臺灣國際科展

生生不息-正五邊形的繁衍法則

科展類別
臺灣國際科展
屆次
2006年
科別
數學科
學校名稱
高雄市立高雄高級中學
指導老師
沈振南、歐志昌
作者
劉玠暘
關鍵字
正五邊形 邊長

摘要或動機

This study was to explore the nature of two basic constitutes of the regular pentagon,圖示With these two constitutes, the
regular pentagon could be multiplied into any times. We used four multiplication
methods (m2 = 2m1 + n1 、n2 = m1

+ n1 、m2= k2m1 、n2= k2n1、a2

= a1 + 1、a2 = a1 + 數學公式
to show how the regular pentagon could enlarge and to verify that the enlarged regular
pentagons derived from computer did exist. By integrating these four multiplication
methods, we were able to arrange regular pentagon of any length of side, and evidenced
the equation was 數學公式

( If the side length of a regular pentagon is a form of 數學公式 m,n is
the number of A,B respectively )



We further proved that the first multiplication method could be developed into a
new modified method, which could divide a regular pentagon with a given side length
into a combination of A and B. But only when the x and y of side length of a regular
pentagon could be divided by a natural number, k, and made x/k into an item of the
Fibonacci Sequence and y/k a successive item.

When we tried to verify if any regular pentagon could be constituted by other smaller
regular pentagons, we also found that it was un-dividable only if the length of
pentagon side were 數學公式
( the number of A, B were the 2n and 2n-1 item of Lucas Sequence). Otherwise, any
regular pentagon might be able to be constituted by other smaller regular pentagons.


本研究是以正五邊形的兩個基本組成元素(圖示B)作為討論對象,利用此二元素可以將正五邊形做任意倍數的放大。我們共使用4種繁殖法則(m2
= 2m1 + n1 、n2 = m1 + n1

、m2= k2m1 、n2= k2n1、a2

= a1 + 1、a2 = a1 +
數學公式) 來說明正五邊形的放大情形,並利用此4 種繁殖法驗證電腦運算出的放大圖形確實存在。利用這4
種繁殖法則的改良與整合,已達到能排出任意邊長之正五邊形的目標,並能計算並證明出其通式為數學公式

(若正五邊形的邊長為數學公式形式,m、n代表、的個數)


更特別的是,我們能用第一繁殖法反推出一種方法,將給定邊長的正五邊形利用簡單的切割方式分成由A、B 組合成的形式,但只有正五邊形邊長之x、y 值可同除以任一自然數k
而使 x/k 為費波那契數列之一項且 y/k 為其後一項者才可以使用。

將此想法推廣至一個正五邊形能否由比他小的其他五邊形組合而成時,我們也發現當正五邊形之邊長為數學公式時(其A、B
個數為盧卡斯數列之第2n,2n-1 項),不可分解,否則應該皆可將一個正五邊形分解成比它小的其他五邊形組合(我們也可以利用這些質形檢驗出其他正五邊形是否也為質形)。但其分解形式,不只一種,而我們推測只用兩種較小的正五邊形就能達成,我們期待能找出一或多種分解方法,能將正五邊形分解成標準的分解形式。


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