圓例覺醒

摘要或動機

平面上，P點為△ABC內部任意一點，(AP) ⃡、(BP) ⃡、(CP) ⃡分別交△BPC、△CPA、△APB這三個三角形的外接圓於A'、B'、C'。若△ABC為銳角三角形，則¯(PA')/¯PA⋅¯(PB')/¯PB⋅¯(PC')/¯PC≥8，等號成立時若且唯若△ABC為正三角形，此外，並以三角形的三內角來表示P點為費馬點、外心、內心、垂心、重心時的確切比值；接下來推廣至n維空間，當P為任意n維n -單體A_1 A_2...A_(n+1)內任意一點，(A_1 P) ⃡、(A_2 P) ⃡、…、(A_(n+1) P) ⃡分別與n維n -單體P-A_2 A_3...A_(n+1)、P-A_1 A_3...A_(n+1)、…、P-A_1 A_2...A_n的外接n維球交於A_1'、A_2'、…、A_(n+1)'，滿足∏_(k=1)^(n+1)▒¯(PA_k')/¯(PA_k )≥n^(n+1)，等號成立時若且唯若¯(PA_k')/¯(PA_k )=n，k=1,2,...,n+1，其中n≥2。再藉由任意點的結論，可以應用於直接生成或快速解出許多特殊類型的三角函數不等式。此外，從主要的不等式還可以得到∑_(k=1)^(n+1)▒((A_k P)┴⃑)/(A_k A_k')┴⃑ =1，此時P點為n維空間中任意一點，最後，我們把圓改為圓錐曲線，再進行線段比值的探討。