一塊花布

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資料來源: 科學研習月刊50-5

文／黃敏晃　台大數學系退休教授　
圖／曾秋芬　台北市文昌國小教師

4.運作的平方

大單元是寬三呎多，長更大的長方形，其二分之一的長方形也還很大，短邊也足足有45公分長。我們從圖案辭典上描下來的動、植物的彩色圖案（我們稱之為元件）都很小，徑長5 公分的就算是大的。用這麼小的元件去填大單元二分之一的方形，數量需要很多（我們偶而也會從其他的圖畫書中，描製較大的元件，但不多）。元件多了，編織畫面的運思也變複雜。有次，大哥在編織圖面時缺了幾個元件，向大嫂要。大嫂剛好在廚房忙，喊回去說：「你的格子太大了，不會把它縮小些嗎？這樣就不需要那麼多元件了。」大哥想了想說：「對，為什麼我不試四分之一大小的呢？」這個尺寸的單元，長短邊都不超過30公分（和現在大家熟悉的A4紙大小相當，寬也許大些），需要的元件真的少很多。但是，由小單元需要做運作的平方，才能造出大單元。即，由這個小單元透過平移，翻轉或旋轉的運作，一次只能造出中單元，還要再做一次運作，才能造出大單元。每次3類運作，兩次應該可以造出3×3＝9種不同畫面的大單元。我們還是以「F」代表小單元畫面，下面展現出9種結果。請仔細檢驗一下，這九種大單元的畫面是否正確？（有時會有運作錯誤），另外，它們真的都是不一樣的圖形嗎？

圖3 花布設計示意圖

親愛的讀者，你檢驗過圖3中的9個圖了嗎？它們都正確嗎？它們都是不一樣的圖案嗎？若還沒有，請花最起碼10 分鐘，做這兩樣工作，然後再往下讀。你在仔細檢查後，應該已經確定，平方運作後的九個圖都沒問題。但你有懷疑，為什麼只有七個不同的大單位圖案？翻轉後翻轉和翻轉後平移，為什麼會得到相同的結果？旋轉後平移和旋轉後旋轉，為什麼也是一樣會相同？不要懷疑，你是對的，就只有七種不同的大單元圖案。至於，為什麼會如此的原因，就有賴你自己去把它想清楚了（讀數學文章有功課，就是把事情想清楚）。

5.不變的追求

對沈大哥而言，設計一個小單元，可以產出七種不同的大單元圖案，這種效益已經很好，毋需再問為什麼少兩種。其實，大哥習慣用長方形小單元，不能使用旋轉運作，故一個小單元只能衍生四種大單元。在我和他們一起不到兩年（八月底到第三年的七月初）的期間，沈大哥賺到了足夠回台中老家買房子的錢（台中房價比台北低很多）。所以，他們在我升高三的暑假，搬回到台中去了。搬家時，我和他們一起南下。幫忙兩天後，我回台北找房子搬家。高三那年我很忙（用功念書，準備考大學），沒去看他們。考上大學後去台中時，大嫂剛生了個胖兒子。出國念書前再去，他們又添了兩個可愛的女兒，全家幸福快樂的樣子。但我出國七年後回來，再也聯絡不到他們。據說，他們鬧婚變，房子賣了，人也搬離了，令我不勝惆悵。幾個月前過69歲生日，在吹熄家人為我準備的蛋糕上之七枝大蠟燭（象徵7 0 歲，我們台灣人的習俗，常先偷過七十大壽，免得老天爺點名升天）時，我憶起了十六歲的生日，大哥大嫂為我買的，也是我此生第一次

吃到的生日蛋糕，真甜美。當時我們非常忙碌，但是多麼快樂！我想念他們。人生的悲歡離合，變化無常，其原因也難以掌握。在我這輩子學習的數學這個科目裡，研究目的常是，在千變萬化的外表現象中，找出其不變的規律。然而，人和所處環境之關係的複雜程度，遠勝於數學物件和它們所處空間之間的關係。這也許是社會科學，現在還不容易有重大突破的原因。玩花布的經驗，讓我體會到，花布外顯的複雜圖像和彩色繽紛是由一些簡單的圖案設計，經過也算是單純的幾何運作後，得到的結果。在我之後的人生裡，碰到複雜的事物時，我總是努力尋求「造成複雜」背後的「單純運作機制」及其「原型單位」。有了這樣的想法，我發現在處理許多事務時會比較順手。

圖4 正方形複製示意圖

圖5 平行四邊形複製示意圖

圖4和圖5都標示出了花布圖案設計的小單元，以及它們如何用平移（很遺憾沒找到用翻轉和旋轉的方式）編織成大的印花單元。圖5的小單元是平行四邊形的，圖4是正方形的，但用單位錯開的方式接合。讀者同時也會發現，上兩塊花布中，我們切割出來的小單元裡的花，常無法整朵全在小單元裡。也許你會懷疑，圖中的切割不夠好，才會產生如此現象。這裡我明白地說，不管你如何切割，都會這樣。因為設計花布者，一定這樣編織圖案，才能顯示出其能耐，保證不容易看穿其底細。

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