本文由三個結合 tan−1 與費波那契數列的等式及其所搭配的無字證明圖形出發, 做出和盧卡斯數列有關的圖形, 並由數學歸納法找出並證明 tan−1 與盧卡斯數列及一般二階線性遞迴數列的全新等式： This paper startes with three equations of tan−1 and the Fibonacci sequence combined with the diagrams used to prove the three equations without words. According to the principle of mathematical induction, we continued to find out the similar equations of the Lucas numbers and the second-order liner recursive sequences as follows.

(一)在五上課本裡「三角形中任意兩邊的和大於第三邊」，我們用竹籤三根實際操作理解了！「三根相等的竹籤可以排成什麼圖形？我們用火柴棒作為代替同長的三邊去圍圖形！ (二)在排圖形中，我們以為一個等長的火柴棒，排出來的正方形，可以連成兩個正三角形，結果成了「」這樣有趣的現象！ (三)下課後，我們隨意排出許多相等的正三角形，並與同學比賽，誰排得多，誰排得快！「同樣的正三角形數」，用乘法公式去數，很方便！ (四)對了！公式！公式！我們何不利用排火柴棒去找數學公式呢？

安德遜蠅虎的卵期和幼蛛期共約需 22~26 天，需經歷 6 齡（6 次脫皮）而成年，每齡需要時間為23~32 天，從卵期到成蛛約3~4 個月左右，成蛛約可再活 3~5 個月，為不完全變態。安德遜蠅虎喜歡在食物充足和陰暗的草叢和牆壁底層活動，能適應的溫度範圍在 15~33℃之間。安德遜蠅虎的行為項目目前已知 14 種，其中 4 種與捕食行為有關（例如：頭胸部升降、潛行、撲擊、迂迴），3 種與爭鬥行為有關（例如：Z形舞蹈1、前足斜舉、奔逃）；5 種與求偶行為有關（例如：觸肢擺動、前足斜舉、繞行、Z 形舞蹈 2、交尾） 。但牠不獵捕比自己體型過大的獵物，主要以小型蠅類或彈尾蟲為食，其捕食獵物主要靠視覺或感覺毛，中前眼最遠可看到超過12cm距離的東西，跳躍力最遠可跳出15cm 的距離。對於蠅虎的分佈區域就觀察提出【蠅虎集中發散推論】 ：一區域內的各種蠅虎，必有其集中地。各種蠅虎由其集中地向外發散、擴張形成發散地，並與其他種蠅虎勢力範圍重合，形成多種蠅虎共存的共存區。Hasarius adansoni’s egg development and postembryonic development require 22~26 days. It takes 6 stadiums to become adults. Every stadium needs 23~32 days . The adults can live to about 3~5 months . There are 3~4 months from egg development to adult. Hasarius adansoni like to move in grass and at the bottom of wall where there is plenty of food and no light.The scope of temperature is 15℃ to 33℃.There are 14 elements of behaviors known for Hasarius adansoni, including 4 predatory elements（such as Raise andlowered cephalothorax、Stalk、Leap and bit、Detour） , 3 agonistic behavior elements （such as Zigzag dance 1、First leg erect、Suddenly run and leap）, and 5 courtship behavior elements（such as Palp waving、First leg erect、Circular detour、Zigzag dance 2、Copulation）.But they don’t catch captures which are bigger than themselves；their main captures are little flies and Homidia sp. Relying on their vision and sensation hair，Hasarius adansoni’s Anterior Median eyes can identify for up to 12cm；long jump can for up to 12cm. The inference of jumping spider’s distribution could be that different species of jumping spiders in an area are sure to have their respective center habitats. They spread from the center habitats to disseminated areas. Then they overlap with those of their species and form a shared section of multiple species.

作者受考題（ International Mathematics Tournament of the Towns, Senior A-Level Paper, Fall 2009, No. 7 ）?發而展開此研究。經搜尋文獻發現，這系列命題可追溯自 Scientific American （ Feb 1979 ）中 Martin Gardner 的文章 The Rotating Table 。\r 命題之操作原在正方形桌上執行，後被Ted Lewis & Stephen Willard 推廣至正多邊形（1980），又再被Richard Ehrenborg & Chris M. Skinner推廣至任意置換群（1995）。\r 本文從均勻多面體的情形出發，藉諸自創的證明方式，重新詮釋上述論文之結果，給出較簡潔自然的證明。同時，作者改變命題裡的關鍵限制，發展全新的研究方向；並針對不同的情形（多邊形、多面體、置換群）分別求出各變數之上、下限。\r 本文使用到的技巧包括：群論、歸納法、組合設計。充分性之證明過程提供的演算法能應用於同步連絡管道，允許匿名用戶之間建立連線。

星期天兩位同學到我家來，一起做科學遊戲。他們拿兩個同樣的玻璃杯做橋座，上面鋪上一張紙，把錢幣擺在中間時，紙張承載不了，馬上塌了下去。又把紙摺成波浪型，擺在兩個杯口上，這時候把錢幣一個一個往上加，卻能承載很多個錢幣而不塌。我想，紙張既然能載重，那麼利用紙張做成各種形狀來做實驗，了解它的特徵一定是有趣的事，於是我們就做了這個有趣的實驗。

這個研究主要探討影響鳥笛聲音的因素，鳥笛是傳統的「臺灣童玩」，能吹出如鳥類一樣悅耳的聲音，我們覺得很有趣，在參考網站之後，我們嘗試用容易取得且操作方便的吸管來吹吹看，在課本中我們學到空氣柱的長短、粗細會形成不同的聲音，除此之外，我們探討吸管的角度對聲音的影響以及將吸管笛放入水中對聲音的影響，最後我們比對真實鳥聲，模擬鳥類的聲音，判斷哪一種鳥要用哪一種吸管，角度要多少比較悅耳。

自然課本在摩擦力單元提示三個概念，分別是一、「粗糙面的摩擦力比光滑面大」；二、「水會降低介面間的摩擦力」；三、「介面接觸面積大小與摩擦力大小無關」。本研究發現這些概念與生活物理現象不完全相同，故進行實證研究，歸納研究結論如下： 一、微觀角度中，介面間實際接觸面積越大，摩擦力越大。 二、在無塵且無水分的前提下，兩接觸介面的摩擦力為「光滑/光滑」介面大於「光滑/粗糙」介面。「粗糙/粗糙」介面大於「光滑/粗糙」。 三、兩接觸介面間若有灰塵存在，通常會降低摩擦力。 四、兩接觸介面間大量水分會降低摩擦力；少量水分反而會增加摩擦力。 五、粗糙介面的紋路若不連貫無法排水，在多水情境時防滑效果較差。

有個密碼鎖由D個旋鈕組成，每個旋鈕有N種不同的號碼，由於構造缺點若D個旋鈕中僅有1個號碼錯誤仍能打開密碼鎖，問最少嘗試多少組號碼才能保證一定能打開這個鎖？這個問題等同於在N元D維超立方中找一組點集，點集中的點各自向其D維度畫出延伸線，若超立方中的所有點都至少被1條延伸線所涵蓋，要求重複涵蓋的次數總和要最少。\r 43屆的科展中已經討論過3個旋鈕的情況，我們接著分析4個旋鈕的情況。在討論中發現D=4時並沒有如D=3時保證打開的最小次數公式，我們給出上下限的公式。但D=N+1且N≠6時卻很特別，恰可利用拉丁超立方挑出1組點集，其所有延伸線涵蓋的點都沒有重複，稱為完美控制，而保證打開鎖的最小次數是NN-1。

因國際原油價格上漲，因此對研究及發展具潛力的生質柴油引起高度興趣。傳統以加熱方式在適當觸媒下將低碳數醇類與油脂轉酯化生成生質柴油。但以強鹼為觸媒使用過量會讓部分反應轉為皂化。而利用微波，使微波腔在極短的時間內產生電場，使具有電偶極的分子朝向電場方向迅速排列而產生轉動，快速地增加分子間的碰撞頻率而加速反應，但不破壞分子結構。也嘗試利用超音波來生產生質柴油。試驗方法為利用SD-22 柴油引擎測試所生產的生質柴油，並收集廢氣檢驗，評估其污染性。實驗後發現，微波能將一般加熱所需的60 分鐘大幅縮短至4 分鐘，甲醇溶液能生產較多的生質柴油。其中1.40%氫氧化鉀甲醇溶液且油與醇莫耳比1：9 效果較佳。氫氧化鉀甲醇溶液0.80%且油與醇莫耳比1：5 效果亦佳。製成的生質柴油能讓引擎發動，廢氣處理後經分光光度計檢驗氮氧化物，生質柴油確實能有效減少氮氧化物污染。 Due to the fact that the price of international crude oil raises , people look for alternative energy resources actively. Therefore, I have great interests in doing researching and developing the biodiesel through many ways. The traditional way is to transesterify the low carbon alcohols and fats with the suitable catalysts by means of generally heating. However, the overuse of strong bases as catalysts may turn the experiment result into saponification reaction. This study made good use of the microwave to generate electric fields in the microwave cavity in an extremely short time. Owing to the effect electric fields exerted, the molecules with electric dipole momentum rearranged to rotate rapidly .Consequently, the frequency of collision among the molecules increased without destroying the molecule structures. Also, I applied SD-22 diesel engine to test the produced biodiesel and examined the collected exhaust to evaluate its pollutant. According to the results of these experiments, the conclusion was as following: the microwave could shorten the Transesterification reaction time from 60 minutes to 4 minutes. The methanol solution could produce more biodiesel than the ethanol solution. Besides, the 1.40 wt ％ Potassium hydroxide solution with the molar ratio of oil and methanol 1:9 had the best efficiency in producing biodiesel. On the other hand , the 0.80 wt ％ Sodium hydroxide solution with the molar ratio of oil and methanol 1:5 also had the great efficiency. All the biodiesel we produced enabled the diesel engine to run smoothly. The exhaust inspected from the examination of Spectrophotometer resulted that the biodiesel did less NOx pollution to the environment indeed.