摘要或動機

本作品『翻轉塗色驚嘆號』為2016年國際科展『翻轉塗色』的一般化延伸改進作品。在過去文獻中討論的問題是一列已上色的格子中，估計會有多少個『等間隔而且同色格子」的可能。而本研究所探討的問兩個顏色（以1及0表示，1跟0互為補色），並以Thue-Morse遞迴著色（若B已著色，則接下來的|B|個格子就著上B的補色，其中|B|表示B的格子數)，其中每次遞迴時精確的『三個間隔相同而且同色的格子』（本作品稱為3-AP）的精確總數。為了表示方便，我們將著好顏色的格視為一雙色字串。在之前的作品中，我以中心排列手法算出了起始字串為1時每次遞迴的3-AP精確數目。而本作品的突破在我們推廣到對於任意起始字串B，所遞迴產生的Mp(B)字串都能精確算出3-AP總數，其困難點在於歸納不同B之間的共同性。令人驚嘆的是，在遞迴兩次之後，其3-AP增加的數目與B的內容無關，只與B的格子數有關。此為本作之重要定理。除此之外，我也給出依序刪去每次遞迴後所剩下的Mp,q(B)中3-AP總數的公式。其困難點在刪去之後失去了對稱性。在本作品中突破方式是改變中心排列以偏心排列找出基底，並以未定係數法將其3-AP總數找到。而令人驚嘆的地方在於，若同時增加後續字串並同時刪去前方字串，其3-AP增加的數目也與B的內容無關，只與|B|有關。