全國中小學科展

重疊方格的速算法

科展類別
全國中小學科展作品
屆次
第19屆--民國68年
科別
數學科
得獎情形
第三名
學校名稱
屏東縣鶴聲國中
指導老師
李順興
作者
洪麗珠、陳瑞靜
關鍵字
重疊方格的速算

摘要或動機

有一天在書上看到了一個圖形(如圖一)書上提出了一個問題,究竟這個圖形共有多少個正方形(大小不同)?於是拿出筆來仔細的研究一番,發覺此圓形中每邊一格大的正方形有(如圖二)4 ×4=16 們;每邊兩格大的正方形(如圖三)有 3×3=9 個;每邊三格大的正方形(如圖四)有 2×2=4 個;每邊四格大的正方形(如圓一)有 l×l=l 個故此圖形中共有正方形4x4+3x3+2x2+1x1=4 2+3 2+2 2+1 2=30個此恰合1 2+2 2+3 2+4 2+......+n 2之形式,經請教老師的結果得知1 2+ 2 2+3 2+....+n 2 =1/6n(n+1) (2n+l),因此若欲解決有如上式形式的問題最簡捷的方法是1.算看看每邊有幾格小正方格 2.若每邊有 2 個,則 n=2 ;每邊有 5 個 n=5...再將n個代入1/6n(n+1)(2n+1)很快即能求得答案”解決了上述問題腦中突然浮現了三個問題:(一)假如原圖是個長方形則究竟(如圖五、圖六)1/6n(n+1)(2n+1)是否管用?若不能用究竟又要如何才能很快的求得答案。;(二)如在每邊 n 個小格的正方形中閻挖掘小正方形(如圖七、八) 則在此圖中,究竟合有多少個實心正方形?(正方形面積完整)(三)如在每邊 n 們小格的正方形中問挖掘小正方形(如圖七、圖八)則若單以所劃正方形(空心)為準,究竟又有多少個呢? 為解決心中疑竇遂邋了陳瑞靜來共同研究,皇天不負苦心人”終於解決了這三個問題,以下就是我們兩人的研究過程與結果”


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