臺灣國際科展

不完美的完美-探討遞迴數列的圖形分割方法

科展類別
臺灣國際科展
屆次
2008年
科別
數學科
學校名稱
國立高雄師範大學附屬高級中學
指導老師
歐志昌、張彥平
作者
黃俊晏
關鍵字
數列 圖形分割

摘要或動機

在 Fibonacci Sequence 中,我將Cassini’s identity 轉換成圖形時發現:邊長為Fibonacci number 的正方形,分割後重新拼成長寬分別為Fibonacci
number 前後兩項的矩形,會得到矩形內有縫隙(或重疊)。接著我將Cassini’s identity 的圖形推廣到Catalan’s identity 的圖形,我發現邊長一樣的正方形,拼成的矩形長會變大,寬會變小,矩形內的縫隙(或重疊)面積會以Fibonacci
number 平方增長。接下來我再將圖形推廣,邊長為非Fibonacci number 的正方形分割拼成矩形時,我發現若將整數遞迴數列代入Cassini’s identity,圖形將會有規律的方式呈現,且每一種數列的縫隙(或重疊)面積會有所不同;若遞迴數列代入Catalan’s
identity,縫隙(或重疊)面積還會再以Fibonacci number 平方增長。所以最後我得到一個通式:只要是遞迴數列[an]的圖形,都會滿足於:
數學公式

英文摘要


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