道同互相為「蒙」—蒙日定理共點共線共圓的問題探討與推廣

科展類別
臺灣國際科展作品
屆次
2018年
科別
數學
得獎情形
四等獎
學校名稱
臺北市立麗山高級中學
指導老師
林永發
作者
郭品辰;盧冠綸
關鍵字
蒙日定理,共點共線,射影幾何

摘要或動機

本研究以蒙日定理「平面上三圓彼此外公切線交點共線,以及彼此內公切線交點與另一圓的圓心的連線共點」出發,在數量、形狀及維度上進行一系列問題的推廣。正如本研究作品名稱「道同」互相為「蒙」,發現對於任意N維空間中的n個圖形,只要圖形互相「位似」,均有蒙日點、蒙日圓或蒙日形等蒙日定理性質。同時,透過蒙日點與各圖形位置及大小的關係,可發現更多共點共線及共圓的有趣性質,其中最令人驚豔的是「分堆的(廣義)蒙日點共線」性質:「k圓蒙日點、n-k圓蒙日點及n圓蒙日點共線」。此外,本研究提出的工具方法及觀點,可應用至許多方面,如「蒙日圓」與Desargues、Pascal和Brianchon等定理的關聯,亦可解釋光學中的薄透鏡成像公式,更將蒙日定理連結Menelaus、Ceva定理,進而能重新詮釋共點共線的幾何定理。


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檔案名稱 檔案大小 格式
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