這是一份將近持續四年的研究，而這一年佩爾質數的出現，讓我們的討論「突飛猛進」。 佩爾方程式是形如𝑥2−𝑚𝑦2=1的方程式，其中𝑘不為完全平方數之正整數。我們定義廣義佩爾方程式是形如𝑥2−𝑚𝑦2=𝑛 的方程式。在過去的研究中，我們主要從𝑥2−𝑘𝑦2=𝑝 (𝑘,𝑝 皆為互質的奇質數) 的正整數解開始研究，接著延伸到 𝑥2−𝑘𝑦2=2𝑚𝑝1𝑛1𝑝2𝑛2⋯𝑝𝑗𝑛𝑗，進而得到了解的唯一分解性質。而本次的研究，延續之前的工作，對佩爾質數展開了討論。利用蜈蚣彘，我們成功地發現了一些佩爾質數，猜測出一些可能的結果並證明；同時我們對佩爾質數的生成結構做了相當程度的了解。作為結束，設法利用分析的方法解決的之前的問題，以及對方程式的不可約解，是否存在較低次方根解，給出了必要條件。

臺鐵太魯閣號於 2021 年 4 月撞擊滑入軌道的工程車的事故，是 60 年最嚴重一場意外。 北捷文湖線也曾有大型招牌掉落事件，顯示軌道安全的重要性。本研究參訪高鐵、臺鐵、北 捷和新北捷-淡海輕軌，將四大軌道公司的異物偵測系統做探討。採用 Yolo 系列物件偵測演 算法，進行模型訓練，設計一套「高效能 AI 軌道異物偵測系統」。將攝影機架設在車頭，並 加裝望遠鏡頭，達到遠距離的預警。採用可見光攝影機與 AI 物件偵測的技術，並應用內嵌 系統 Jetson TX2，讓列車提前確認是何異物，提升安全性，採取不同煞車措施，降低誤點率。 以台北捷運文湖線為實驗場域，測試各種天候條件，如：晴天、雨天、傍晚等。也在不同場 域實測如：臺鐵內灣線、淡海輕軌。本系統平均準確率 95% mAP 與運行的幀率達 40FPS， 能縮短辨識時間，讓駕駛能立即反應和提前預警，達到保障人車安全的目的。

本研究主要在探討太陽系外行星的天空外觀和適居性。除了光的散射，行星大氣層中的物質大小、密度和溫度、行星的恆星類型、溫度和光度也是影響天空外觀的因素。我們使用Python程式語言從科學資料庫中提取和轉換太陽系外行星的數據，並用GPT-4平台來創造一個人工智慧模型。透過專家訪問和科學論文閱讀，我們把所學到的知識用英文寫出描述影響天空外觀和適居性的因素以訓練這個模型。最後，結合我們輸入的太陽系外行星資料，我們訓練的自定義人工智慧模型成功預測出符合科學數據之天空外觀和適居性的描述，並製作出細節豐富的圖片。我們是第一個使用人工智慧來預測太陽系外行星的天空外觀和適居性的研究，也自創了一個新且容易的恆星光譜類型記憶口訣。

本研究開發RNN和LSTM長短期記憶網路的樂齡行為關懷系統，搭配樹莓派、多種無侵入式感測器和鏡頭，實現對獨居者日常活動的實時監控和情緒辨識。 將系統收集的數據儲存在SQLite資料庫中，通過LSTM長短期記憶網絡進行分析和學習，提高系統預測準確率。我們還根據各行為感應器觸發的頻率、語音關鍵字，臉部情緒辨識結果等數據，使用隨機森林演算法分析使用者的狀態，建立客製化的模型以優化系統的預測性能。此外，系統配備語音識別功能，提供求救信號發送，及負面情緒安撫等功能。 通過長期的數據收集和分析，本系統能夠觀察並預測獨居者的活動力和情緒的變化，早期發現獨居者的身心健康是否有風險。

在先前的研究中，特定的格點多邊形如正方形與直角三角形曾經被探討過。任意格點多邊形性質被歸類於資訊研究，目的為用程式估計當範圍很廣或邊數很多時格點多邊形性質的數值解。 先前研究中，作者已針對格點多邊形的性質進行初步的探討，本研究進一步補足先前研究的缺陷：用數學化的方式探討格點多邊形的邊數最大值。研究當中探討的多邊形包含凹多邊形及凸多邊形，研究者改良先前研究中的「迂迴作圖法」，提出新的「對稱作圖法」，以「定義基本構形、先作短邊、再作中間」的順序，確保必定可在特定範圍內建構出符合最大邊數解的格點多邊形；並以數學歸納法證明當矩形範圍短邊為12單位以上時，必存在格點數與邊數相等的格點多邊形，達成重要的突破。 本研究推導出格點多邊形的邊數最大值如下式。運用本研究的結果，將有助於在有限區域或空間中依照特定規律設計最大路徑，例如遊樂場迷宮、駕訓班車道、或積體電路設計。 S(n,m)={█(4 {if n=1∨m=1}@3n+1 {if n=2∨m=2}@24 {if m=n=4}@(n+1)(m+1) {otherwise})┤

本研究利用合成不同形狀TiO2/MnO2/ZnO，藉由改變接觸面積進而提升染料去除率。在初實驗中將9種金屬氧化物與甲基橙/亞甲藍/甲基紫反應，發現TiO2-甲基橙與MnO2-亞甲藍之組合有較好的去除能力。在改變反應溫度的實驗中，TiO2-甲基橙之去除率隨著溫度上升而降低，當中以25℃ 海膽形表現最佳，而在MnO2-亞甲藍的反應中，則以海膽形在25℃時表現最佳。最後改變染料溶液的pH值，發現TiO2海膽形在pH5.7時表現較佳，MnO2則是在低pH時有較高的去除率，推測該結果與顆粒零電荷點及染料pKa值相關。透過BET與PL分析，TiO2海膽形及MnO2海膽形有較佳的比表面積與氧化能力，故整體去除效果最佳。此外本實驗亦利用LC-MS驗證反應的確成功分解染料，且利用生物試驗證實處理後之溶液對生物毒性明顯降低。

The equation of an ellipse and quadratic residues are well-known concepts in elementary geometry and number theory, respectively. While the properties of ellipse equations in Euclidean space have been extensively studied, many characteristics of quadratic residues, such as consecutive quadratic residues, have also been explored in past research. In this study, we discovered the characteristic polynomial of the equation of an ellipse over finite fields Fp, a single-variable polynomial that shares the same roots as the ellipse. Furthermore, by examining the parallels between the equation of an ellipse and the pairs of residues and nonresidues, we derived a characteristic polynomial for this concept and demonstrated its connection to the Catalan number, a significant sequence in combinatorics. This research was conducted through the following steps. First, the power sums of the roots of the ellipse in Fp were calculated using the Legendre symbol and Euler’s criterion. Next, the characteristic polynomial of the ellipse was determined using Newton’s identity, generating functions, and Vieta’s theorem. Finally, leveraging the equivalence between the equation of the ellipse and the pairs of residues and nonresidues, we established the main results connecting these two concepts with Catalan numbers.

本研究旨經「阿基米德積木」堆疊操作與研究，透過「角度」、「線段」等不同變因進行演練推算，探索與堆疊高度最大值的相關。 在研究堆疊螺旋塔的過程，發現到積木交疊處介於 6

無人機在進行定位時，多半是依靠內建GPS晶片與內建慣性測量單元(Inertial Measurement Unit, IMU)進行定位，然而高精度的IMU及GPS晶片受限於高成本無法在一般無人機上運行；此外，各種定位系統均有其適用範圍，若無人機運行於定位系統之適用環境外，其定位精確度會下降，進而導致無人機飛行時會與預期路線產生誤差。 在本研究中，我利用Webots模擬軟體進行無人機模擬，藉由無人機鏡頭所拍攝的連續兩幀圖片差異，產生差異與角度及距離間的關係資料集，並利用此資料集來訓練深度神經網路，將產生模型用以模型迴歸出連續圖片間的旋轉角度偏移量，以此偏移量輔助無人機進行飛行校正。 經過多次實驗與修改，我比較了幾種不同的資料處理與分類方法，找出當中最佳結果的機器學習模型後，將此模型套入模擬環境中輔助無人機飛行，使無人機飛行於複雜環境時，成功提升飛行準確度。

我們學會使用表面張力儀，也利用天秤自製工具，透過實作驗證溫度影響表面張力，每調製泡泡水皆測液溫及表面張力。將幾何模型由泡泡溶液中提離，模型中出現的薄膜因泡泡液體的表面張力而存在，泡膜間相接觸後會重新分配分子位置利於達穩定且內凹的泡膜型態。不同的速率、不同的方位（點、線、面）將模型拉離泡泡水面，發現點先離開泡泡水的內凹薄膜完整成型率最高，面先離開泡泡水成型率最低，邊數越多的幾何模型中間越不易形成結點或小平面的薄膜。對著泡泡薄膜中間打氣可形成與該模型圖案相近的氣室；可藉由抽氣筒將此氣室內的氣體抽出，並恢復該泡膜無氣室前之型態。若乾燥針尖戳入某一片泡膜，可發現，沒被戳的部分區域的泡膜幾乎可保持原貌。

2021年Todor Zaharinov在數學雜誌上提供了一道幾何證明題，題目為「給定任意三角形𝐴𝐵𝐶與動點𝑃，以𝑃點和三角形邊（或其延長線）上的點，構造三個旁接三角形，並使得𝐴、𝐵、𝐶點分別為其重心，再取旁接三角形的頂點構造兩個 衍伸三角形，證明衍伸三角形恆面積相同」。 我們的研究在原題構造中發現了新性質，並創新將其中的「重心」更換為其他形心構造與剖析，並關心衍伸三角形的面積關係，更探討滿足特殊條件時，動點 𝑃 在平面上的軌跡。 值得一提的是，當以三頂點為旁接三角形的「垂心」時，滿足衍伸三角形的有向面積的和與差為0的𝑃點，其軌跡構成外接圓及著名的Kiepert雙曲線，這是一大亮點。

本研究在探討「利用數個半徑不相等的圓，去完全覆蓋三角形所需的圓面積總和之最小值」，其最小值以三角形的邊長、角度及外接圓半徑去作表示。 首先，我們討論了利用1、2、3 個圓去覆蓋的情形，並分銳角、直角、鈍角三角形去做分類，有完整的結果。並在銳角及直角三角形中，發現有相似的結論。 再者，用多個圓覆蓋時，我們以特殊樣式去作排列，歸納出最小值的規律。