臺灣國際科展

埃及分數之固定項數分解問題

科展類別
臺灣國際科展
屆次
2006年
科別
數學科
學校名稱
國立屏東高級中學
指導老師
張宮明
作者
李孟修、劉琦崴
關鍵字
埃及分數 反證法

摘要或動機

本文由‘‘分數7/17是否能表示成兩個相異的埃及分數之和’’這個問題出發,藉由簡單數論的性質以及反證法,得到一個真分數可表示成兩個相異埃及分數之和的定理檢驗法(定理1)。有了這個基礎,我們進ㄧ步推廣定理1 的結果,做出了嶄新的結果(定理2、定理3) 。此定理分別可以用來檢驗真分數表示成三個、四個相異埃及分數之和的存在性; 至於將真分數表示為5 項、6 項….k 項相異埃及分數之和的部分尚在嘗試。利用定理1、2,我們寫了兩個Matlab 軟體工具的電腦程式,使得我們可以檢驗任意真分數是否可以表示成兩項及三項的和,並可把所有的解列出來; 最後我們研究的是一個有關埃及分數的猜想(Erdos-Strauss Conjecture)問題,當分子為4,且分母為4k、4k+2、4k+3 時,猜想皆成立。對於分母為4k+1 而言,當k 為3r+1、3r+2 猜想亦成立,k=3r 且r 為奇數時也是成立的,因此目前需解決的問題只剩分母為24t+1 的情況了。值得一提的是,我們用Matlab 的程式檢驗出當分母為1014 至1014 +240000 之內的正整數時,猜想都是成立的,這已經超越了已知文獻的結果。This paper begins with the question: ‘‘Is 7/17 able to be the sum of two different Egyptian fractions?’’ to discuss the problem of Egyptian fractions. According to the complete division properties and the counter-evidence method, we get a back-check theorem which is about a true fraction can be the sum of two different Egyptian
fractions (see theorem 1). Using the same method we obtain a new back-check theorem that is a fraction can be the sum of three or four different Egyptian fractions (thereom2, thereom3). Similarly, we can follow the same procedure to get the rule that a fraction can be the sum of five or six …or even more different Egyptian fractions. By the theorem1 and 2, we propose two programs written vie the Matlab software to examine that any true fraction can be the sum of two items and three items or not. Finally we focus on the Erdos-Straus Conjecture, which related about true fractions can be divided by three different Egyptian fractions. The conjecture is when the denominator is 4k, 4k+2, or 4k+3, the problem mentioned above can be solved. As for the denominator is 4k+1, then the conjecture also can be solved, as k equals to 3r+1 or 3r+2. Also, k being 3r and r is an odd number, the conjecture is satisfied. As for the case of r equals to even number, the problem has not been solved. But it is worth to mention here that we use Matlab software to examine the conjecture is agreeable as the denominator is between 1014to 1014+ 240000. This is beyond the results from the literatures.


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