把一朵粉白色的花兒放進醋中，它竟然變成紅棕色的花兒呢！」育如說：「我看見隔壁的趙伯最近常常在喝一很養生醋，喝得臉色紅潤、精神煥發的樣子。雖道醋對人體也有什麼特別的功效嗎？」大家都覺得醋很神奇，都想「打破醋缸問到底！」於是請陳老師指導我們研究醋的妙用。

對於「厄多斯與斯特勞斯猜想」，一直以來皆尚未有人破解。但研究價值未減，我們受其\r 吸引先後做出兩份作品。\r 第一份針對四十五屆中小學國展第三名作品做改進。發現其內容太複雜，不夠精簡，且\r 過於執著全國第三名作品的部份思維，導致代數衍生過多、計算困難，不夠系統化！\r 所以今年我們改進前份作品：最初思考以完全代數化來精簡內容，並引用方便閱讀紀錄\r 的數學符號運算。沒想到卻也意外找到「 厄多斯與斯特勞斯猜想」更 有系統地處理方式！\r 也因架構更系統化，讓我們方便以電腦程式來測試。\r 雖然最後，我們仍然未解決「厄多斯與斯特勞斯猜想」，不過卻在目前找到的資料中，得\r 到最有系統的解題架構，並將此猜想轉化成另一個存在性問題。

在接觸到了驚人的BZ 反應後，我們開始著手研究相關實驗。首先，想藉由改變各種反應物的濃度，看看反應的結果會有什麼差別，並記錄下反應時間的平均差，以求出反應速率，並進而求得「速率定律式」，來了解反應的機制。另外，在一開始便想試試看，能否利用其他化學藥品取代原本的反應物，因為我們當然很希望能找到不同的顏色變化！此外，我們還由阿瑞尼士方程式求出log k 對1/T 的關係圖並求出活化能，驗證了阿瑞尼士方程式在振盪反應上應用的可行性。