多數人購房會要求生活空間的最大利用，其中樓梯間的置物櫃設計就是其中一例，本文是由置物櫃排列所發展的數學問題。 假設在樓梯下裝設矩形櫃子，並允許每行的櫃子最多只有兩種樣式：一種是該行的每個櫃子都是單位高度，另一種是該行最多只有一個超過單位高度的櫃子；而排列方式則是最高櫃子位於最下方且最底層的高度則是逐行高於或等於前一行的櫃子，我們將這樣的問題稱為「矩形堆疊」。 透過動手實作發現「矩形堆疊」與路徑數有關，於是建立與路徑的一一對應關係，並研究路徑問題。經由Jonah’s公式發展路徑問題後，再回來解決「矩形堆疊」問題；此外也研究變化不固定的路徑問題，對於特殊結構例如拋物線下「矩形堆疊」，都有不錯的結果。

本研究嘗試以海藻酸鹽設計製作雙層水膠，並搭載奈米粒子於雙層水膠中，達到兼具治療與保護傷口的效果。 透過實驗數據驗證，此雙層水膠之儲存模數相比人體細胞外間質，得知水膠足以提供傷口張應力。而表面帶負電之奈米粒子，其粒徑尺寸~1849nm，以及界達電位負電峰值為-19.9 ± 0.2mV，能夠有效地吸附帶正電之生長因子並持續釋放。另外，藉由水膠不同的降解速率及載藥特性，達到首先減緩發炎反應，並給予血管新生功效。動物實驗成功建立模型，由一般傷口證實，加入水膠與抗發炎因子IL-10/促血管新生因子VEGF+PDGF療法的實驗組別，其修復期較短，由db/db糖尿病鼠模型證實生長因子的釋放有助於傷口癒合。說明研究中的海藻酸鹽雙層水膠系統，極具持續開發與應用的價值。

近緣皺蟹Leptodius affinis是一種小型的潮間帶螃蟹，主要棲息在有沙且上面有石塊的區域，以蛻殼成長，夏季蛻殼較頻繁，繁殖季在4-9月，具有固定的挖沙模式，會先在沙上爬行，碰到石頭，便背靠石頭，利用步足來回挖掘，並利用螯推開沙子，使自己沿著石頭下緣進到沙內。但牠們並非隨時都能進行挖沙，當沙子沒有淹水時，頂多僅能半個身體進去，也就說退潮時在沙內的近緣皺蟹應該都是有淹水時就已經進去，等潮水再漲上來時，才可能爬出來活動。那為什麼要挖沙且又讓自己被石頭壓著呢？我們發現有幾個重要原因：1.受海浪影響小；2.環境溫度穩定；3.可躲避天敵及彼此間相殘；4.可遮光；5.退潮時，沙內不但保有較多水分，且正好可以緩衝石頭的重量。

本研究主要是解決家庭廚房水槽的油汙水問題，回收因脆化無法再使用的聚乳酸3D列印線材，透過家裡手邊現有的工具和材料，用烤箱及熱壓鬆餅機把小蘇打粉加熱產生二氧化碳，有效形成內部具有泡孔的聚乳酸多孔材料，以及為了提升吸油率及重複吸油，自製棉花糖機噴絲製成聚乳酸纖維，研究結果發現聚乳酸纖維吸油率比市售產品更好，再透過蔬菜瀝水器甩油，甚至可以重複吸油至少五次。最後本研究把聚乳酸纖維放入行李真空壓縮袋抽取空氣加壓，並用吹風機熱風塑型，成功做出瀝水杯形狀的聚乳酸瀝水杯吸附家庭油汙水的油脂。聚乳酸廢材回收再利用作成吸油材，還可重複使用，比一次性使用的市售產品更環保，相信未來能有更廣泛的應用，達到永續發展的目標。

近年來，仿幣氾濫的問題引發廣泛討論，日常生活中我們也曾經收過仿幣。本實驗利用真、仿幣的物理性質及聲音的波形來比較它們的差異，希望可以找出分辨真、仿幣的方法。我們測量了真、仿幣的體積、重量及密度，並且利用專業錄音室的電容式麥克風及音頻分析軟體來收集不同的真、仿幣敲擊相同金屬物體所產生的聲波波形。實驗結果發現： 一、物理性質：仿幣與真幣相比，直徑相似、厚度不一、重量較輕、密度有顯著差異。 二、聲波測試：在8.5K(Hz)以上頻率，真幣具有相似的波形與峰值區間、仿幣峰值區間比同幣值真幣低。 三、聲波比其他物理性質更能鑑別真幣和仿幣。

2050年淨零碳排的目標，全球積極發展再生能源維持充足的能源供應。本研究以廢棄光碟片製作特斯拉渦輪，學習大自然黃金螺線改良；分別以空氣及水兩種流體，比較渦輪轉速效果，轉子採用螺線數量：0條、2條、4條或6條，分別搭配0度、10度或20度入口角度。氣源壓力為1.00kgw/cm2時，採用4條螺線，搭配0度入口，轉速為1735RPM，相較特斯拉渦輪轉速746RPM，轉速提升133%；水源壓力為0.50kgw/cm2時，採用4條螺線流道，搭配10度入口，轉速為657RPM，相較特斯拉渦輪轉速381RPM，轉速提升72%；透過黃金螺線引導，可有效提升低壓流體的渦輪轉速。以氣源帶動渦輪成功驅動輪轂發電使LED燈照明；並對鋰電池進行充電，展示特斯拉渦輪發電效果。期盼可以發展成小型發電裝置並應用。

1.在正n邊形中作內角k等分角線、外角平分線和原邊上作k'等分垂直線（K,K'>2，K,K'∈ ），這三種直線經各自相交或兩兩搭配後相交得到五種相似正n邊形，其邊長、面積會與原正n邊形間存在規律的關係一般式。 2.承1，內角k等分角線與其外角平分線之交點會連成內外分角正nk邊形，滿足邊數n和k的特定關係式時，才能作出此種正n邊形。 3.原正n邊形的邊或其延長線，恰可平分內外分角正nk邊形和外角邊垂正nk'邊形的邊。 4.內分角正nk邊形、邊垂正nk'邊形和內角邊垂正nk,k'邊形皆會出現五點共圓的情形。 5.承1的五種正n邊形會出現旋轉，其旋轉角度與n、k、k'有關，並有一定的範圍。

本研究由文獻[1]的一道題目進行發想。題目是給定正方形ABCD，E在¯AB上，E^'在¯BC上，且¯BE=¯(CE^' )。若¯DE交對角線¯AC於P且¯(DE^' )交對角線¯AC於Q，則存在點R，使得¯AP=¯PR，¯CQ=¯QR，則∠PRQ=60^∘。我們改變正方形這個條件，考慮等長線段的特徵，再推廣到菱形。並在矩形與平行四邊形中，將「等長線段」這個條件改為「等比例線段」討論其保角特徵。最後將上述性質推廣到空間中的正方形、菱形、矩形與平行四邊形。 我們證明不論 點的位置在¯AB線段的何處，∠PRQ恆為60^∘。我們也發現在平面上R點的可能位置有兩個，且滿足R點的軌跡正好是1/3圓弧，且此圓弧只與對角線長有關。在空間中，E點固定時，R點的位置在一個圓上，隨著E點在¯AB線段移動。此時R點軌跡是1/3圓弧繞此圓弧所在的弦旋轉360^∘所在曲面，此曲面也只與對角線長有關。

本研究主要提出新的、有創意的圓錐曲線製造方法。首先，我們利用兩個全等三角形製造兩個線束，來討論基線夾角與線束中心在平面上的相對位置，用以製造各式的二次曲線。接著，分別在五條等距平行線上取點，固定其中四點為梯形，分類第五個點的位置來對應生成不同的圓錐曲線。然後，簡化為共線的四個點A_1、A_2、A_3、A_4，往線外一點B_0投射，滿足(B_k B_0)┴⃑=k⋅(B_0 A_k)┴⃑得B_k，k=1,2,3,4，依(A_1 A_2)┴⃑:(A_2 A_3)┴⃑:(A_3 A_4)┴⃑的不同比例，來分類{B_k }_(k=0)^4生成的二次曲線。特別的是，由此得到兩個特別的應用：一、得到一個過圓錐曲線中心線段的比例，只要給定A_1、A_2、B_0 三點即可快速尺規作圖得到中心；二、新的拋物線切線的尺規作圖法。最後，我們定義了三個線束特定的對應方式，得到六個對應點共橢圓的性質，以及分類了兩個基圓上點與點的角度與圓心的相對位置，用以製造各式的二次曲線。未來，我們希望能定量化我們的結果，以及探討更多個線束的對應。

模擬高風速對模型遙控車產生之Double D (Downforce下壓的力與Drag阻力)比值切入空氣力學套件角度研究。下壓的力增輪胎抓地力，轉彎速度增快，縮短單圈時間 (lap time)贏得比賽。我們選取Nissan GTR與F1 Ferrari SF21遙控車，以巴沙木自製單層、雙層(主副翼不同角度組合)、三層共17組尾翼，自製風洞模型、掃葉機風力、2個電子秤同測前後輪下壓的力、拉力計測阻力，發煙機及LED燈拍攝氣流。結果發現尾翼寬度增寬與尾翼攻角越大，可增加下壓的力。阻力與風速平方成正比，相關係數0.94。對雙層尾翼，增加副翼角度比主翼角度更可增車子下壓的力。主翼0∘-副翼75∘造成「總下壓的力變化量/阻力變化量」比值0.78為最大，乃增加穩定度之最佳尾翼選擇。再以3D列印技術製作出最佳主翼0∘-副翼75∘尾翼。

在圖論中，以G=(V,E)表示一個圖，其中G的頂點集合記作V(G)、邊集合記作E(G)。令k是一個正整數，若能在G的每個邊上各給一個非零整數{±1,±2,±3,...,±(k−1)}的標號，且每個頂點所連出的邊標號總和為0，則稱圖G有零和k流，當k有最小值時，稱k為圖G的零和基數，記作F(G)。 零和流（zero-sum flow）是由無零流（nowhere-zero flow）演化而來的問題，亦是一種邊上加權的問題。在2009年S. Akbari等人提出零和流猜想，猜測所有滿足零和的圖其零和基數皆不大於6。 在本作品，我們設計雙色標籤與圖形變換的方法，成功刻劃出尤拉圖（每個頂點都連出偶數個邊的連通圖）零和基數為3的充要條件，並將其變換的技巧與結果，應用於判斷其它圖形的零和基數。

洞察號自2018年登陸火星，累積了大量的震動訊號也高頻率採集持續性的天氣資料。本研究以分析非火星內部地震引發的震動訊號為主，找出天氣變化對非地震訊號的影響，或其他可能引發非地震訊號的因素。以Python進行資料分析後顯示無論白天或黑夜，2～7 Hz頻率範圍會出現數個峰值，比對風逐時變化得知除2.4 Hz的訊號外，大多數是地表以上的風引起登陸器或太陽能面板搖晃導致。在季節變化方面，SEIS於火星夏季夜晚記錄到的震動訊號相對白天少，應該是夏季白天受熱對流旺盛使擾動多，導致非地震訊號頻率頻繁。而火星冬季受沙塵影響，夜晚的非地震訊號與白天差不多，甚至超越白天，同樣在2～7 Hz出現數個峰值，但強度不同。