漫談幾何與空間能力

瀏覽人次 8136
加入最愛

資料來源: 科學研習月刊44-6

文/
黃敏晃台大數學系退休
李和淑北一女退休
廖淑麗北市民生國小教師

一、空間能力普遍差

前幾天，我們有一群退休的數學老師在一起開會。談到中小學生的數學能力時，有人提到，雖然計算能力的大幅下降是外顯的現象，現在課程設計團隊以這點作為改進的重點，則是短視的作法。因為計算的熟練度，固然也會影響思考的流暢度，但計算只要熟練到某種程度，這方向的缺點即可補救，並不需要學生花那麼多時間作計算的練習。這樣做的兩個缺點是，太多的計算練習會讓學生厭煩，導致他們對數學產生反感；其次，數學的教學時間一再減少，故部分時間應善用在改進學生數學能力的其他弱點上。

什麼是中小學生數學能力的其他弱點呢？大家當然都各有見解，討論之後形成的共識是，計算之外的最大弱點在幾何的學習，空間能力尤其不足。有人說，這方面的能力不只學生不足，我們數學老師也很差。當場有人出了兩道題目考試，如下（都只能心想，不能動筆畫）：

題目1：
乘坐大氣球上升200 公尺後，向西北飛1000 公尺，下降100 公尺，再向東北飛500公尺，接著調轉方向，向東南飛1000 公尺，最後下降100公尺，問現在他和起點間的位置關係如何？

題目2：
有一個紙做的圓平台，如圖一。它有平行的上、下底，都是圓，上小下大。問它的展開圖是下面那個圖？

題目1 本用口述方式布題，但大家都無法同時記住題中六個訊息。雖然其中有三個訊息，是關於垂直上升和下降的，即上升200 公尺，二次下降100公尺，可以互相抵消。另外的三個訊息，並沒有如此單純的關係。所以，在第二次口述後，還有人掌握不住的狀況下，出題人還是被要求寫在白板上，有人還偷偷地畫成如圖三的平面圖。

不難看到，此圖令我們立刻連結到有關長方形的知識：對邊等長且平行，故向西北飛1000 公尺和向東南飛1000 公尺可以互相抵消，即整體運動的最後效果只剩下「向東北飛行500 公尺」，答案就出來了。

這個題目立刻驗證了，我們這群退休的數學老師，空間能力差的事實，請讀者想想，你在這方面的能力，有比我們更好嗎？

二、腦中有圖作用大

問題在於，為什麼我們在這方面的思考效果這麼差？或者根本無法思考？一般而言，我們對和數量有關的問題，即使是沒遭遇過的「非例行性問題」（non-routine problems）如下面的題目也可以想，而且效果也還不錯。

題目3：要經營一條巴士路線時，需要多少輛巴士？

題目4 ：如果把全台灣的樹都砍光，打成紙漿後，並製成紙，來印2000 元鈔票，問可印出多少元？

這裡指出，這兩題都是資訊嚴重不足的費米問題。由於這兩道題不在現在想討論課題的主軸上，容許筆者們在後面，若有多餘的篇幅，再加說明。讀者不妨乘這個閱讀的空檔，自己先想想。下面，暫時讓我們回到幾何方面的思維。

在討論當中，有人提到腦圖（mental map）說，若人有腦圖，則在幾何的思考上會有較佳的效率。他舉例說，當我們要由台北市的和平高中（位於辛亥路和基隆路的交口），到孔廟（由捷運圓山站走路5分鐘可到）時，若是搭公用交通系統，則沿基隆路搭公車到公館捷運站，搭捷運到圓山站，出站後問人即可（那裡在地的商家都知道）；但若是要自己開車，則腦中有圖才會清楚開車的方向，由於捷運圓山站在中山北路的西側，可以中山南北路為參考軸，沿辛亥路到羅斯福路，接中山南路到北路的西側，可以中山南北路為參考軸，沿辛亥路到羅斯福路，接中山南路到北路到圓山附近，再問路到孔廟。

有人補充說，上述的走法並不是唯一的路線，只要利用平行與垂直的道路，就可以找出許多代替的道路。譬如說，從基隆路左轉到敦化南路（大致上與中山南北路平行），到松山機場附近再左轉到民權東路或民族東路，過了中山北路再右轉，就可以直接到達圓山捷運站。如此反而可以解決，中山北路沿線通通不准左轉的麻煩。

這樣的思維，唯一的先決條件是，思考者腦中有圖。若腦中無圖，死記住左轉右轉的順序與次數，是無法順利走到終點的。筆者也提供了在台北車站捷運站，台北火車站地下站和與它們連接的地下街道路迷路的“經驗”─每次到那裡都是為了轉車，或匆匆路過到街面上餐廳，從不無事遛達；由於那裡的地下街路線錯綜複雜，也沒有簡圖可參考，故無法形成腦圖；當我置身於未經過的新地點時，就會迷路了。

迷路的經驗並不只是筆者專有，其他老師也紛紛提供他們的迷路事蹟。其中有一則是當地的簡圖所造成的，怎麼說呢？當我們參觀一個地方，而這個地方又佔地遼闊，路線眾多時，通常在幾個入口處都有簡圖介紹各景點的位置關係；有些簡圖並不從讀圖者的角度來擺設。當然，每個入口所掛的圖都是同一張圖，但不同的地點，圖所擺的方位應該不一樣。譬如說，若圖四左邊是圖中東口附近Ａ點的圖，則北口附近Ｂ點的圖應該如圖四右邊，如此才會貼合看圖者實際的視線方位，產生契合認知的腦圖。若按照這種原則，在西口的Ｃ點和南口的D 點，看到的地圖應該如何？請讀者自行研究看看（圖中的線是路徑）。

三、旋轉移位逆向走

這裡向讀者報告，台大校園的地圖，在羅斯福路和新生南路交口的正門入口處，以及辛亥路和復興南路交口的後門入口處各有一張，它們的擺設方式就是如上述體貼讀者的方式。十年前，台大各入口處擺設的簡圖是完全一樣的（除了「你在此」的點不一樣外，方位都一樣是北上南下的方式）。這種擺設方式，對不習慣自行在腦袋中把所看到的地圖旋轉過來的人而言，是有一定程度的困難的。

如果我們從對面或斜角看一幅字，由於其中有許多認得的字，腦中自然會主動地做旋轉移位的工作，把眼睛看到的圖像，調整成我們認字最方便的方位。但是，若我們看到是一個不認識的外國字，如韓文或印度字，從不同的角度看，應該不很容易認出同一個字來。把不對方位的簡圖，掃入腦中作為腦圖，以之對應現實的地形地物來認路，其難度可能更勝過剛才所描述的認外國字的任務。

有人把討論拉回到題目1 的圖解說，此題所述的方向之間的關係是平行和垂直，因此還有人能自動畫出腦圖而解答，若將矩形改成平行四邊形，腦圖的判認還會如此方便嗎？有人說看情形，若把該題中的「向東北飛500公尺」，改成「向東飛500公尺」，則困難度不見得增加，反而會減少。為什麼呢？

題目1 中路線關係設計成平行和垂直，而要求口述布題來考空間能力，是因為我們人類的腦細胞，經過長期的演化，已發展出專職判認和眼睛視線平行和垂直景像的腦細胞。所以只要將腦圖調整成平行和垂直「即假設我們面向西北」，這些專職細胞就會自動運作而成功解題。

地圖是現代人類很重要的工具，所以現代教育很強調讀圖的能力。製圖的制式規格是將北方放在視線的上方，南方在視線下方（東和西因此自動定位在視線右方和左方），在傳統的讀圖教育（傳統相對於多元觀點，即現任教育部長杜正勝說的，可把台灣地圖橫過來，東方擺在視線上方，而大陸所處的西方就在我們視線下方啦）下成長的我們，東西南北所形成的十字軸線，在我們腦中已形成深層的烙印和專司平行垂直的腦細胞，建構出互補的方位系統，所以，只要題目中有關「東、西、南、北」的方位描述，對我們都變簡單。由此作單純結合的東南、西北，等也不算太難；若進一步延伸到「由北偏西28°」的描述，就稍微難一點了。

從認知的角度來說，以東西南北為腦中參考坐標的主軸，則東南、西北等是做這些主軸形成的90 °角之平分線；而「北偏西28 °」則是「以已知直線為一邊，求作28 °角的另一邊」作角雖然比較容易，但前者並不是作一般角的平分線，而是作出45 °的「特別角」，這個角之所以特別，是因為它在小學生使用的三角板上出現，每個人都很熟悉它，所以作它被認為比作一般角要容易許多。

討論中另一種迷路的情形，牽涉到「逆運作」的思考模式。譬如說，你從某個入口進入幅員遼闊的地區，沿著一條路線作了部分的參觀，由於時間的限制你必需沿原路回去；來時的左轉會變成右轉，右轉變成左轉，而且順序倒置，你認為「地標」（land mark）的地形地物，也要換個角度來加以辨認。這件事本身就是很重要的幾何能力─一個幾何物件，在不同的方位看起來，各會是什麼樣子？你都能辨認嗎？譬如說，你認為圖五的兩個立體四連塊是同一個物件在不同方位的視圖嗎？

四、左右手兩種系統

讀者手頭如果有大小一樣的小正方體，不妨把它們黏起來，看看如圖五左邊那樣的四連塊，從那個角度看可以變成如右邊那樣。最好是做完實驗，再繼續看本文下面。

如果讀者真的做了如上的實驗，你一定知道，圖五中的兩個連塊是非常不同的四連塊，無論如何翻轉移動，都沒辦法將其中一個變成另一個。其實，它們可視為握拳的左右手，如下圖所示。

大家都知道，左手怎麼樣都不可能變成右手。在數學上，左、右手（或上面的兩個立體四連塊）雖是全等的形體，但卻是立體面鏡射的結果。粗略地說，當我們照鏡子時，左、右手會互換，即左手變成右手的結構，右手變成左手的結構。這裡所謂的結構是，把大姆指外的四指握拳時的動作當成為旋轉的方向時，大姆指的指尖指向的方向，如下圖所示。

立體四連塊共有八個，其中可完全貼桌面的5 個，可視為是5 個平面正方形連塊（請參看民93 年10 月出版的本刊第43卷第6期P37-48，黃敏晃和許文化的文章「連塊遊戲」，或黃敏晃的書「讓我們來玩數學吧」， P40 ∼ 51 ，小天下，民94 年3 月），如圖八中上排的4個和下排最左邊的 ;下排的另3個則無法平貼桌面（不管怎麼擺，總有一個以上的小正方體不會貼桌面）。

讓小學生把玩上述的8 個立體四連塊之後，我們將這些四連塊各別裝入黑色的袋中，要求他們伸手入袋中，用手來辨認袋中到底是那個立體？或將這8個立體全數放入袋中，叫他們拿出指定的立體。

在這樣的任務中，小學生除上述代表左右手系統的四連塊外，都沒有問題，而這兩個常常弄錯。面談中他們說，沒弄錯的6 個立體，腦中有非常清楚的圖像，另2 個則看著辨識都有些問題，純粹靠手指頭感覺更不容易。

實驗發現，讓學生親自動手組成8 個四連塊後，錯誤率會降低，而有左、右手系統概念的小孩通常不會錯。另外，沒經過上述教學處理的兒童，小三和小五以上學生之間有很大差異。這使我們猜測，這兩年當中，小孩在這方面能力有關鍵性的發展，但我們並未弄清楚，為什麼如此？

我們也讓學生玩正方體五連塊，由於數目多達30 幾個，即使是可視為平面（正方形）五連塊的12 個（如圖九，參看前述的書「讓我們玩數學吧」， P77）學生都覺得結構有點複雜，難以掌握，更不用談有立體結構的另外20 幾個了。

五、回歸原型辦識強

在立體五連塊的辨認活動中，我們發現若學生之前有親自畫出平面（正方形）五連塊時，對上面十二個立體五連塊之辨認成績會較好。另外，當學生在之前立體四連塊的活動中，辨認成績較佳者，立體五連塊的辨認成績也較佳。

這些成績較佳的學生，在面談時說，因為之前的活動提供了辨認的「原型」（Proto-type），即他們視可完全貼桌面的12 個立體五連塊和平面五連塊為可互通的幾何物件；而有些立體五連塊可以由立體四連塊加一個小正方體而生成，如圖十所示，有斜線者就是新加的小正方形。

像上述的那樣，把一些要認識的新幾何物件，視為和已知的幾何物件等同或變形，或者由這些已知的幾何物件加一點簡單的元件而變成，這樣的認知方式是很有效的。如此，我們的腦袋需要記住的幾何物件就可以減少些，剩下較多的空間可用來作思考運作。

與上述添加運作相反的是刪減或切割，前述的題目2的正確答案是圖二的右圖，因為我們可以將一個圓平台，視為是一個正圓錐（即錐之尖點向底面所作垂線之垂足，剛好落在底圓的圓心上），切去一個小的正圓錐而形成。現在，將圓錐剪開得到的展開圖（如下圖所示），應該就可看出為什麼圖二的右圖是正確的答案了。

利用一個已知的幾何物件作為基本模型，來認知或處理一個新物件或新問題的解題策略，並不限於幾何方面的課題，筆者去年寫了一篇文章「親愛的，我把數學題目變簡單了」（見飛揚雜誌第三十期，P9∼14 ，國民中學學生基本學力測驗推動工作委員會，民93 年11 月出版）裡面討論了一些非幾何性的問題，討論的方式也是採取「回歸原型問題」的模式。

這樣的討論模式最困難之處，在於找出新問題的「原型題目」。老師用這套模式時的麻煩是，每個人已有的「知識庫」並不一樣，故同一個問題，不同的人可找出不同的「原型」。一般而言，在我們腦中的資訊並不那麼容易抽取出來。譬如說，中小學的同學名字，我們腦中都有存留（看著畢業紀念冊時就知道），但久不使用，抽取的機制生鏽了，臨時碰到老同學，並不一定叫得出他的名字。

能否抽取腦中已有的資訊，是一個問題，是否能「應用」這個抽取出來的知識，又是一個問題。前一個問題與記憶的儲存以及知識的分類方式有關。通常我們會把類似的知識組成一個系統，裡面各項之間的關係，或可上下推論，或只是鬆散的橫向連結。例如，上述有關平面立體四連塊的資訊，可互相推論；而中小學同學的名字，則以當時常在一起玩的「死黨」方式，堆疊在一起。

因此，抽取記憶的有效方式，是視該項資訊的儲存和分類系統，找尋適當的線頭（Cue），以便抽絲剝繭。碰到一位老同學時，想起他或他的死黨發生過的「事件」（死黨常是由事件發生時的人際關係而組織的），或是他們的綽號，應該是可用的線頭。

六、檢查記憶靠推論

當資訊歸類系統雜亂時，不但記憶的抽取效率差，抽取出來後的使用，也常變成困擾。有次，筆者把一位擅長踢毽子的初（國）中同學，記成小學同學，因為筆者只在小學時代踢毽子，初中時代瘋別的運動去了，故把這位同學歸類錯誤，怎樣也想不起他的名字，回家後從小學的畢業紀念冊開始查，直到初中的畢業紀念冊才找到他。

數學知識的歸類也是如此，譬如說上述題目2，選擇圖二的左圖為答案的人，就是把圓平台的展開圖，歸到和圓柱體之展開圖為同類的結果。圓柱體的展開圖是小學教材，故大多數人會以先取得知識做為「原型」來吸納組織結構並記憶相類似的案例。

當一個系統會發生錯誤時，我們都要製造一個檢驗的補助系統，如同身份證號碼和銀行帳號的檢查碼那樣，才能保證錯誤率不致高出容忍的程度。知識的記憶系統也會出錯，故需要檢查的機制。數學知識的檢查機制，大多是看看推論後會不會產生矛盾，或不合理的現象。

以題目2 為例說，選圖二的左圖不合理的地方在於，當我們選擇上底圓上一點A 來做為展開圖的剪開點時，其下底圓上的對應點B 已經確定，即是由Ａ點和上下底圓的圓心O和P三點所決定的平面，與底圓周的交點Ｂ。不難看到，如此的Ａ點是上底圓周長的任一點都可以的，而且剪開的結果都應該一樣，即上、下底圓的對應點Ａ與Ｂ的連線長ＡＢ應該都相等。但在圖二的左圖中，對應點的連線長都不一樣長。

在本文開頭提到的數學老師的會議中，與會的數學老師們都認為，像上段文字裡那樣的檢驗記憶中數學知識是否合理的能力，是國內學生的數學能力中最弱的一環。至於所以會這樣的原因，老師們提供如下列的事實：
1. 強烈競爭的升學考試，使中小學的數學教學趨向高效率的單向知識傳輸，學生都信任老師告訴他的知識，他只要記住，考試時抽出使用即可。
2. 由於許多考試題目都以選擇題方式命題，不需要在試卷上展現推論或計算過程，故很多老師和學生都不重視數學這門課最重要的精神，即推論和一致性（即不會產生矛盾）。
3. 這樣的教學使學生對數學產生錯誤的印象，這令許多數學的從業人員憂心不已，長久如此下去，對整個數學都非常不利的。

拉拉雜雜的寫了許多文字，題目3和4 的費米（Fermi ，是義大利裔的美國物理學家，得過諾貝爾獎）都尚未處理。本來的構想是要借這兩個題目，來討論人如何思考，如何利用僅知的一點點資訊，來做粗略的估計。但本文的長度已超過了筆者規劃的程度，所以要在這裡就把本文終結了。至於文中提到的題目3 和4 ，只好等下次再另寫一篇文章來說明了。如此的虎頭蛇尾，實在是筆者的第一次。但這兩個題目的討論，最起碼還需要2000 字以上才行，所以筆者決定此刻收筆，特此向讀者致歉。