全國中小學科展

從平分問題到動態穩定

科展類別
全國中小學科展作品
屆次
第55屆--民國104年
科別
數學科
得獎情形
佳作
學校名稱
苗栗縣立興華高級中學(附設國中)
指導老師
蘇柏奇;游淑媛
作者
陳奕均
關鍵字
二進位,輾轉相除法,動態穩定

摘要或動機

本文探究由一人獨自進行的遊戲,探討最後是否能將兩堆石頭移動形成數量相等的狀態,稱之為「穩定狀態」。探索過程中,我們利用數對(x, y)來表示兩堆石頭分別有x, y顆的情況,利用輾轉相除法的形式來記錄移動過程,而因為遊戲進行中,兩堆石頭的總數不變,因而以此總數進行分類觀察,我們發現並非任意數對(x, y)皆能形成穩定狀態。 藉由列表觀察後,我們猜測當x+y=2k時,任意數對(x, y)皆能形成穩定狀態,我們用二進位制驗證,並進一步得到定理1: 定理1:數對(2k-p×2m, p×2m))形成穩定狀態所需的次數為k-1-m次。 另外,因為數對(qa, qb)和(a, b)的移動方式類似,得知定理3及4如下: 定理3:數對(q2k-pq×2m, pq×2m)形成穩定狀態所需的次數為k-1-m次。 定理4:若x+y=q×2k , q≠1, 且x, y的最大公因數為r×2m,q≠r時(x,y)無法形成穩定狀態。 由以上定理1、3、4,可歸納為定理5如下: 定理5:若x+y=q2k(q為奇數), 且x, y的最大公因數為r×2m,則 1.q=r時,數對(x, y)形成穩定狀態的次數為k-1-m次。 2.q≠r時,數對(x, y)無法形成穩定狀態。


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