「非對稱性螺旋槳定理」是一個很有趣的定理，並且有好幾個相類似的推廣性質。我們 試著自己提出這些性質的證明，並且嘗試作一些推廣的探討。

本文純以數學方法來探討一們物理上的問題一物體質心的位置，文分三節，第一節中以數學的形式來定義 n維歐氏空間中的物體及其密度和質心，並討論凸集合的一些性質，第二節引述了Hahn-Banach 定理而不加證明，但證明它的一個有用的推論，以作為討論物體質心的依據，第三節則為本文的主題，證明了具有凸領域的物饅其質心必在其領域之中，並進而說明了一般物體質心的位置。值得注意的是物理世界中真實的物體，其密度和質心均符合本文第一節中 n=3的定義，因此本文的結論自然適合物理上實際的情況，然而本文所述較實際略為一般化。本文牽涉一點基本的泛函分析，測度論和拓樸學，由於所用到的一些性質均屬相當基本的論述，故並未註明參考書目。

This research divides into two subjects. The first subject aims at single-hole-swirls, we use single-hole-swirls to discuss water volume to the eddy current influence. The experiment obtains the relations between the aperture and the bottom area of the vessel. It also produces difference between free vortexes and forced vortexes of the eddy current. Our another discussion subject is twin-hole-swirls, which is extremely complex but actually an interesting part. Twin-hole-swirls is easy to be disturbed by the external factors. The result is different from our supposition. But from the experiment we discovered twin-hole-swirls is a mini version of twin-typhoons. Twin-hole-swirls has the same phenomenon with Fujiwhara effect. 本研究探討分為兩個主題。首先是針對單孔，我們利用單孔漩渦探討水量對漩渦的影響，並實驗求得孔徑與容器底面積的關係，以及自由渦流與強制渦流所產生之漩渦的差異。我們另一個探討的主題是雙孔，也是實驗中非常複雜但卻有趣的一部份。雙孔漩渦極易受到外在因素干擾，產生的結果與我們在實驗前的假設出入頗大，但從實驗中我們發現雙孔漩渦其實是雙颱的縮小版，雙孔漩渦與雙颱效應有著許多相符的現象。

我們看看一個多項式 f(x)=X2-2x-2。首先以 ... -3，-2，-1,O,1,2,3… 等整數依次代入得一數列：…，13 , 6 , 1，-2 ，-3 ，-2 ,l…一再以此數列中相鄰兩項之差（後減前）得一新數列：… -7，-5，-3，-1,1,3 ……。到這，我們可看出此新數列成一等差數列，且公差為 2 。（見下表）經多次試驗別的多項式均有※之結果。因此我們便產生了一個疑問：對於∀f(x)εR(x)，領導係數＝ an deg( f(x) ) = n,( n ε N ) ，其第 n 數列必成等差數列嗎？若是，其公差必等於an(n!)嗎?

在傳統的解剖學分類上，台灣地區樹蛙科(Rhacopboridae) 共有台北樹蛙(Rhacophorus taipeionus)、莫氏樹蚌(R.multrechtis ) 、裴翠樹蛙(R.sp.)、白領樹蛙(Polypedates leuco leucomystax)、褐樹蛙（ R.robostus ）日本樹蛙 ( R.japonicus)、艾氏樹蛙 （ R . eifingeri ）等七種，其中除白頜樹蛙屬於 Polypedates 屬外，其餘六種均屬Rhacophorus 屬（呂， 1982 ）。這七種樹 蛙除裴翠樹蛙族群較小外，其餘六種在台灣都有不小的族群分佈，裴翠樹蛙是師大呂光洋老師實驗室民國七十年五月間新發現，依其外部形態與傳統解剖學分類，將其哲時歸屬於 RhacoPhorus 屬， 很可能是世界新種；本實驗目的之一，在研究裴翠樹蛙基本生化資料，進而對其在分類上位置之確定提供參考”國內關於無尾類(Anu-ra)的生化方面研究甚少，國外有關蟾蜍科（ Bufonidae ）、樹蟾科（ Hylidae ）、赤蛙科 ( Raniidae ）等的生化分析論文發表相當多，但卻很少看到樹蛙科（Rhacophoridae ）的文獻，內此樹蛙科的研究有共必要；本實驗目的之二，在研究台灣本區鄉土的樹蛙 生化資料。根據 Matthews ( 1975 )對蟾蛛( Bufo )的研究， Lew-ontin and Hubby ( 1966 )對果蠅（ Drosophila ）的研究 , He-dgecock and Ayala ( 1974 )對山椒魚（ Salamand ridae ）的研 究， Adest ( 1977 )對蜥蜴（ Iquanidae ）的研究都顯示酯酶（ Esterase ）是多型性現象（ Polymorphism ）最明顯的一種酶，因此取酯酶做此研究甚為適合。

本研究旨在探討海藻酸鈉、澱粉及兩者混和成膜的特性，並討論上述薄膜添加氯化鈣進行交聯後對薄膜特性的影響及應用，希望將薄膜進一步應用在生活中。研究發現支鏈澱粉含量多所組成的薄膜，黏性高、易破、厚度最薄；添加澱粉量愈多的薄膜愈硬脆，若提高海藻酸鈉濃度可使膜較為平整柔軟；與氯化鈣交聯成膜則會使薄膜厚度增加、面積縮小；添加澱粉的海藻酸鈣薄膜吸水率提高，3%糯米粉乾粉混合膜的吸水率達99%最高，薄膜乾燥前期的含水率下降速率較快，將此薄膜重複吸水，第一次吸水量最高，之後的吸水量減低且往復吸水、乾燥的速率提高，將薄膜添加水晶寶寶可使吸水量增加製成吸水墊，以期取代目前生鮮食材用的PE淋膜不織布吸水紙，將能更具環保價值。

(l) 在二年級時我們在物理第二冊第十章學到相對位置及相對運動。常時課本上舉了許多實驗來測定物體的加速度：1.利用鋼球在斜面上滑下之實驗：「將鋼球由斜面上滑下，由一人即刻按下停錶計時，每隔一秒通知另一人，記下鋼球的位置」。這種作法，不僅二人不容易配合，而且不容易確定位置，誤差太大，同學們均不能得到正確結果。2.自由落體運動（或是單擺擺動，拋體運動，彈簧振動等，均是利用閃光照相，不僅設備昂貴，操作複雜，且要經過沖洗再依比例推算出距離，不能立即得到結果。 ( 2 )在第三冊時我們又學到牛頓的運動定律：1.利用水鐘車的實驗：這個實驗要時時住意水位，因水壓高低亦影響水滴的快慢，而且水鐘車在斜面上運動時，水滴由於重力和慣性作用，往往形成直線狀，影響實驗。2.利用振動計時器：賓驗時水鐘車之後還要接上一紙帶，影響正常的運動，而且電壓大小，電流強弱等均影響打眼的時問 ( 3 )綜合上述，我們發現每個實驗都各有缺點。所以我們就開始研究，希望能製作一種構造簡單，操作容易，準確度又高，而且立即可得到結果的實驗裝置。(4) 在第十六章電學裹，老師講述交流電及高壓放電的現象時，我們想到或能力用電子公司供給的交流電的六零週波的頻率來測定各種運動。經過老師指導後，我們就開始設計製造。

炎炎夏日，防曬聖品又紛紛出籠了。但是，這些產品是否具有隔絕紫外線的能力，而可以達到遮陽防曬的效果呢？本實驗即針對此一主題進行深入探討。 我們的研究大致分為二部分：（1）以問卷調查方式了解台灣女性對防曬的需求情形（2）以E.coli存活率來表現不同防曬方法的效果。 在實驗部分，我們採用原核生物界的生物—E.coli（大腸桿菌）作為實驗的對象，它具有簡單、方便操作的優點，且此物種的細胞較不複雜，方便我們在實驗操作進行時能夠控制週遭環境以及各種變因的調適。 實驗結果我們發現：物理性防曬法普遍較化學性防曬法更有效果；而在市售具有PA值的化學性防曬產品中，其抵擋UVA的功效也有許多差異。另外，我們也測試了珍珠粉、蜜粉與奈米級TiO2對UVA的遮蔽功效。而由於照射到地表的紫外線以UVA為主，故我們的實驗皆針對UVA作探討，未針對UVB做研究。

我們試著尋找所需最小的城堡個數以看守整個a × b × c (a,b,c ? N) 的長方體。所謂城堡是一種棋子，當放置城堡的位置是(x, y, z) ，則(x, y,t)、(x,t, z)、(t, y, z) (t 是任何不超出邊界的正整數)是這個城堡可以看守的格子。我們用這些城堡來完全看守長方體，試著找出其最小值。在2005 年我們猜測了a = b = c 、a = b c 、a > b > c 的上界，而在2006 年時完成了a = b = c 、a = b c 的大部分情況的證明，少數不能解決的部份也提供了不錯的上界。目前我們在a = b = c 、a = b c 的情況幾乎完全解決，目前正在向a > b > c 的部份發展。A generalized searching method of finding the minimum number of castle which can oversee all over the rectangular box, defined as a × b× c (a,b,c ? N) , is presented. The castle here is defined as one kind of chess. The castle positioned as (x, y, z) can direct the lattice points of (x, y,t) 、(x,t, z) 、(t, y, z) (t is the positive integer and smaller than the box size). These castles we use here is to oversee the rectangular box and to help us to find the minimum number. In 2005, we got the upper bound of overseeing the rectangular box in the conditions of a = b = c、a = b c、a > b > c , while in 2006 we complete the proofs of the minimum number of castles based on the conditions of a = b = c 、a = b c . The further work we want to attain is to complete the case of a > b > c.

格子點上的三角形表示這個三角形三頂點的座標皆是整數。本研究先探討用平面格子點可以連出哪些三角形的相似形，再推廣到可以連出哪些多邊形的相似形；接著再研究空間中的格子點可以連出哪些三角形及多邊形的相似形，並用研究的結果討論空間中的格子點可以連出哪些正多面體。推廣到四次空間的格子點時，運用一條數論中的恆等式，發現可以做出來的三角形種類(所有相似形為同一種)居然與空間中的格子點一樣，這是個非常神奇的結果。另外，運用四平方和定理可導出，在五維空間中就能夠將所有可能用格子點連出的三角形種類連出來，這也是另一項收穫。When a triangle is formed with grid points, this means the coordinates of the vertices are all integers. This research aims to find out what type of triangles can develop into symmetries with vertices that fall right on 3 grid points on a plane. The same process is further applied to polygons. Based on the results obtained, the researcher moves on to explore what type of triangles can develop into symmetries that can be formed with spatial grid points. By using an equation in number theory to expand the study to a 4-dimension space, it is formed that the kinds of triangles—their symmetries included—which can be formed with 4-dimension grid points can also be formed in a 3-dimension space. In addition, all the possible kinds of triangles which can be formed in a 6-dimension space or up can also be formed in a 5-dimension space.

在這篇報告中，我們以貝斯曲線的做圖原理建立出一種新的曲線－環狀貝斯曲線，進而得到不少有趣的結果。我們發現有名的古典曲線－蚶線，也是屬於二次環狀貝斯曲線。軌跡方程式為：，此時，係數恰符合二項式定理。之後我們推廣至n次環狀貝斯曲線的軌跡方程式：，也符合二項式定理。 在複數平面上，給定z0、z1、z2三點，我們定義出一個二次變換 ，若，，可映射成蚶線的圖形；若z∈實數，則可映射成拋物線。利用此結果類推我們找到一個複數平面上由 z0、z1、...、zn 所決定的n次變換將以原點為圓心的單位圓，映射成n次環狀Bezier曲線。 In this essay, we use the method of forming a Bezier Curve to establish a new curve, circular Bezier Curve, and find a lot of interesting results. We discover the famous classical curve ＂limacon＂, which belongs to the Quadratic Circular Bezier Curve. The locus of Quadratic Circular Bezier Curve is, where. Its coefficients match the binomial theorem. Then we apply it to the locus of nth-circular Bezier Curve:, and it also matches the binomial theorem.On the complex plane, we define a quadratic transformation corresponding to three points—z0,z1 and z2 as .If , where , a limacon is mapped. If z is a real number, a parabola is mapped. With this result, we will find a nth transformation defined by z0、z1、...、zn on the complex plane. It will form a nth-circular Bezier Curve with unit circle centering on the origin.

加入校內科學研習社後，和學長們討論去年參加全國科展的內容─關於第一部分碘液和葡萄糖的氧化還原，顏色消失已充分明瞭。但有關於第二部分碘─澱粉藍色複合物受熱顏色消失，冷卻可恢復的問題，大家仍有許多疑問，評審教授以認為她們以T3-→T -來討論顏色消失有誤。我們深信，只要先有不同假設，再改變各種控制變因或操縱變因，一定可探討碘─澱粉呈色反應之癥結所在，同時我們改以定量方法，再加以研究。