全國中小學科展

由排容原理探討如何快速計算或預估“不大於A且與B互質之正整數個數”

科展類別
全國中小學科展作品
屆次
第27屆--民國76年
科別
數學科
得獎情形
第三名
學校名稱
高雄市立前鎮高中
指導老師
黃鴻洲、葉得祥
作者
龔進輝、林文茂
關鍵字
尤拉方式 標準分解式

摘要或動機

令正整數B=q1β1q2β2……qnβn(標準分解式),其中q1<……qn[ ]表示高斯符號。圖10(B)表示“不大於B且與B互質之正整數個數”,則由排客原理知 :


圖1圖2


,......n,故


圖3




此即有名之尤拉方式,計算非常方便。但若給另一正整數 A ,令圖10( A , B )表示“不大於 A 且與 B 互質之正整數個數”,則由排客原理知


圖4


圖5


,同上面圖10(B)推演過程,可得


圖6


,計算亦非常方便。但若有某些 qi圖7A ,則求圖10( A , B )之計算過程將非常繁瑣,尤其當 A 很大或 B 之質因數個數很多時,計算將更可怕嚇人,因此引發興趣尋找“大量簡化計算ψ( A , B )式值”之方法。 另外,在習作課本第四冊 2 - 2 第 4 題, A = 1000 , B = 2 . 3 5 ,計算得圖10( A , B ) = 266,無意中發現 A ( 1-1/2)(1-1/3)(1-1/5)=266.圖8,與圖10( A , B )之絕對誤差只有0.圖8引發研究圖9之絕對誤差之興趣。


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檔案名稱 檔案大小 格式
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