正多邊形三角剖分的探討

摘要或動機

給定正n邊形，於內部區域新增對角線，使得對角線不交叉且內部區域皆為三角形，則將此圖形稱為正n邊形的一個『三角剖分』。考慮正n邊形的所有三角剖分，已知其數量為卡特蘭數Catalan(n-2)。在所有三角剖分的情形中，考慮旋轉與翻轉，將同構的情形視為相同，則將所有不同構的三角剖分總數記為Dn。本文對於正n邊形的不同構三角剖分進行研究，以三種面向進行探討，首先我們以不同構三角剖分的對稱性分類，發現其和化學式CnHn+2的同分異構物有相關性；再者，以相鄰三角形的最大數量進行分類，當相鄰三角形的最大數量為n-2、n-3、n-4與n-5時，得出不同構三角剖分的計算通式；最後，以三個相鄰頂點組成的外圍三角形進行分類，將『恰包含兩個外圍三角形的不同構三角剖分』、『圖論中的毛毛蟲圖（Caterpillar）』以及『化學結構相關的Losanitsch’s triangle』進行深入探討。