本研究在探討過原點且通過特定格子區域中格子點的直線數，利用縱向或橫向方式來計算。不論哪一種方式皆從正方形區域探討，得到其格子直線數與歐拉函數有關，特別是在橫向方式中增加上高斯符號與高斯符號協助計算，得到正方形、長方形、三角形及圓形區域的直線數及其上下界，及探討上下界的特定區域。此外，將原點移動到任意點，探討過任意點且通過特定格子區域中格子點的直線數，得到一些有趣的性質。 接下來，從正方形區域推廣至高維度的超立方體區域中的直線數，並推導出三個歐拉函數的推廣式，其中一種是約當囿互質函數，使用這些函數不僅能簡化計算，更能拓寬歐拉函數的視野。另外二種皆是利用幾何結構推導出來，其中一種是用第二類史特林數來表示。 最後我們使用此歐拉函數的推廣三式推導出高維度的超立方體、超長方體、單體 (即高維度中廣義三角形區域)及角錐柱中的格子直線數及其上下界，特別是利用橫向方式獲得公式的更為精簡。
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