自然係數不等式ax+by+cz≦n的非負整數解

科展類別
全國中小學科展作品
屆次
第23屆--民國72年
科別
數學科
得獎情形
第一名
學校名稱
省立新竹高級中學
指導老師
許燦煌
作者
許曉凱、馬健湘、鐘明峻
關鍵字
自然係數不等式

摘要或動機

常我們遇到形如 x+2y+3z≦10 的不等式,而欲求其非負整數解的組數時,我們習慣的解法是:令 z=0 得x+2y≦10,共有( 0 ,0 , 0 ) , ( l , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , o ),…… 及 ( 2 , 4 , 0 ) , ( 0 , 5 , 0 )等 36 組非負整數解。 z = 1 得 x +2y≦7 ,共有( 0 , 0 , 1 ) , ( l , 0 , l ) , ( 2 , 0 , l ),…… 及 ( 0 , 3 , l ) , ( l , 3 , l )等20組非負整數解。z= 2 得 x + 2y≦4 ,共有( 0 , 0 , 2 ) , ( l , 0 , 2 ) , ( 2 , 0 , 2 ) , …… 及 ( 2 , l , 2 ) , ( 0 , 2 , 2 )等 9 組非負整數解。z = 3得 x + 2y≦l ,共有( 0 , 0 , 3 )及( 1 , 0 , 3)等 2 組非負整數解。故合計有 36 + 20 + 9 + 2 = 67組非負整數解,這種解法主要是利用平面z = 0 ,…,z = 3 來逐點截取合適的解,它的精神由下圖(在坐標平面IR 2上)可以明白的表示出來,因此我們稱這種解法為“逐點截取法”。但是,一但n=1000 ,甚至更大,或是一般自然數 n ,如何用逐點截取法一點一點去取?顯然,它是繁瑣得令人厭煩!於是我們幾位同好就著手研究這個問題,希望能從中得到一個較為簡便的方法,下面就是我們的研究過程,請各位老師、先進指導。


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