In2013,Adamsintroducedthen-crossingnumberofaknotK,denoted by cn(K).Inequalities between the 2-, 3-, 4-, and 5-crossing numbers have been previously established.We prove c9(K)≤c3(K)−2 for all knots Kthat are not the trivial, trefoil, or figure-eightknot.Weshowthisinequalityisoptimalandobtainpreviouslyunknownvalues for c9(K).

在現今社會，個人越來越依賴自主學習以提升技能和知識，而舞蹈學習尤其受到關注。然而，在沒有專業指導的情況下，學員往往難以掌握舞蹈動作的細節，也難以清楚地評估自己的表現與標準示範之間的差距。 為了應對這一挑戰，本研究利用人體姿態識別演算法OpenPose，捕捉舞蹈者的關節點。通過這項技術，針對舞蹈的標準動作、力度、流暢度等方面，成功地開發出一款自動評分系統。 通過人體姿態識別技術，我們能夠深入分析舞蹈動作的細節，讓學員與標準舞蹈動作進行比較，以確認學習上的差異。我們希望通過這項研究，學員能在沒有專業指導的情況下，利用網路平台創建更有效且有趣的自主學習環境。

羽毛廢棄物是畜產類廢棄物排名第二大宗，為了提高廢棄羽毛的實用價值與效益，我們利用啤酒酵母菌進行雞羽毛分解。經啤酒酵母分解一個月後的雞毛液肥，含有胺基酸濃度約為0.17 M，是市售肥組的5.67倍。以雞毛液肥灌溉高經濟價值的彩椒及福山萵苣，彩椒果實總質量比市售肥組高出84.6%，果實中含有葡萄糖濃度為23.8%，比市售肥組多出49.7%。碘量法的抗氧化能力試驗中，發現雞毛液肥灌溉的彩椒抗氧化能力比市售肥組高出91.3 %。清除DPPH自由基的能力實驗中，雞毛液肥組的彩椒果實汁液清除自由基能力約是市售肥組的2.82倍。雞毛液肥灌溉的福山萵苣的葉片總質量比市售肥組多出116.2%。可以發現啤酒酵母分解的雞毛液肥，確實可取代市售肥料，當作彩椒及福山萵苣的養分。希望藉此研究能將廢棄雞毛再利用，減少環境負擔，讓農業永續發展。

本研究探討環境因子對蜜蜂行為的影響，涵蓋飛行方向、食物選擇、溝通呼叫及禦敵行為等方面。結果顯示，蜜蜂明顯偏好高濃度糖水，並對短波長顏色（如藍色和紫色）表現出強烈吸引，這與牠們的感光細胞特性相符。蜜蜂離巢時，展現出顯著的正趨光性，並能依靠長期記憶和空間學習優化飛行路徑，表明牠們具備高度的導航能力。有趣的是，巢口顏色對蜜蜂的出入口選擇並無顯著影響，顯示牠們依賴其他環境線索進行決策。 此外，蜜蜂在採蜜過程中可能會傳遞食物的「顏色」訊息，幫助追隨蜂更有效率地尋找蜜源，提升覓食的整體效能。

本研究中所提到的「真心」即為三角百科中的Kimberling center 𝑋174，Wabash center 為三角百科中的Kimberling center 𝑋364。我們從Wabash center 的作圖法，延伸出真心的概念，並定義了真心三角形。在本研究中，我們對於真心三角形、旁邊三角形、旁心三角形及其內切圓、外接圓進行研究，發現這些三角形有相似關係，其各心間則存在共點、共線、共圓等性質。同時我們也找出了真心的barycentric coordinates，並以此作為基礎，提出真心之幾何作圖法。

本研究主要在探討𝑀×𝑀及𝑀×𝑁的矩形中，將中心點一筆畫連接後的最少及最多的轉折次數。在最少轉折次數的部分，我們使用直橫線數量法探討直線與橫線的數量，並找出與轉折次數之間的關聯，最後利用反證法進行證明；在最多轉折次數的部分，我們根據𝑀𝑀與𝑁𝑁奇偶數的不同進行分類討論，一開始先利用外圍擴充法找出圖形畫法，最後利用直橫線數量法完成證明。

本研究探討了柏拉圖多面體滾漆問題，並且延伸至半正多面體進行研究。正多面體中分別為正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面 體。研究中證明柏拉圖多面體滾漆問題中的地圖限制以及有解充要條件。為了簡化問題難度，我們先簡化遊戲規則使「掉落」情況不被討論，再轉換回原規則的問題。在研究中我們於正四、六、八、二十面體使用原本的遊戲地圖，而其他延伸研究則自創地圖進行討論。

本研究以豬牙作為人牙替代模型，採用CIELAB 色彩空間中L值作為牙齒亮白度量化指標，系統性探討過氧化氫與等效過氧化脲於漱口水與凝膠兩種劑型下的牙齒美白效能差異。基於研究結果開發牙齒美白使用方針建議app，結合使用者初始牙齒L值、期望之美白效果及使用頻率，以研究結果作為依據演算出客製化的美白方針，提供使用者調配漱口水與凝膠之方法與使用方式，精準控制活性成分暴露量，避免氧化過度或反應不足。本研究創新地將 CIELAB之L值量化結果整合至智慧推薦系統，同時深化了居家牙齒美白產品之科學基礎，亦為個人化口腔保健管理提供新思維，有效提升國人居家美白安全性與使用者體驗，並有助於減輕牙科醫療負擔，具備顯著之社會與產業價值。

本研究主旨是在探討颱風與季風互動對颱風風場不對稱性變化的影響，分析了2013至2024年9月期間的颱風數據，結果顯示，季風是影響颱風風場形狀的關鍵因素。在東亞特有的季風氣候中，84%的颱風受到季風共伴的影響，我們發現，在季風共伴下，颱風的七級風場會呈現螺旋形，東北季風影響下多呈「6」形，西南季風影響下多呈「9」形，這些形狀可用「等角螺線」來描述，對於季風影響不明顯的颱風，風場形狀則更接近橢圓。我們進一步計算集合重合率以驗證形狀描述的準確性。 此外，本研究將颱風生活史的流型演變分為五類，結果顯示，環境條件相似的颱風，在流型變化上具有相似性。我們還利用颱風氣流場裝置模擬颱風風場，測量風速和風向，深入探討環境風場對颱風不對稱性的影響。

此研究探討正多面體(柏拉圖立體)再進行截角(truncation)和截半(rectified)的情況下，觀察其所形成的截角截半後的圖形變化，即其中一種阿基米德多面體的生成方式，並利用Geogebra電腦軟體模擬繪製，藉此來協助我們觀察並計算截角截半後的圖形周長及表面積，並分析其前後圖形比例之關係。

本研究旨在開發選擇題手寫卷的自動閱卷與成績登記系統，以減輕小老師與教師在小考閱卷及成績登錄上的負擔。為改善選擇題手寫卷的閱卷方式，本研究結合手寫字辨識技術、雲端成績登記存放及網頁式查詢三大功能，開發AI輔助手寫卷閱卷系統。使用者設定考試相關資訊(如考試名稱與標準答案)，並上傳答案卷影像，即可透過系統自動辨識答案且計算成績，並將結果即時傳送至雲端資料表，供教師透過網頁查詢。本研究成果可有效降低人工閱卷負擔，提升成績管理的即時性與便利性，期望為校園提供更高效的閱卷與成績登記方式。

本研究透過運用AI技術輔助程式設計聲音合成器程式，以探索聲音波形生成與觀察分析聲音頻，實驗透過不同波形振盪器，並調控ADSR參數，與濾波器組合，我們用不同的合成方法，獲得各類樂器聲音的最佳合成參數，再以先前完成的自製樂器加以改進，透過Arduino偵測串聯電阻分壓電路傳遞琴鍵按壓的演奏訊號至電腦，再經由合成器運算合成輸出對應的樂音，藉由選定不同樂器模組實現樂團合奏。在研究過程中，為解決電腦端即時運算合成音色的耗時問題，我們預先合成並暫存不同樂器音色，提升演奏時的反應速度。最終，本研究在開源程式與AI的輔助下開發出一套支援多人即興演奏的音樂合成器系統，提供創新的音樂創作與演出方式，降低傳統樂器練習的成本與噪音問題。