假設G為簡單圖,令V(G)、E(G)分別為G的頂點與邊所形成的集合,|V(G)|與|E(G)|分別代表G的頂點集合與邊集合的元素個數。若u, v∈V(G)且u, v有邊相連,則將此邊記為uv∈E(G)。對於給定的填單圖G,若存在函數f: V(G)∪E(G)→{1, 2, 3,…, m},其中m=|V(G)|+|E(G)|且函數f滿足下列兩個條件:
(1)f為1-1且映成函數:
(2)對於每個邊uv∈E(G),f(u)+f(v)+f(uv)恆為定值T,
則稱函數f為圖G的一個『魔函數』,G為一個具有『魔和』為T的『魔圖』。
在此次研究中,我們證明了下列的結果:
1.任意圈Cn為具有魔和[(5n+4)/2]或[(7n+3)/2]的魔圖;
2.長度為奇數n的圈Cn,其中n≠5,為具有魔和(5n+5)/2的魔圖;
3.長度為n=4t+2(t≧1)的偶圈Cn,為具有魔和(5n+6)/2的魔圖;
4.長度為奇數n的圈Cn外加兩個相鄰的懸掛邊所成為的圖為一個魔圖;
5.三個具有共同端點的n-路徑所形成的圖為一個魔圖。
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