頭腦體操

資料來源
科學研習月刊42-7

解答:

 

一、奇妙的數

甲乙丙圖
丁戊圖
二、問題出在哪裡?
甲、64=65?
當我們重新拼成一個長方形時,這個長方形的中間並非完全密合而是有一些空隙(丙圖),而多出來的1平方單位剛剛好是這些空隙的面積和。
丙圖 白色區域就是沒有密合多出來的地方
丙圖 白色區域就是沒有密合多出來的地方
乙、季諾的詭辯:

兔子追上烏龜共需
10 + 1 + 1/10 + 1/100 + ……(秒)
這個算式的值要如何計算呢?我們可將這個問題的想法轉變為9個人分吃100塊的大餅,很容易地,每個人恰可分到100/9塊。不過在此我們將分法略做改變,步驟如下:
■步驟1:每個人先分10塊大餅,則大餅剩下10塊。
■步驟2:剩下的10塊大餅每個人各分1塊,則大餅剩下1塊。
■步驟3:將剩下的1塊大餅切成10等分,每個人各拿1份(1/10塊),則大餅剩下1/10塊。
■步驟4:將剩下的1/10塊大餅再切成10等分,每個人各拿1份(1/100塊),則大餅剩下1/100塊。
每次都將剩餘的大餅切成10等分,9個人各拿1份,剩下1份,如此一直下去,這樣子,每個人所拿到的大餅共有
10 + 1 + 1/10 + 1/100 + …… = 11 1/9(塊)
這個式子與兔子追上烏龜需的時間是一樣的,因此可得
10 + 1 + 1/10 + 1/100 + …… = 11 1/9

在龜兔賽跑的故事中,問題的癥結就在於“時間",我們將有限的時間(11 1/9秒)誇大成無限的時間(永遠),事實上,兔子只需要11 1/9秒鐘的時間即可趕上烏龜。
丙、還有一元呢?

事實上並沒有錯,三位客人總共付了
30 - 3 = 27(元)
而櫃台收到25元,服務生拿了2元,總共也是
25 + 2 = 27(元)

丁、少了7000元:

上等茶葉每2斤為一單位賣出,共有15個單位;中等茶葉每3斤為一單位賣出,共有10個單位。當中等茶葉賣完時,上等茶葉只賣了10個單位,還剩下5個單位(10斤),這10斤上等茶葉應該賣7000 × 5 = 35000元

可是夥計是以平均1斤14000 ÷(2 + 3)= 2800(元)的價格賣出,因此只賣了2800 × 10 = 28000(元)所以相差了7000元。
三、一筆劃問題

能一筆劃的圖形所需具備的第一個條件是『連通圖』,所謂的連通圖指的是圖形的各個部分都有邊相連,不過,並不是所有的連通圖都可以一筆劃,是不是可以一筆劃是由圖形的奇點和偶點的數目來決定。所謂的奇點指的是和該點連接的線總共有奇數條,而偶點指的是和該點連接的線總共有偶數條。能夠一筆劃完成的連通圖至少須具備下列其中一個性質:
1.所有的點都是偶點的連通圖:以任一偶點為起點,最後一定能以這個點為終點畫完此圖。
2.恰有兩個奇點的連通圖:以其中一個奇點為起點,另一個奇點終點必能畫完此圖。

一筆劃問題

紅色字體表示和該奇點連結的線的數目。
(甲)1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 4 → 1
(乙)1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 1 → 7 → 4 → 6 → 5 → 7 → 3 → 8 → 6 → 9 → 1
(丙)1 → 2 → 3 → 1 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 1
(丁)因為奇點超過2個,所以無法一筆劃完成。
(戊)1 → 2 → 3 → 1 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 4
(己)1 → 2 → 3 → 4 → 1 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9 → 6 → 10 → 8 → 11 → 12

(答案不只一種,僅提供一種當作參考)