臺灣國際科展

圓例覺醒

科展類別
臺灣國際科展作品
屆次
2021年
科別
數學
得獎情形
三等獎
學校名稱
國立臺灣師範大學附屬高級中學
指導老師
周洺朱
作者
張竣為;陳竹欣
關鍵字
三線性坐標、不等式、三角函數
備註
突尼西亞I-FEST2正選代表

摘要或動機

平面上,P點為△ABC內部任意一點,(AP) ⃡、(BP) ⃡、(CP) ⃡分別交△BPC、△CPA、△APB這三個三角形的外接圓於A'、B'、C'。若△ABC為銳角三角形,則¯(PA')/¯PA⋅¯(PB')/¯PB⋅¯(PC')/¯PC≥8,等號成立時若且唯若△ABC為正三角形,此外,並以三角形的三內角來表示P點為費馬點、外心、內心、垂心、重心時的確切比值;接下來推廣至n維空間,當P為任意n維n -單體A_1 A_2...A_(n+1)內任意一點,(A_1 P) ⃡、(A_2 P) ⃡、…、(A_(n+1) P) ⃡分別與n維n -單體P-A_2 A_3...A_(n+1)、P-A_1 A_3...A_(n+1)、…、P-A_1 A_2...A_n的外接n維球交於A_1'、A_2'、…、A_(n+1)',滿足∏_(k=1)^(n+1)▒¯(PA_k')/¯(PA_k )≥n^(n+1),等號成立時若且唯若¯(PA_k')/¯(PA_k )=n,k=1,2,...,n+1,其中n≥2。再藉由任意點的結論,可以應用於直接生成或快速解出許多特殊類型的三角函數不等式。此外,從主要的不等式還可以得到∑_(k=1)^(n+1)▒((A_k P)┴⃑)/(A_k A_k')┴⃑ =1,此時P點為n維空間中任意一點,最後,我們把圓改為圓錐曲線,再進行線段比值的探討。


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