將一個集合{1,2,...,n}分成數個非空的集合（組，區塊），稱為此集合的一個分割。如果可以找到1 ≦ a 已知無孤立點無交錯分割以Riordan 數{rn}n≥0 =1,0,1,1,3,6,15,36,... 來計數。在這篇文章中我們研究無孤立點無交錯分割的一些性質。 首先我們考慮無孤立點的無交錯分割按區塊的細分。我們得出：集合{1,2,...,n}恰含k個區塊的無孤立點的無交錯分割的個數為： 其次，我們證明bn,k和多邊形的剖分有令人訝異的關連。令dn,k是用不相交對角線將凸n 邊形分成k 塊的方法。我們用代數方法證出 bn,k = dn+2−k ,k，也給了一個新的組合證明。 最後，透過對應的方法，我們找出了七個嶄新的組合結構，這些結構都是以Riordan 數來計數。 Partition the set {1,2,...,n} into several nonempty sets (blocks) and call it a partition. If there exists 1 ≦ a It is known that the nonsingleton noncrossing partitions are counted by Riordan numbers {rn}n≥0 =1,0,1,1,3,6,15,36,... In this paper we study the properties of them. First we consider the enumeration of nonsingleton noncrossing partitions in respect to the blocks. We prove that the number of nonsingleton noncrossing partitions of {1,2,...,n} with k blocks is Then we give a connection between nonsingleton noncrossing partitions and polygon dissections. Let dn,k be the ways to dissect an n –gon with noncrossing diagonals. We prove that bn,k = dn+2−k ,k We also give a combinatorial proof. Furthermore, by way of the technic of bijection, we find 7 new combinatorial structures counted by Riordan numbers.

(一) 本研究首先導出ΔABC等分面積線移動所包絡出的曲線方程式，其圖形是由等分面積線段PQ(其中P、Q皆在ΔABC的周界上)的中點所構成，具有3 條曲線段(分別為3 條雙曲線之一部分)的封閉曲線，形成內文所謂的「包絡區」。利用包絡區的區隔，我們找出：1.當P 點在包絡區內，則有3 條等分面積線。2.當P 點在包絡區周界上，則有2 條等分面積線。3.當P 點曲線段的端點或在包絡區外，則有1 條等分面積線。(二) 以三角形的研究當基礎，擴展到凸n 邊形(不包含點對稱圖形)，我們發現：等分面積線數量之分布，仍然與包絡區息息相關，且1.凸2m +1邊形最多有2m +1條等分面積線。2.凸2m邊形，必發生內文所謂的「換軌」。因此，最多只有2m ?1條等分面積線。3.包絡曲線所分割出的區域，於相同區域其等分面積線數量相同，且相鄰兩區域數量差兩條。(三) 若凸n邊形有k個「換軌點」，則此n邊形過定點等分面積線至多有n ? k 條。(四) 若凸n 邊形為點對稱圖形(如正偶數邊形、平行四邊形)，則所有等分面積線皆過中心點。1) Our study got a curve equation of bisectors of a triangle. When a bisector is moving, we get three curves. They’re constructed by the midpoints of PQ. The three parts of the three curves make a closed curve which we called “the Envelope Area”. We found out:\r 1. When Point P is in the Envelope Area, we can get 3 bisectors. 2. When Point P is on the curves of the Envelope Area, we can get 2 bisectors. 3. When Point P is outside of the Envelope Area, we can get only 1 bisector. 2) Based on our study of triangles, we found that in Convex polygons(not including Point Symmetry Convex polygons), the distribution of bisectors is related to the Envelope Area. 1. We can get at most 2m +1 bisectors in a 2m +1 Convex polygon. 2. We can get at most 2m ?1 bisectors in a 2m Convex polygon, and the bisectors on the curves will “Change the Track”. 3. Envelope curve will divide a Convex polygon into several areas. The same area has the same numbers of bisectors, and the near areas have less or more 2 bisectors. 3) If a Convex polygon has k points to change the track, it will have at most n – k bisectors.\r 4) In a Point Symmetry Convex polygon (ex. Regular 2m convex polygons and parallelograms), all the bisectors will come through the center point.

本研究發現：\r 一、 液滴滴入水中產生甜甜圈結構的過程有六個時期：\r 1水面反彈。 2杯狀期。 3甜甜圈小環期。\r 4甜甜圈大環期。 5滯留期。 6無序散逸期。\r 二、 液滴滴入水中產生甜甜圈結構的影響因素有：液滴落下時的高度、液滴的濃\r 度、溶液的濃度、水溫、水面擾動、液滴大小、液滴之初速……\r 在本研究的觀察中，有幾點結論：\r (一)當高度差=0cm 時，都可以形成甜甜圈。\r (二)滴液濃度為8%及10%滴入純水中，比較容易形成甜甜圈。\r (三)密度小的滴入密度大的溶液或密度相差太大時不適合甜甜圈結構形成。\r (四)在不同容器中觀察產生甜甜圈結構過程，對實驗結果並無顯著之影響。\r (五) 改變水溫會使觀察的情況更複雜。

有一次上實驗課時看到鄰桌的同學正以實驗室的毛細管吸吮一瓶葡萄汁，每當他吞嚥時，毛細管內殘餘的葡萄汁竟然以近似等速的狀態降回果汁瓶裡，這似乎違背了重力加速度的常理，是毛細管的影響嗎？還是葡萄汁特有的現象？這與毛細管插入葡萄汁的深度有關嗎？ \r 後來在資優科學營中我選擇研究以毛細管測量液體黏度的實驗，並且在學校選修的專題課程中即以此為題目做長期的研究，毛細管中液體的流速真是固定的嗎？重力不會影響流速嗎？若流速真為固定的，如何控制或改變流速呢？是否可以利用流速來測出液體黏度呢？ \r 經過長期地研究及動手實驗改進，我們利用毛細管中液體的等速及不等速流動的特性，發展出了兩種既精簡又準確的液體黏度測量法，以下就是整個研究及創作的過程。\r

家鄉河川受到重金屬汙染的消息引發我對於改善重金屬汙染水進行研究的興趣。在這個實驗中，利用乾燥的橘子皮、檸檬皮、香蕉皮和花生殼作為吸附水中重金屬的物質，利用綠豆發芽率作為檢測水中重金屬離子是否減少的指標。結果發現受到重金屬汙染的水使綠豆發芽率降低。以果皮處理受污染的水一段時間後，發現果皮對於某些重金屬具有吸附的作用。其中，橘子皮對於鈷離子和鎳離子的吸附效果最佳；檸檬皮對於鈷離子、鉛離子和鎳離子的吸附效果較佳。香蕉皮對於鉛離子、鎳離子和鋅離子的吸附效果最好；花生殼對於銅離子的吸附效果最佳。但是，儘管果皮可以吸附重金屬，但大部份以果皮處理過後仍然無法使受污染的水恢復到未汙染前的狀況，所以避免人為汙染，才是解決汙染問題的根本之道。

利用鐵離子(Fe3+)催化過氧化氫(H2O2)產生高活性自由基，並利用自由基降解汙染物的方法稱為Fenton法，然而傳統Fenton法中的鐵離子為液相催化劑，會隨降解後的汙水排放，環保署公告的廢水放流標準規定鐵離子濃度必須小於10 ppm ，為了符合標準，廢水必須加入凝集劑排除鐵離子，造成大量氫氧化鐵汙泥，造成氫氧化鐵汙泥的二度公害，且不符合綠色化學中充分利用原料及將耗損降低的主張。因上述缺點，本研究將傳統Fenton法中的液相催化劑，改利用聚丙烯酸(PPA)錯合鐵離子形成的固相催化劑，改善鐵離子會隨降解後汙水排放的缺點。實驗發現固相的鐵離子催化劑降解速率較液相鐵離子催化劑慢，但在降解後的汙水中，固相催化劑降解的汙水驗出微量鐵離子，較傳統Fenton法鐵離子會隨降解後汙水排放的現象，減少大量鐵離子耗損。

在國中生物課本第二冊第七章，提到鴨跖草萌芽的實驗，實驗結果往往不佳，不是花粉數目太少，就是萌芽情形不理想，尤其於不同濃度之葡萄糖溶液對花粉萌芽的影響，在製作標本時，滴加不同濃度葡萄糖溶液於取玻片上量的多寡難於控制，而且溶液容易流動，常導致不易觀察或污染顯微鏡，影響實驗進行及結果，為使初學者能避免操作上的困難，我們便著手於賞驗方法的改良研究，除改以洋菜配製固態培養基以代替溶液，同時於不同時間採取花粉研究其萌芽率，以決定何時開花之花粉成熟度，決定萌芽最佳時期。

我們發現在加熱板上製造出溫差，並滴水在加熱板上，水珠會由高溫往低溫處移動的現象；我們判斷在較高溫處所產生的蒸氣氣膜厚度較低溫處厚，使水珠向低溫處傾斜，導致水珠往溫度低處移動，由本實驗得高溫板上水珠會向較低溫度方向進行散射現象(以上敘述貼合研究動機圖示)。水珠在溫差20℃最高可以爬上0.3度的坡度，且溫差越大水珠能攀爬的坡度也愈大。在水珠碰撞的部分，根據我們實驗結果，在高熱板上滴水可以形成水珠並進行碰撞與移動。藉由控制溫度及水珠大小找出其對恢復係數的影響，證明在固定溫度下水珠大小的增加，會造成水珠的恢復係數e隨之遞減；而隨溫度的增加，則水珠的恢復係數e會隨之增加。

台灣氣候潮濕，黴菌及細菌無所不在，對健康及環境均造成污染，如何找出有效又經濟的殺菌方法？本實驗緣自2003 年科展成果後續探討，是不是除了在清潔力之外，能找到可以清潔又可殺菌的肥皂配方，一舉二得，給於更深入的延伸目的及發現，進而能做出更有深度的科學研究。本實驗是以天然素材、具環保、成本低且具殺菌力的肥皂為標的。為了使實驗結果更客觀，我們徵求班上同學的意見，選出外觀顏色最討喜的肥皂。綜合本次研究目的及實驗內容如下：(一) 回鍋油皂基添加哪些添加物可增加殺黴菌能力及殺細菌能力？哪一種效果最佳？(二) 把最好的三種殺菌添加物混合，殺黴菌能力及殺細菌能力如何？與沒有混合的比較？(三) 跟市面上印象中具清潔且殺菌品比較，殺黴菌能力及殺細菌能力如何？成本是否經濟？(四) 肥皂裡加入天然色素，能否改變顏色？顏色是否可變得漂亮？對殺黴菌能力及殺細菌能力有沒有影響？歷經十個月的實驗後，本組實驗得到結論摘要如下：(一) 本實驗所有添加物以「回鍋油+蜂蜜+抹茶皂」(以下簡稱蜂蜜抹茶皂)，不論殺黴菌、殺細菌上及使用成本表現最佳。(二) 本實驗自製肥皂，殺細菌能力平均比殺黴菌的能力好，以蜂蜜抹茶皂為例，殺細菌能力是100%，殺黴菌能力是62%。(三) 在殺黴菌能力及殺細菌能力上，比起市面上銷售的清潔殺菌品，本實驗成果(除酒精外)最佳。(四) 給廠商的建議：蜂蜜皂是一個很好的殺菌肥皂(殺黴菌效果50%，殺細菌效果100%)，成本低，顏色也很漂亮，但蜂蜜抹茶皂殺黴菌能力及殺細菌能力最佳(殺黴菌效果62%，殺細菌效果100%)。(五) 用黴菌或細菌作實驗不能涵蓋其他菌種的殺菌力，但因其他菌種取得困難或有危險，如SARS 的冠狀病毒、如禽流感病毒，都無法當成小學生的實驗，但我們可用同樣的科學精神，探討未來更多的研究主題，作更有價值的發現。

從 8? ×? 6? 格棋盤的一子棋遊戲開始引起我們的研究興趣，進而得出一子棋是一個不公平的遊戲，而且先下者較佔優勢，但我們也解出了所有 M? ×? N 格一子棋棋盤後下者必勝的座標數列；在研究的過程中我們藉由將一子棋變形成蜂窩型棋盤時，察覺到其路徑數個數將呈費氏數增加。而一子棋遊戲規則像中國古老遊戲 ”拈 ”，所以我們發明出拈子棋，因破除了棋子走法的方位限制，也找出了後下者必勝數列而非座標數列。我們仍不滿足這樣的結果，我們知道棋手所下步數的限制會影響後下者必勝數列的生成，所以經過一連串的嘗試，我們最後把倍數的想法融入了一子棋的遊戲規則中，發明了(M，N)型棋，也找到了令人讚嘆美麗且規律生成的後下者必勝數列－泛費氏數列。

流體旋轉時，外圍及底部流體，因槽壁及槽底摩擦力的影響，流速較慢，相對的壓力也較大，導致外圍的水流會轉入中心。發現本實驗的渦流為強迫與自由漩渦組成。實驗中，探討f(轉動器的頻率)、H(總水深)、y(?入深度)、R(轉盤半徑)四者與角形數間的關係。若y、R 愈大、H 越小，隨著f 的增大，可觀察到的形狀邊數越多；反之，若y、R 愈小、H 越大，則f 愈高，所形成的圖形半徑愈大，易超過轉盤，不易觀察。依白努利方程式，外層水流的流速較慢，而內層水流的流速較快，故外層壓力大而內層壓力小，水會由外往內流，而此渦動流於轉動液面產生的剪力，可能為產生N 邊形漩渦的主要原因之一。流體旋轉系統中，因轉動而產生流體離心力與內外層壓力差交互作用下，於某特定相關的因素條件下，形成特定角形數漩渦，是本實驗的重要發現。When fluids are in rotation, fictitious force given by the container brings about the relative decrease of speed of the bottom and outer layer of water, which causes its pressure to increase, and water to spin inward, resulting in a vortex motion with N-corner polygons formed at the surface of the rotating plate. During this experiment, we discover that the vortices consisted of free and forced vortex and the polygons vary as control parameters f(rotation frequency), H(height of fluid), y(depth of the plate), and R(radius of the plate) change. The larger y and R are,the smaller H is, the more corners show up as f increases. On the contrary, the smaller y and R are,the larger H is, few polygons are identified since the rotating radius of polygons are larger than the plate. According to Bernoulli’s principle, smaller velocity of the outer-layer water causes water pressure to increase and water to spin inward. During this process, shear force is developed at the surface of the rotating fluid, which we believe is the main cause of N-corner polygons. In a rotating system, the interaction of centrifugal force and differential pressure causing a certain Ncorner polygon to be formed under different controlled parameters is our main discovery.