布洛卡點相關性質探討

科展類別
臺灣國際科展作品
屆次
2020年
科別
數學
得獎情形
四等獎
學校名稱
臺北市立麗山高級中學
指導老師
洪明譽
作者
劉詠筑
關鍵字
布洛卡點、布洛卡多邊形、紐伯格圓

摘要或動機

三角形的布洛卡點及布洛卡角是經常被探討的主題。本研究突破過往研究中布洛卡點僅存在於三角形中的侷限性並推廣至n邊形,發現並非所有n邊形都存在布洛卡點,並得到n邊形存在布洛卡點的充要條件,這個條件各n邊(角)互相獨立地等於布洛卡角的cot值,同時這條件亦等價於所有存在正、負布洛卡點的n邊形,其頂點皆為正n 邊形的頂點在反演變換下的反形。當n=4時,即為調和四邊形。接著將文獻中三種布洛卡三角形的變換整併為一種更具數學風味的旋轉與伸縮變換,基於這種變換,發現了許多布洛卡點與外心之間的幾何性質,從而推廣至多邊形。其中美妙的結果是:從任意布洛卡n邊形出發的n條全等的等角螺線皆收斂至布洛卡點。最後,由投影的角度看,發現布洛卡n邊形是正n 邊形的投影,由布洛卡n邊形的n個邊所延伸的多邊形,其頂點是共圓錐曲線的。


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