頂心三角形誕生的奇蹟

摘要或動機

在第 屆科展作品（中華民國第 屆中小學科學展覽會換心手術）有給定了一個新的名詞(頂心三角形)：平面上給定△ABC及一點D，分別以A、B、C三頂點為圓心，¯DA、¯DB、¯DC為半徑畫圓，三圓交於三點E、F、G，再以三交點E、F、G為頂點作△EFG，則新△EFG稱為△ABC在D點的頂心三角形，本篇作品主要探討原三角形與其頂心三角形邊長與面積比例關係，並試著利用這些關係求出頂心線以及其他相關性質。 在我們的作品中，我們求出頂心三角形的三邊長為2¯AD sin⁡∠ CAB、2¯BD sin⁡∠ ABC、2¯CD sin⁡∠ BCA，也就是說在原三角形為任意三角形，可以得出頂心三角形的邊長與原三角形之間的邊長關係，我們再進一步利用邊長關係求出頂心三角形對原三角形的面積以及面積比例。我們還發現，當D點在原三角形的外接圓上時，頂心三角形會退化為一直線，稱為頂心線，而此頂心線會通過原三角形的垂心是本篇作品最重要的發現。