從正n邊形的頂點、各邊中點的選取定義出「正n邊形上不連續頂點所構成內接k多邊形」。 一、k的範圍限制 [(n+1)/2]≤k≤n 二、數量遞迴關係式 T_n (k)=T_(n-2) (k-1)+T_(n-1) (k-1) 三、數量總和 T_n=∑_[(n+1)/2]^n▒〖n⋅k!/((n-k)!(2k-n)!)⋅1/k〗且T_n=((1+√5)/2)^n+((1-√5)/2)^n,n≥5 四、種類 R_n (n)=1_ ,R_n (n-1)=1_ ,R_n (n-2)=[(n-2)/2]_ , R_n (n-3)=[(n-4)/2]+[(n-7)/2]+[(n-10)/2]+⋅⋅⋅+[(n-3m-1)/2] 五、種類公式：取(n-k,2k-n)=d且d的因數為d_1,d_2,⋅⋅⋅,d_w， φ(d_i)表示不大於d_i且與d_i互質的正整數個數 (1) k為奇數 R_n (k)= 1/2k ( ∑_(i=1)^w▒〖φ(d_i)〗 (k/d_i )!/((n-k)/d_i )!((2k-n)/d_i )!+k∙((k-1)/2)!/[(n-k)/2]![(2k-n)/2]!) (2) k為偶數，n-k,2k-n為奇數 R_n (k)= 1/2k ( ∑_(i=1)^w▒〖φ(d_i)〗 (k/d_i )!/((n-k)/d_i )!((2k-n)/d_i )!+k∙((k-2)/2)!/((n-k-1)/2)!((2k-n-1)/2)!) (3) k為偶數，n-k,2k-n為偶數： R_n (k)=1/2k (∑_(i=1)^w▒〖φ(d_i)〗 (k/d_i )!/((n-k)/d_i )!((2k-n)/d_i )!+k/2 (((k-2)/2)!/((n-k-2)/2)!((2k-n)/2)!+((k-2)/2)!/((n-k)/2)!((2k-n-2)/2)!+(k/2)!/((n-k)/2)!((2k-n)/2)!)) 六、T_n、R_n可能是新發現的數列。 七、正n邊形上m等分點不連續頂點所構成內接 邊形 遞迴關係式 T_((n-2,m)) (k-1)+m⋅T_((n-1,m)) (k-1)=T_((n,m)) (k) 數量總和 T_((n,m))=∑_[(n+1)/2]^n▒〖n⋅k!/((n-k)!(2k-n)!)⋅1/k〗⋅m^(2k-n) 八、正n邊形上m等分點不連續頂點所構成內接多邊形，皆可由aa拼板、ab拼板、bb拼板組合而成，並找到各拼板的種類個數。

我們的實驗是為了瞭解我們設計的變因對於節拍器同步時間的影響。我們的變因有:節拍器的放置環境、是否放在泡棉板子上、改變節拍器的頻率、距離、水量和水深。從我們的實驗結果得知，節拍器放在桌面上比在水面上更快達成同步；在桌面上的同步所需時間:直接放在桌面上＜同一泡棉板子＜不同泡棉板子；在水面上的同步所需時間:同一泡棉板子＜不同泡棉板子；節拍器的頻率愈高、節拍器之間的距離愈短、水量愈少、水深愈深，都愈快達成同步。 當節拍器頻率為120bpm時，我們使用不同的水盆，並改變水的深度，發現節拍器只有在紅色方形水盆中，水深為5公分時，在水面上比在桌面上更快達成同步，所以我們推測是因為駐波而產生的現象。

目前正值疫情後時代食安及衛生與大眾的生活密不可分，日常所用之難以生物降解塑膠因環保及限塑法令應設法減量，故本研究冀望能實驗出市售保鮮膜之替代品。 研究使用醇沉澱法將回收之農業廢棄物過濾出果膠，再將果膠、海藻酸鈉、甘油、純水以比例1：1：4：100混合，可得不沾黏且易脫模之自製保鮮膜，再將其進行物理、化學性質、生物降解等測試，試驗其能於空氣中耐熱至少122 oC，會於85oC熱水中部份溶解；經黴菌生長測試13日發現其不會於空氣中生長黴菌；經拉力測試發現添加橘子保鮮膜拉力佳且優於PVC保鮮膜；經滲水實驗發現柚子果膠保鮮膜的滲水速度最慢；經掩埋測試三週後可完全降解，證明果膠保鮮膜可生物降解，對環境無害。

一開始我們都很好奇：公車時坐在前排的位置，真的像長輩們所說的一樣較不容易暈車嗎？為了釐清這個觀念，我們以特定的比例做了一台縮小版公車，並以手機做為加速度感應器，分別放置於前、中、後三個不同的位置，測量模型公車在不同坡度、轉向、引擎位置時的震動情況。分析、探討數據後，我們發現模型公車前方的位置在直行、上坡、左轉、右轉都是震動最小的，下坡時，反而是後方位置震動最小。綜合各項觀點，由於在大部分情況下，公車前方的位置都較穩定，故容易暈車的人可選擇前方的位置，下坡則選後方位置。若考慮設置博愛座可設置前方。而中間及後方不穩定，因此建議可改良為物品放置區。

此研究探討螞蟻在各正多面體按特定行進規則進行表面行走之最短路徑，以及按照特定的截面規則將正多面體(柏拉圖立體)一刀斬後分割成二部份，觀察其所形成的可能截面變化，並利用Geogebra等電腦軟體模擬繪製，藉此協助我們計算正多面體分割成的截面周長與面積，進而推導出其公式及觀察截面大小之變化關係。

因應疫情，為了知道社交距離在矩形裡可以怎麼排最多人，我們先從面積小的矩形範圍去排，試過正方形排列、三角形排列等方法，試著從中找出最密排列的規律，接著再慢慢的把矩形加長加寬，使面積加大，試著用不同的排列方式去堆疊，最後可以依照條件去計算任意矩形，使用推移法、補隙法等，得到優化緊密度的方法。

本篇作品旨在探討已知平面上 個點，分別落在正 邊形的各邊上，能否藉由這 個點找出正 邊形？而找出的正 邊形是否唯一呢？我們利用數學繪圖軟體Geogebra結合國中所學的幾何尺規作圖觀念作圖，從正三角形開始探討，進而延伸到正方形、正五邊形、…、正八邊形，最後探討至正 邊形。 作圖探討後我們發現當邊數較小的時候，可以透過平行或是邊長相等的概念畫出正多邊形；但邊數較大的時候，就需要透過圓內接多邊形的性質才能畫出正多邊形。我們透過圖形也發現平面上只要給定 個點，即可畫出正 邊形，且除了正三角形畫出來的不只一個，其餘的正多邊形都只能畫出唯一一個，最後我們利用三角形的全等及圓內接多邊形的性質證明之。

在歐氏幾何和射影幾何中，相異五點可決定一圓錐曲線。若給定任意四邊形，是由四邊形的四個頂點及異於此四頂點的第五點來決定圓錐曲線，則稱此四邊形為圓錐曲線内接四邊形。 圓冪定理是一個圓內接四邊形的幾何定理，包含相交弦定理、割線定理、切割線定理等三個定理，我們將圓冪定理推廣至圓錐曲線內接四邊形。首先由圓錐截痕推廣圓內兩交弦定理，是考慮兩垂直交弦，進而推導出圓冪定理推廣一式及區分圓錐曲線種類。接著利用圓錐曲線的方向直徑、邊或對角線斜率及平行邊的切線長推導出圓冪定理推廣二式、三式及四式，推廣式是採統一與歸納方式呈現。 其次，由解析幾何推導另一種圓冪定理推廣式(推廣五式)，加上圓錐曲線直徑性質，論證出二種圓錐曲線及其内接四邊形的作圖及其判定條件。最後也證明圓錐曲線內接四邊形判定定理及有趣的錐線中心軌跡圖形。

星系的碰撞機制屬星系演化中非常重要的過程，目前研究多以星系質量比、速度等變因如何影響碰撞後星系性質為主。而本研究認為星系旋轉軸角也是影響星系碰撞的重要因素之一，故以SPH模擬螺旋星系旋轉軸角度對星系碰撞結果的影響。分別模擬以角度單變因，以及搭配其他參數之多變因情形。 根據模擬結果，發現兩初始星系在直接碰撞（撞擊參數等於零）時，若以碰撞角、初始角差異近似於0度以及180度時搭配高速低值量比進行碰撞，較能形成低核盤比的橢圓星系。間接碰撞時，若旋轉軸貼近速度軸、兩初始旋轉軸夾角小，以及初始盤面平行等情形下，較能形成低核盤比的螺旋星系。 本研究也發現碰撞後星系長軸分佈聚集於0與180度區域，可用來探討橢圓星系軸向問題。最後，本研究以核盤比作為新式星系碰撞分類標準，建立螺旋星系演化機制的參考。

QR Code是由黑白模組組成的二維數位條碼，掃描後可讀取儲存的訊息。受限於設計原理，QR Code使用二進位制儲存資料。增加模組數目可增加資料量，但若在條碼內塞進太多模組時，尺寸太小的模組將無法被掃描器讀取。此外，目前QR Code掃描器僅支援單張掃描，並無法應付同時多張條碼掃描的實務需求。 如能克服顏色辨識，理論上彩色二維條碼將能克服現行QR Code的限制，但市面上並無相關產品可供測試。因此本專題設計了一款10×10、具8顏色的"Colour Matrix"，並利用Raspberry Pi開發Colour Matrix在手持裝置上運作的軟硬體來進行實驗。此實驗成功利用機器學習演算法在Raspberry Pi上進行的顏色辨識。開發的程式在單張掃描上效能與使用pyzbar辨識QR Code相當；在多張掃描方面，使用pyzbar辨識QR Code的解碼成功率為3.1%，而本專題的方法將成功率提升至92.4%，擴增數位條碼的使用範圍，具商用價值。

59屆國展國小組物理科第一名作品提到｢球殼內空氣受熱膨脹而造成的壓力增加效果，對凹陷乒乓球的復原產生極小的作用｣。實際經驗：凹陷乒乓球一旦有孔就無法遇熱復原，所以想確認實驗。 用自製壓球器確保凹陷的深度與形狀後，確認相同凹陷乒乓球遇熱後沒孔的球可復原，有孔的則不能。利用自製氣壓計確認了59小物作品中球殼內部空氣受熱產生的壓力被嚴重低估、讓凹陷乒乓球恢復所需壓力被高估。 我們重要實驗的結論有二，第一:｢氣體受熱膨脹是讓本研究中凹陷乒乓球復原的重要原因｣此與59小物的結論不同。第二：我們體驗到同稱作"凹陷乒乓球"，差異可能非常大(材質、厚薄、凹陷形狀…)，因此還是可能在某些狀況下59小物觀察的現象存在。

上學期我們參加學校「水上足球機器人比賽」，比賽成敗的關鍵是機器人移動速度。相同動力下，船底的形狀會影響機器人前進的速度，我們裁切保麗龍板並加上動力讓保麗龍船能在壓克力水槽內移動，之後改良用珍珠板，讓船沿著軌道直線前進，配合資訊課程式語言(micro:bit)，自製測量珍珠板船移動速度的器具。 實驗發現：軌道的形式會影響珍珠板船的移動速度，因而改變研究方法，讓船不動，水流動來測阻力：用抽水馬達製造水流，船頭挷細線，透過滑輪改變拉力方向，一端垂吊重物，水流動時重物減少的重量即阻力。我們製作許多不同長度的船板，測量不同長度受到的阻力，並增加載重及改變水流強弱，試著研究船的長度、寬度、載重、水流快慢和阻力之間的關係。