臺灣國際科展

耍「薛骰」-Sicherman Dice 的探討

科展類別
臺灣國際科展
屆次
2006年
科別
數學科
學校名稱
新竹市立建功高級中學
指導老師
莊朝淵、吳昌儒
作者
陳皓嬿
關鍵字
正立方體 點數
備註
西班牙正選代表:西班牙2006 年科學博覽會

摘要或動機

George Sicherman discovered that it is possible to take a couple of 6-sided dice re-labeling them with different positive integers (1,2,2,3,3,4) and (1,3,4,5,6,8) having the same probability distribution as rolling a standard pair of 6-sided dice. Such unique pair of dice is calling Sicherman dice. The secret behind the Sicherman dice can be studied by combining the powerful mathematical tool “Generating functions” with the symbolic manipulation software “Derive 6”, The same procedure may be applied to studying the possibility of the generalized Sicherman dice along the consideration of :\r
(1) Adding more dice. (2) Changing the number of faces. To this end, we introduce the concept of the Sicherman Bound. For a given integer n, the number of n-sided Sicherman dice is finite. We computed manually such numbers for n?50 based on the method of “Elimination of negative terms”. Sicherman Dice 就是一對點數配置與正常骰子(6 面正立方體,點數為1到6)不同的骰子,它所拋擲出的每一種不同點數和(2,3,4...,12) 的機率恰好與一對正常的骰子相同。這種骰子是美國的Col. George Sicherman 所發現的。 Sicherman 更進一步指出:在不使用Sicherman Dice 的情形下,不可能找到一組大於或等於三顆的非正常骰子,它們拋擲出的每一種不同點數和的機率恰好與一組同數量的正常骰子相同。本研究的目標在於1. 尋求計算「Sicherman Dice 的組合和正常的骰子有相同的出現機率」的方法2. 證明Sicherman 結論的真偽及是否適用於其他正多面體(4 面/ 8 面/12 面/ 20面) 的標準骰子3. 修正Sicherman 的結論,並定義Sicherman 極限(Sicherman Limit)。在假設n面正多面體(n 為自然數, n ? 50 )存在的情形下,探討每一個正多面體的Sicherman 極限4. Sicherman Dice (Crazy Dice) 的延伸探討(1) 不同面數骰子的組合,是否可以找到面數組合相同,但點數配置不同的Crazy Dice( 如4 面與6 面的標準骰子組合,找到4 面與6 面的Crazy Dice)(2) 多個面數相同或不同骰子的組合,是否可以找到面數、個數及點數配置皆不同的Crazy Dice ( 如3 個4 面標準骰子組合, 找到2 個8 面的Crazy Dice)在研究的過程中,我發現以下的現象:(1) Sicherman Dice 的產生,是生成函數因式重新組合的結果(2) Sicherman Dice 是否存在,則視上述重新組合的結果是否有負項產生由於上述的觀察,我使用自行發展的「負項消去」法來檢驗Sicherman 結論的正確性及求得n 面正多面體其對應的Sicherman 極限。同時我也和Col. George Sicherman 取得聯繫, 討論當年他發現Sicherman Dice 的經過及其結論的限制條件,作為本研究未來發展的參考。


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